精品解析：天津市第一中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷

天津一中2025-2026-1九年级数学学科第一次过程性评价试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分4第1卷1至2页，第Π卷2至4页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 第I卷（选择题） 一、选择题 1. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 2. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 7. 如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 9. 某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A. B. C. D. 11. 如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（ ） ；；若，是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是；若抛物线与轴交于点，当时，函数的最大值与最小值的差为，则的值为 A. B. C. D. 12. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 15. 将抛物线向下平移5个单位长度后，得到抛物线，则___________，___________． 16. 已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值： 则该二次函数有___________（填“最小值”或“最大值”）， 17. 中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面______m． 18. 图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2点…第行有个点…，则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和：②300是三角点阵中前24行的点数和；③前个点数和为200的点，在这个三角形点阵中位于第19行第10个点；④这个三角点阵中前行的点数和不可能是600．其中正确的个数是___________． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值．原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 21. 已知二次函数当时取最小值，且抛物线图像经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与轴的交点坐标． 22. 已知函数的图象，根据图象回答下列问题． 当取何值时． 方程的解是什么？ 当取何值时，？当取何值时，？ 不等式的解集是什么？ 23. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 24. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、、设点、运动的时间为． （1）当___________时，四边形是矩形； （2）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． （3）在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 25. 如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积； （3）在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025-2026-1九年级数学学科第一次过程性评价试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分4第1卷1至2页，第Π卷2至4页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 第I卷（选择题） 一、选择题 1. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 2. 用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】解：，则，，， 故选：C 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数的一般形式为：是常数，，进而判断得出即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 4. 已知是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数，解题的关键是掌握二次项系数不为0． 根据二次项系数不为0得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：D． 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 6. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．”是解题的关键．根据题意当时，方程为，有实数根，当时，得出，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，方程为，有实数根， 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 综上，k的取值范围是， 故选：B． 7. 如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象，二次函数图象的性质，掌握一次函数中与图象的关系与二次函数中与图象的关系是解题的关键． 在一次函数一次函数中，当，图象经过第一、二、三象限；当，图象经过第一、三、四象限；当，图象经过第二、三、四象限；当，图象经过第一、二、四象限；在二次函数中，当，图象开口向上；当，图象开口向下；由此即可求解． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，二次函数图象开口向上， ∴A选项符合，B选项不符合； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，二次函数图象开口向下， ∴C，D选项不符合题意； 故选：A ． 8. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟记开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴左边，y随着x的增大而增大，对称轴是， ∵， ∴ 故选A． 9. 某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意列出方程是解题的关键．设教育经费的年平均增长率为x，则2023年投入亿元，2024年投入亿元，由此得到方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 10. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 11. 如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（ ） ；；若，是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是；若抛物线与轴交于点，当时，函数的最大值与最小值的差为，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、包括二次函数的图像与系数的关系、函数值的比较及函数在给定的取值范围内的最值问题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．根据二次函数的图像与性质，对每个选项进行判断，综合后即可得到正确的个数． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线经过点， ， 故错误； 由函数图象可知，抛物线的对称轴是 ， ， 移项得：， 故正确； 抛物线开口向下， 离对称轴越近的点对应的值越大， 又， 点在点的左边， 当点和点都在对称轴左侧时， 则一定有， 当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时， ， 可得：， 解得：， 当点和点都在对称轴右侧时， 则一定有， 此时， 解得：， 综上所述，当时，的取值范围是， 故正确； 抛物线经过点，且对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标是， 设抛物线的解析式是， 抛物线与轴交于点， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 整理得：， 抛物线的顶点坐标是， 当时，， 当时，函数有最大值， 当时，， 当时，， 此时函数的最大值是，最小值是， 最大值与最小值的差是； 当时，， 当时，， 当时，， 此时函数的最大值是，最小值是， 最大值与最小值的差是； 故错误． 综上所述，正确的结论有． 故选：B． 12. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． 对于A，由，可得，再根据三边一共用了米木栏建立方程，可得，最后由矩形的面积公式即可得； 对于B，由可知，，将代入中可得，解方程即可得的值； 对于C，由可知，，将代入中即可求解； 对于D，由可知，，将化为顶点式，可知二次函数图象开口向下，且对称轴为，进而可知当，随的增大而增大，故时，取得最大值，最后将代入求解即可． 【详解】由题意可知，四边形为矩形， ，，且， A、， ， ， ， ， ． 故选项A正确； B、， ， ， ， 整理得，， 因式分解得，， 或， 解得，，， ， ． 故选项B正确； C、， ， 当时，． 故选项C正确； D、， ， 由A选项可知，， 二次函数的二次项系数，二次函数图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 把代入中得，， 当时，的最大值为． 故选项D错误． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________． 【答案】n≥0 【解析】 【分析】根据平方的非负性可得结果． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， 而， ∴n≥0， 故答案为：n≥0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别方法是解题的关键． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，根据是根，代入即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 将抛物线向下平移5个单位长度后，得到抛物线，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握变化规律是解题的关键． 二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解． 【详解】解：∵抛物线向下平移5个单位长度后为， 且得到抛物线， ∴． ∴． 故答案为：；5． 16. 已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值： 则该二次函数有___________（填“最小值”或“最大值”）， 【答案】最大值 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式以及抛物线的最值判断，先运用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次项系数的正负判断即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 由题意可知，函数图象过点、和， 将以上个点代入解析式可得，， 把代入和得，， 得，， 得，， 解得，， 把代入中得， ， 二次函数的解析式为：， 二次项系数， 二次函数开口向下，有最大值． 故答案为：最大值． 17. 中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面______m． 【答案】 【解析】 【分析】如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得， ， 解得，， 抛物线解析式为：， 把代入得，； 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解． 18. 图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2点…第行有个点…，则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和：②300是三角点阵中前24行的点数和；③前个点数和为200的点，在这个三角形点阵中位于第19行第10个点；④这个三角点阵中前行的点数和不可能是600．其中正确的个数是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 根据题意和题目中点的个数的变化，可以判断各个说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，三角点阵中的点数之和是：，故①正确， 当时，即，得（负根已舍去），故②正确， 当时，三角点阵中的点数之和为， ∵， ∴前个点数和为 200 的点，在这个三角点阵中位于第 20 行第 10 个点，故③错误； ∵当，即时，解得（负根已舍去），不是整数， 故这个三角点阵中前n行的点数和不可能是600．故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，常见的一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、分解因式法、公式法． 把方程整理成一元二次方程的一般形式，可得：，再用分解因式法解一元二次方程即可； 用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值．原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 21. 已知二次函数当时取最小值，且抛物线图像经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与轴的交点问题，正确求出解析式是解此题的关键． （1）先确定抛物线的顶点，再设出函数的顶点式，然后运用待定系数法即可解答；掌握待定系数法是解题的关键； （2）令，然后解一元二次方程，再根据一元二次方程与二次函数图像的关系即可解答；掌握一元二次方程与二次函数图像的关系是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：∵二次函数当时取最小值， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线图像经过点， ∴可把代入，解得． ∴该抛物线解析式为，整理得：． 【小问2详解】 解：令，解得，解得或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，． 22. 已知函数的图象，根据图象回答下列问题． 当取何值时． 方程的解是什么？ 当取何值时，？当取何值时，？ 不等式的解集是什么？ 【答案】当或时，；，；时，， 当或时，；． 【解析】 【分析】（1）观察图象与x轴交点的横坐标，即为y=0时x的取值； （2）方程x2-2x-3=0的解即为函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标； （3）函数图象落在x轴下方的部分对应的x的取值范围即为y＜0时x的取值范围，函数图象落在x轴上方的部分对应的x的取值范围即为y＞0时x的取值范围； （4）不等式x2-2x-3＜0的解集即为函数y=x2-2x-3的图象落在x轴下方的部分对应的x的取值范围. 【详解】解:由图象知，函数与轴的交点为，， 所以当或时，； 由图象知，的解为，； 由图象知，当时，， 当或时，； 不等式的解集为． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是利用数形结合的思想，由图象得出函数y=x2-2x-3与x轴的交点坐标. 23. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【答案】（1）y=﹣20x+1600； （2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）超市每天至少销售粽子440盒． 【解析】 【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，==； （2）P===， ∵x≥45，a=﹣20＜0， ∴当x=60时，P最大值=8000元， 即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）由题意，得=6000， 解得，， ∵抛物线P=的开口向下， ∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润， 又∵x≤58， ∴50≤x≤58， ∵在中，＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒． 【点睛】考点：二次函数的应用． 24. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、、设点、运动的时间为． （1）当___________时，四边形是矩形； （2）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． （3）在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【答案】（1）3 （2） 解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （3）1或3 【解析】 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （3）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25. 如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积； （3）在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标． 【答案】（1） （2）10 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上，确定点A的坐标为，点B的坐标为，代入解方程组解答即可． （2）不妨设，则，，故，，确定，得到，，结合已知条件，得到方程，解答即可． （3）利用构造平行四边形法，轴对称法构造出符合题意的全等三角形，确定点M的坐标，利用待定系数法，解方程组确定交点N的坐标即可． 本题考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，抛物线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上， 得点A的坐标为，点B的坐标为，代入得， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵P是y轴左侧抛物线上一点， 不妨设， ∵轴，交直线于点C， ∴，， ∴，， ∵直线与y轴的交点M的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴，， ∴点B到直线的距离为， ∴三角形的面积为． 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据（2）得，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故点Q的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 过点P作交对称轴于点M， 由， 故四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质，得与全等， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， ∴； 过点C作直线的对称点M，连接， 则与全等， 设，则， 整理，得， 根据题意，得的中点坐标为，其一定在直线上， 故，整理得， 故， 解得， 故点M的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $