7.1.2弧度制（课件）-2025-2026学年高一上学期数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版必修第一册）

该高中数学课件聚焦弧度制，涵盖定义、角度弧度换算、弧长与扇形面积公式及角的集合与实数集的一一对应。情景导入从有序数对(r，α)或(r，l)的关系切入，承接角度制，通过“弧长与半径比”抽象定义，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于用数学眼光抽象弧度制本质，通过“弧长与半径比与半径无关”培养抽象能力，结合例题推理换算与公式应用发展数学思维，课堂小结对比表格清晰呈现弧度制与角度制的区别联系，助力学生构建知识体系，教师可高效开展教学。

7.1　角与弧度 7.1.2弧度制 苏教版2019高一数学（必修一）第七章 三角函数 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点) 情景导入 在本章引言中，我们曾考虑用有序数对 (r，α) 或 (r，l) 来表示点P，那么， ● r，l 与 α 之间具有怎样的关系呢? 新知探究 我们已学习过角的度量，规定周角的 为 1 度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制.除了采用角度制外,在科学研究中还经常采用弧度制. 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度(radian)的角，记作1rad(图1) 图1 上述规定基于下面的基本事实： 假设角 α 作为圆心角所在的圆有两个，其半径分别为r1，r2，所对应的弧长分别为l1，l2(图 2)， 则 ＝. 图 2 上式表明，角 α 的弧度数由角 α 的大小唯一确定，而与其为圆心角所在圆的大小(半径)无关. 这种用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制. 由1弧度的意义可知,对任一角α,其弧度数的绝对值等于α所对应的弧长l与半径r的比,即 = 上式中，l与r用相同的长度单位. 例如,如果α所对应的弧长l=2r,那么α的弧度数就是(图3),即α的弧度为2rad. 图3 再如,如果α所对应的弧长l= 2πr,即α为周角,那么α的弧度数就 是= 2π(图4).即 360°= 2π rad. 从而,有 1°= rad ≈0. 017 45 rad, 1 rad =度≈57.30°. 图4 图5给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系. 用弧度表示角的大小时,只要不引起误解,可以省略单位.例如 l rad, 2 rad,π rad,可分别写成1,2,π. 图5 课本例题 例 3 把下列各角从弧度化为度： (1) ； (2) 3.5. 解：(1) rad ＝ × ＝ 108°. (2) 3.5 rad ＝ 3.5×≈ 200.54° 例 4 把下列各角从度化为弧度： (1) 252°； (2) 11°15′. 解： (1) 252°＝ 252× rad ＝ rad. (2) 11°15′＝11. 25°＝11. 25×rad＝rad. 如图 6，设长度为 r 的线段 OA 绕端点 O 旋转形成角 α ( α 为任意 角，单位为弧度). 若将此旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角α所对的弧,设弧长为l,则有 = 即 特别地,若取r= 1,则有l=||. 若|α|≤2π,则圆心角为α的扇形的面积为 S= 图 6 例 5 已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 rad，求该扇形的面积. 解 设扇形的半径为r，弧长为 l，则有 2r＋l＝8， r＝2， 解得 l＝2r， l＝4. 故扇形的面积为 S＝rl＝4 (cm2). 引入弧度制后，在∣θ∣＝中，不妨取 r＝l (这时的圆也称单位圆)，那么当θ为正角时， θ 的弧度数即为其所对应的弧长l的数量；当θ为负角时， θ 的弧度数即为其所对应的弧长 l 的数量的相反数；当 θ 为零角时， θ 的弧度数为 0 . 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角. 课本练习 1. (口答) 把下列各角从度化为弧度： (1) 180°； (2) 90°； (3) 45°；(4) 30°； (5) 120°； (6) 270°. 解：(1) 180°＝π； (2) 90° ＝90 × ＝； (3) 45° ＝45 × ＝； (4) 30°＝30× ＝； (5) 120°＝120 ×＝； (6) 270° ＝270 × ＝； 2. (口答) 把下列各角从弧度化为度： (1) 2π； (2) ； (3) ； (4) π. 解：(1) 2π＝ 2π × ＝360°； (2) ＝ ×＝90°； (3) ＝ ×＝30°； (4) ＝×＝120°； 3. 把下列各角从度化为弧度： (1) 75°；(2) －210°； (3) 135°； (4) 22°30′. (1) 75°＝75× ＝； (2) －210°＝－210×＝－； (3) 135°＝135× ＝； (4) 22°30′＝22.5°＝22.5× ＝； 4. 把下列各角从弧度化为度： (1) ； (2) π； (3) －π； (4) －12π. (1) ＝× ＝15°； (2) ＝ ×＝72°； (3) －＝－×＝－240°； (4) －12π＝－12π×＝ － 2160°. 5. 写出与下面的角终边相同的角的集合： (1) ； (2) . 解 (1) 与终边相同的角的集合为：{α∣α ＝2kπ＋，k∈Z}； (2) 与终边相同的角的集合为：{α∣α ＝2kπ＋，k∈Z}. 6. 分别用弧度制表示下列角的集合： (1) 终边落在 x 轴上的角； (2) 终边落在 y 轴上的角. 解 (1) 终边落在x轴上的角： {α∣α＝kπ，k ∈Z}. (2) 终边落在y轴上的角： {α∣α＝kπ＋ ，k ∈Z}. 7. 若 α＝－6，则角 α 的终边在 ( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 8. 已知半径为 240 mm的圆上，有一段弧的长是 500 mm， 求此弧所对的圆心角的弧度数. 解 首先设该弧所对的圆心角的度数为α ，代入弧长计算公式可得 240α ＝ 500，然后可求得 α ＝ rad. 题型分类讲解 题型一　角度与弧度的互化 题型二　用弧度制表示角的集合 3.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图). (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是 4.(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 又β∈[－4π，0]， 题型三　弧长公式与面积公式的应用 根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB的内切圆时，广场的占地面积最大， 设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C. OO1＝OA－O1C＝300－O1C， 解得O1C＝100(m). 这时⊙O1的面积为π·1002＝10 000 π(m2). 故当圆形广场的半径为100 m且为扇形的内切圆时，广场的占地面积最大为10 000 πm2. 弧度制 角度制 度量单位 弧度(10进制) 度(60进制,1=60,1′=60) 单位规定 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 周角的1/360叫做1度的角。 换算关系 基本关系 导出关系 课堂小结 解　(1)20°＝20·＝； (2)－800°＝－800·＝－π； (3)＝·°＝105°； (4)－π＝－π·°＝－144°. 1.将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－800°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(4,5)π. (2)－＝－·°＝－75°. 2.(1)把112°30′化成弧度； (2)把－eq \f(5π,12)化成度. 解　(1)112°30′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(225,2)))°＝eq \f(225,2)·eq \f(π,180)＝eq \f(5π,8). 以OB为终边的角为－eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)， 所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|－\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)). . 解　(1)以OA为终边的角为eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)， (2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2kπ＝eq \f(16,9)π＋2kπ(k∈Z). ∴β1＝eq \f(16,9)π－2π＝－eq \f(2,9)π，β2＝eq \f(16,9)π－4π＝－eq \f(20,9)π. ∴β＝－π或β＝－π. 解　(1)∵－1 480°＝－eq \f(74π,9)＝－10π＋eq \f(16π,9)， 又0＜eq \f(16,9)π＜2π，∴－1 480°＝eq \f(16,9)π＋2×(－5)π. 5.如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，eq \o(AB,\s\up18(︵))的长度为100π m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？ ∴OA＝＝300(m). 解　如图所示，∵∠AOB＝60°＝eq \f(π,3)，eq \o(AB,\s\up18(︵))的长度为100π m， 故O1C＝(300－O1C)·， 则∠O1OC＝30°＝， 又O1C＝O1O·sin ， $