精品解析：广东省江门市培英初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

25-26学年上学期九年级10月素养练习数学试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义判断即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是二次函数，故选项符合题意； B、不是二次函数，故选项不符合题意； C、不是二次函数，故选项不符合题意； D、不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 将一元二次方程化成一般形式后二次项的系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2、、3 B. 2、1、1 C. 2、1、 D. 2、1、3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解． 【详解】解：∵一元二次方程可得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，1，； 故选：C． 3. 若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 0 D. ﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】直接把x＝﹣2代入方程x2+kx﹣2＝0求解即可． 【详解】把x＝﹣2代入方程x2+kx﹣2＝0得（﹣2）2﹣2k﹣2＝0， 解得k＝1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，正确理解一元二次方程根的概念是解题的关键． 4. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程即可求解． 【详解】解∶， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项-1移项后，在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方即可. 【详解】把方程x2+2x-1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+2x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+2x+1=1+1， 配方得（x+1）2=2． 故选C． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6. 抛物线y＝﹣2（x+1）2的顶点坐标和对称轴分别是（　　） A. （﹣1，0），直线x＝﹣1 B. （1，0），直线x＝1 C. （0，1），直线x＝1 D. （0，1），直线x＝0 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式，可直接得出顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2， ∴顶点坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝﹣1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴有两个相等的实数根． 故选：A． 8. 若，是方程的两个根，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个根，则，，即可解题． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：B． 9. 某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡56张，设该班有x人，根据题意可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据该班有x人，则每个人要写张贺卡,因为全班共送出贺卡56张，所以，即可作答． 【详解】解：设该班有x人，每个人要写张贺卡， ∵全班共送出贺卡56张， ∴根据题意可列方程得， 故选：A． 10. 在一块宽为20 m，长为32 m的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为540 m2，求小路的宽．设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是 （ ） A. （20-x）(32-x)=540 B. （20-x）(32-x)=100 C. （20－2x）(32－2x )=540 D. （20-2x）(32-2x)=100 【答案】C 【解析】 【分析】设小路宽为x米，根据题意表示出花坛部分的长为：（32﹣2x）m，宽为：（20﹣2x）m，如此一来，花坛的面积就为（32﹣2x）（20﹣2x）平方米，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：如图所示，设小路宽为x米，因为花坛的面积为540 m2 根据题意得：（20﹣2x）（32﹣2x）＝540． 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，要求学生能根据题意得数量关系建立等式，进而即可列出方程，求出答案． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 12. 若抛物线的开口向下，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向下对应二次项系数小于是解决问题的关键．根据二次函数的图象与性质，由题意列不等式直接求解即可得到答案． 【详解】因为抛物线的开口向下， 所以， 即． 故答案为：． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2+m=6即可． 【详解】解：∵m为一元二次方程的一个根． ∴m2+m-6=0， ∴m2+m=6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据题意可得，一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为______元 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， 答：商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故答案为：50． 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 16. 小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 第一步，移项得： 第二步，两边都除以x得： 第三步，解得：． （1）小明的解法从第______步开始出现错误；错误的原因是______． （2）请给出正确的解法． 【答案】（1）一，两边不能同时除以x，而应提取x （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：小明的解法从第二步开始出现错误；原因是两边不能同时除以x，而应提取x． 故答案为：一，两边不能同时除以x，而应提取x． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法和因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述一元二次方程求解方法． （1）直接开平方法求解； （2）用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 解得：， 18. 列方程解实际问题： 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围一个矩形，当长为多少时，矩形面积为？ 【答案】当长为m时，矩形面积为m2． 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为m，那么另一边长为m，可根据矩形的面积公式即可列方程进行求解． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为m，那么另一边长为m， 由题意得， 解得：， m， m． 围成一面靠墙，其它三边分别为m，m，m的矩形． 答：当长为m时，矩形面积为m2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出矩形场地的面积是解题关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，2021年利润为5亿元，2023年利润为亿元，若该企业2021年到2023年的年平均增长率都相同． （1）求该企业的年平均增长率； （2）若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2024年的利润能否超过9亿元？ 【答案】（1）增长率为 （2）该企业2024年的利润不能超过9亿元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、代数式求值等知识点，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率为x，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）先根据该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率求出该企业2024年的利润，再与9亿元比较即可解答． 【小问1详解】 解：设该企业的年平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该企业的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：由题意可知，该企业2024年的利润为：（亿元）， ∵亿元亿元， ∴该企业2024年的利润不能超过9亿元． 20. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当为正整数时，求方程的根． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程x2-6x+k+7=0有两个不相等的实数根可得△=（-6）2-4（k+7）＞0，求出k的取值范围即可； （2）根据k的取值范围，结合k为正整数，得到k的值，进而求出方程的根． 【详解】（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． （2）∵且为正整数， ∴， ∴， 解得，， 即方程的根为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.利用一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键. 21. (10分) 如图，小明把一张边长为厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子， （1）如果要求长方体盒子的底面面积为，求剪去的小正方形边长为多少？ （2）长方体盒子的侧面积是否可能为？为什么？ 【答案】（1）剪去的小正方形边长为；（2）长方体盒子的侧面积不可能为． 【解析】 【分析】（1）等量关系为：（10-2×剪去正方形的边长）2=81，把相关数值代入即可求解． （2）利用长方体盒子的侧面积为60cm2，求出一元二次方程根的情况即可． 【详解】(1)设剪去的正方形的边长为xcm. 解得 ∵10−2×x>0， ∴x=0.5， 答：剪去的小正方形边长为0.5cm； （2）设剪去的正方形的边长为． ， 整理可得：， ， ∴此方程没有实数根， ∴长方体盒子的侧面积不可能为． 【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． （3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________． 【答案】（1）不是 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 ，， 解得和， 故一元二次方程不是“倍根方程”． 【小问2详解】 由题意可设：与是方程的两个根， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 设与是方程的解， ∴，， ∴消去得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义． 23. 阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 【答案】（1）5，1；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）根据根与系数的关系即可求解； （2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可； （3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，； 解：（2）∵把代入得不合题意， ∴两边同时除以得 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出， ∴， ∴． 解：（3）将方程两边同时乘以2得， 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出 ∵是方程的两个不等实数根， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年上学期九年级10月素养练习数学试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式后二次项的系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2、、3 B. 2、1、1 C. 2、1、 D. 2、1、3 3. 若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 0 D. ﹣2 4. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 A. B. C. D. 6. 抛物线y＝﹣2（x+1）2的顶点坐标和对称轴分别是（　　） A. （﹣1，0），直线x＝﹣1 B. （1，0），直线x＝1 C. （0，1），直线x＝1 D. （0，1），直线x＝0 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 若，是方程的两个根，则（　　） A. B. C. D. 9. 某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡56张，设该班有x人，根据题意可列方程得（ ） A. B. C. D. 10. 在一块宽为20 m，长为32 m的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为540 m2，求小路的宽．设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是 （ ） A. （20-x）(32-x)=540 B. （20-x）(32-x)=100 C. （20－2x）(32－2x )=540 D. （20-2x）(32-2x)=100 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 12. 若抛物线的开口向下，则a的取值范围是______． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 15. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为______元 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题7分，共21分） 16. 小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的： 第一步，移项得： 第二步，两边都除以x得： 第三步，解得：． （1）小明的解法从第______步开始出现错误；错误的原因是______． （2）请给出正确的解法． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 列方程解实际问题： 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围一个矩形，当长为多少时，矩形面积为？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，2021年利润为5亿元，2023年利润为亿元，若该企业2021年到2023年的年平均增长率都相同． （1）求该企业的年平均增长率； （2）若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2024年的利润能否超过9亿元？ 20. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当为正整数时，求方程的根． 21. (10分) 如图，小明把一张边长为厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子， （1）如果要求长方体盒子的底面面积为，求剪去的小正方形边长为多少？ （2）长方体盒子的侧面积是否可能为？为什么？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． （3）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________． 23. 阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $