精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期10月阶段性测试数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二10月阶段性考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得. 故选：D. 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：将抛物线方程化为标准方程，从而可求得其准线方程. 详解：抛物线化为标准方程， ， 所以，抛物线的准线方程为，故选A. 点睛：本题主要考查抛物线标准方程以及准线方程，意在考查对基本概念的理解与应用，属于简单题. 3. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 若圆关于点对称圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点关于点对称得出，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设关于点对称点， 则，所以，所以，圆半径为， 所以圆关于点对称的圆的方程为. 故选：A. 5. 2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天链三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天链三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天链三号卫星运行的轨迹的长半轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，即可. 【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a， 由题可知，，即万千米， 故选：C. 6. 已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（ ） A. 11 B. 9 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9． 故选：B． 7. 直线与曲线有且只有1个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】判断得曲线是以为圆心，半径为的右半圆，作图象分析，可知当直线与半圆相交于一个点或者与半圆相切时满足题意，结合图象求解的取值范围即可得. 【详解】由可得， 则曲线表示圆心为，半径为的圆的右半部分， 由直线与曲线有且只有1个交点， 则有或，解得或. 故选：D. 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】因为的渐近线上一点满足，且， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线上横坐标为的点与圆上的点的最近距离为 B. 圆上的点到直线的最近距离是1 C. 圆与圆的公共弦所在直线方程为 D. 过点作圆的所有弦中，弦长最短为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用两点间距离公式计算判断A，根据圆心到直线的距离即可求B，应用相交弦所在直线判断C，应用圆的弦长公式结合圆心到直线距离判断D. 【详解】对于A，直线上横坐标为的点， 由圆，则圆心，半径为，则 与圆上的点的最近距离为，A选项正确； 对于B，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的最小距离为，B选项正确； 对于C，，两圆方程相减得， 圆与圆的公共弦所在直线方程为，C选项错误； 对于D，， 过点作圆的所有弦中，当圆心C到直线距离时，弦长最短为，D选项正确； 故选：ABD. 10. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若椭圆焦点在轴上，且离心率为，则 B. 若,点为上一点，则面积的最大值为 C. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D. 若以线段为直径的圆与椭圆有四个交点，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率的定义可计算并判断A，当点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，可计算并判断B，由直线过定点，若直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆内部或椭圆上，可列式计算并判断C，分类讨论当椭圆焦点在轴或轴上时，根据圆与椭圆有四个交点分别列式计算可判断D. 【详解】对于A，因为椭圆焦点在轴上，所以离心率，且，解得，故A错误； 对于B，若,则，则， 当点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，，故B正确； 对于C，直线即过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，所以点在椭圆内部或椭圆上， 则，解得或， 又因为且，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，以线段为直径的圆半径为， 当椭圆焦点在轴上时，，因为圆与椭圆有四个交点，所以，且，解得； 当椭圆焦点在轴上时，，因为圆与椭圆有四个交点，所以，且，解得. 综上，的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得，即B正确，确定一条渐近线的斜率为，可判断C错误.由斜率之积可判断D. 【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为， 由题黄金分割比为，且 若为黄金双曲线， 则离心率为，即A正确； 对于B，设，其中， 又在双曲线线上，所以， 两式相减可得， 即，可得， 所以，可得B正确； 对于C，由离心率为可得，解得， 可得一条渐近线的斜率为，因为， 根据渐近线性质可知过右焦点且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有1个交点，即C错误. 对于D，易知，， 则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以 ， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆上一点P到该椭圆一个焦点距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________. 【答案】7 【解析】 【分析】先求出，再应用椭圆定义计算求解. 【详解】因为椭圆，所以， 因为椭圆上一点P到该椭圆一个焦点距离为3，则点P到另一个焦点的距离为. 故答案为：7. 13. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的性质得到，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程. 【详解】双曲线，则， 又右支上一点到右焦点的距离最短为，即，所以， 又，则， 所以双曲线，则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 14. 若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到椭圆的、、，以及圆心坐标与半径，再由数量积的运算律得到，利用椭圆的性质求解的范围，从而可得答案. 【详解】椭圆的，，则， 圆的圆心为，半径，则为椭圆的右焦点， 又 ， 由椭圆的性质可得，即， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 圆过点,,. （1）求圆的方程； （2）过圆外一点作圆切线,求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得线段、的垂直平分线，进一步求得圆心和半径，由此即可得解. （2）由切线长公式即可求解. 【小问1详解】 因为,，，所以线段的垂直平分线为， ，线段中点坐标为， 所以线段的垂直平分线是，即， 联立与，可得圆心坐标， 所以圆的半径， 故所求为； 【小问2详解】 . 16. 过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. （1）求线段的中点坐标； （2）求. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由双曲线方程可得，进而得到直线方程，由韦达定理即可求得点坐标； （2）利用弦长公式可求得. 【小问1详解】 由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得：，，； ； 【小问2详解】 由（1）得 . 17. 椭圆短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）过点的直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出，即可直接写出椭圆的标准方程； （2）设过点的直线方程为，与椭圆方程联立方程组，设，，利用根于系数的关系化简即可得解. 小问1详解】 由题意得，得， 故椭圆为； 【小问2详解】 由已知直线过，设的方程为， 联立两个方程得，消去得：， 得， 设，，则，（*）， 因为，故， 将（*）代入上式，可得：， ∴直线与斜率之积为定值． 18. 椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. （1）求椭圆方程； （2）椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 【答案】（1） （2）直线与的交点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）求出、，即可求出，从而求出方程； （2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上． 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为4，焦点坐标为， 所以，即，又，则， 故所求的椭圆方程为． 【小问2详解】 由题意得，， 依题意设直线的方程，设， 联立，整理得， 由，即， 所以，. 所以，即， 又直线的方程为，直线的方程为， 联立， 得， 代入，可得， ，即直线与的交点在定直线上. 19. 已知椭圆过点,，四边形的顶点均在椭圆上，直线过椭圆右焦点，对角线,交点为椭圆左焦点. （1）求椭圆方程； （2）若,的斜率存在且分别为，，求的值； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的点列出方程求出即可. （2）设直线方程，表示出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理用的坐标表示点的坐标，用点的坐标表示点的坐标，再利用斜率坐标公式求出直线的斜率并化简即得. 【小问1详解】 由椭圆过点,，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，依题意均存在且不等于0， 设直线的方程为：，则， 则当时，直线方程为，设， 由消去得：， ， ，当时，，满足上式， 则，同理， 斜率为 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二10月阶段性考试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 3. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若圆关于点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天链三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天链三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天链三号卫星运行的轨迹的长半轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（ ） A. 11 B. 9 C. D. 5 7. 直线与曲线有且只有1个交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知分别为双曲线左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则（ ） A. 直线上横坐标为的点与圆上的点的最近距离为 B. 圆上的点到直线的最近距离是1 C. 圆与圆公共弦所在直线方程为 D. 过点作圆的所有弦中，弦长最短为 10. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若椭圆焦点在轴上，且离心率为，则 B. 若,点为上一点，则面积的最大值为 C. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D. 若以线段为直径的圆与椭圆有四个交点，则的取值范围是 11. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆上一点P到该椭圆一个焦点距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________. 13. 若双曲线右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为_______________． 14. 若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 圆过点,. （1）求圆的方程； （2）过圆外一点作圆的切线,求. 16. 过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. （1）求线段的中点坐标； （2）求. 17. 椭圆短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆方程； （2）过点直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值. 18. 椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. （1）求椭圆方程； （2）椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 19. 已知椭圆过点,，四边形的顶点均在椭圆上，直线过椭圆右焦点，对角线,交点为椭圆左焦点. （1）求椭圆方程； （2）若,的斜率存在且分别为，，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $