专题二因式分解的应用（题型归纳+分类解析+拓展应用） 2025-2026学年人教版八年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题二因式分解的应用（题型归纳+分类解析+拓展应用）（解析版） 题型1 利用因式分解简便计算 观察数字特点，提取公因式或构造公式，将复杂算式变形为乘积形式，简化运算 例1．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-1】．用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】．简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了简便运算，包括提取公因数以及运用平方差公式，熟练掌握因式分解是解决本题的关键． （1）先提取，再进行运算即可； （2）使用平方差公式，将化简为，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】．设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【详解】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 【变式1-4】．已知，， ∴， 计算 ． 【答案】145 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式和平方差公式将原式变形为计算即可． 【详解】解： ； ∴原式 ． 故答案为： 题型2利用因式分解化简求值 当已知条件是一个整体（如 ）时，先将代数式因式分解，再整体代入 例2．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用． 利用平方差公式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， 则 ∴ ， 故选：A． 【变式2-1】．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用．解答本题的关键是灵活运用完全平方公式的变形，将、、作为整体代入．首先根据完全平方公式，把，的值整体代入求出的值．计算出，同理将变形为，代入数据计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-2】．已知，则代数式的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查代数式求值，利用已知方程将高次项降次并求代数式的值是解题的关键．利用，将代数式中的四次项和三次项降次并求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 【变式2-3】．已知，，求下列代数式的值； (1)求：． (2)求：． 【答案】(1)10 (2)12 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其灵活变形． （1）将、的值代入原式计算可得； （2）将、的值代入原式计算可得． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）当，时，且由（1）可知， 原式 ． 【变式2-4】．已知，，，求代数式的值． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查利用完全平方公式，因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 通过已知条件可求得，，的值，将代数式适当变形，将，，的值代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴ ． 题型3利用因式分解判断式子能否整除 将待判断的式子分解成几个因式的乘积，然后检查其中是否包含目标除数。如果包含，则说明可以整除 例3．n为整数时，能否被4整除？并说明理由． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题关键．先利用平方差公式对多项式因式分解为，即可得解． 【详解】解： ， 即能被4整除． 【变式3-1】．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（ⅰ）48；（ⅱ）能被8整除，证明见解析 (2)（或）， 【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）（ⅰ）根据表中规律作答即可； （ⅱ）根据表中规律即可得出能被8整除；根据平方差公式化简，即可得解； （2）根据题中方法利用平方差公式化简即可求解． 【详解】（1）解：（ⅰ）； （ⅱ）能被8整除； 证明： ， 又是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）解： ， ． 故答案为：（或），． 【变式3-2】．若方程组和方程组有相同的解． (1)求，的值； (2)求能否被9整除，并说明理由． 【答案】(1)， (2)能被9整除，理由见解析 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，因式分解的应用； （1）采用加减消元法求出的值，再代入中解二元一次方程组即可； （2）把，代入，再结合因式分解计算得到，进行分析即可求出． 【详解】（1）解： ①②得， 把代入①中得：， ∴解得：， 把代入中得， ， 解得：； （2）解：能被9整除，理由如下： 将代入得： ， ∵中包含因式9， ∴能被9整除． 【变式3-3】．可以被20和25之间的整数整除，求这个数． 【答案】24 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式，将分解成，结合原式可以被20和25之间的整数整除，即可得出这个数为24． 【详解】解： ． ，24是的因数，且是20和25之间的整数， ∴这个数是24． 【变式3-4】．能被整除吗？试说明理由． 【答案】能被整除，见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用。根据题意先分解因式得出与一个数的乘积的形式，即可说明能被整除． 【详解】解：因为 ， 所以能被整除． 题型4利用因式分解证明 通过恒等变形将代数式转化为特定的乘积形式，从而直观地揭示其内在性质 例4．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 【变式4-1】．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数； 材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数． (1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数． (2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数． (3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数． 【答案】(1)是和谐数，平方差为的连续的两个奇数是、； (2)见解析 (3)，，，，， 【分析】此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，理解连续平方差数的特点是解题的关键． 根据和谐数的定义即可判断； 设连续的两个奇数分别为，，利用平方差公式展开，即可得出结论； 设这个三位数为均为小于的自然数，且，根据两个新定义及的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数． 【详解】（1）是和谐数，理由如下： ， 是和谐数． 平方差为的连续的两个奇数是、； （2）证明：设连续的两个奇数分别为，， 则， 任何一个和谐数一定是的倍数； （3）设这个三位数为均为小于的自然数，且， 则是整数，且是整数，， 满足条件的，，有： ，，此时三位数为； ，或，此时三位数为或； ，，此时三位数为； ，，，此时三位数为； ，，，此时三位数为． 综上所述，满足条件的所有三位数有，，，，，． 【变式4-2】．阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】本题考查换元法因式分解和因式分解的应用，读懂题意，理清这个因式分解方法是解题的关键． （1）令，则原式可化为，运用完全平方公式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，则原式可化为运用完全平方公式因式分解，再将“”还原，注意还原之后能继续因式分解要继续分解； （3）令，则原式可化为，配方法得到，将“”还原之后可化为，根据即可得解． 【详解】（1）解：令， 原式， 将“”还原，得原式； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式 ； （3）证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 无论为何值， ， 即式子的值一定是一个不小于2的数． 【变式4-3】．数学兴趣小组发现在实数范围内不能因式分解，接着他们研究的因式分解问题，过程如下． (1)当x为正整数时： ； ； ； ； …… 按照以上规律，回答下列问题： （ⅰ）__________=____________； （ⅱ）_________=___________． (2)在（1）的研究基础上，请你猜想：当x为任意实数时，因式分解所得的结果．并证明该因式分解结果的正确性． 【答案】(1)（ⅰ），；（ⅱ）， (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查因式分解的规律问题．熟练使用因式分解方法是解答关键． （1）通过观察已给出的等式，找出相应的规律求解即可． （2）利用（1）得出的规律来进行猜想，证明求解即可． 【详解】（1）解：（1）（ⅰ）； 故答案为：，； （ⅱ）； 故答案为：，； （2）猜想：因式分解的结果为．     证明：∵， ∴是正确的． 【变式4-4】．综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为，其中为整数． ___________． 它必是奇数 (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是________； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）用平方差公式展开，即可求解； （2）设两个连续偶数为 和 （ 为整数），根据平方差公式展开即可求解． （3）四位数 可表示为：，若 能被 3 整除，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个连续整数为，其中为整数． ∴． 它必是奇数 故答案为：． （2）证明：设两个连续偶数为 和 （ 为整数）， ∴ 是 4 的倍数； （3）解：四位数 可表示为： 其中 是 3 的倍数； 若 能被 3 整除，则整个数可表示为两个 3 的倍数之和， 因此 能被 3 整除． 题型5 利用因式分解求面积 将几何量（如面积、周长）的关系转化为代数式，通过因式分解求解 例5．长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． (1)用含a、b的式子分别表示S1和S2； (2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 【答案】(1)， (2)见解析． 【分析】本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意及整式的乘法求解即可； （2）根据（1）中结果作差，然后分解因式即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ， （2）， ， ， ， 所以与的差一定是5的倍数． 【变式5-1】．数形结合法是常用的数字方法之一，它能起到化抽象为具体，化繁为易的效果，下面是数形结合法的应用． (1)【数学建模】如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分拼成一个等腰梯形，如图，分别计算阴影部分的面积． 可得到乘法公式：_____________________． (2)【数学应用】分解因式： 现有A、B、C三种类型的彩色塑垫，其规格和单价如下（长度单位：米，单价：元/片）白天鹅舞蹈中心要对训练大厅进行装饰，已知大厅的地面是长为，宽为的长方形，现用A、B、C三种塑垫铺设地面，所需费用是多少？画出铺设地面示意图以展示三种塑垫数量．并写出解答过程．（A：100元/片，B：50元/片，C：40元/片） 【答案】(1) (2) 所需费用元，图见解析 【分析】本题主要考查了数形结合的数学思想，平方差公式，因式分解，多项式乘多项式等知识点，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）分别由左图和右图表示出来面积，利用面积相等即可得出平方差公式； （2）①先利用公式法进行因式分解，再进行提公因式； ②对多项式乘多项式进行整理，根据结果提示画出示意图，最后计算出费用即可． 【详解】（1）解：由左图，大正方形的面积与小正方形的面积之差可得， 由右图，梯形面积为， ∴得到的乘法公式为； （2）解：① ； ②铺设地面示意图如下： 三种塑垫数量： A．15片 B．22片  C．8片， ， 所需费用：（元）， 所以，所需费用为2920元． 【变式5-2】．如图，在一块边长为的正方形纸板四周，各剪去一个边长为的正方形． (1)用代数式表示阴影部分的面积； (2)利用因式分解的方法计算：当时，阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)189 【分析】本题考查了因式分解的应用、列代数式，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积解答即可得； （2）先利用平方差公式分解因式，再将代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积， 则阴影部分的面积为． （2）解：阴影部分的面积为， 将代入得： ， 答：阴影部分的面积为189． 【变式5-3】．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为24 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后按照例题的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是35， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为24． 【变式5-4】．如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1)；； (2)①；②5 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式和完全平方公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键． （1）分别根据面积公式进行计算，根据图1的面积图2的面积列式即可； （2）①利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可得到计算结果；②先将化为，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积是， 图2中阴影部分的面积是， 可以得到的乘法公式是； 故答案为：；；； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型6利用因式分解判断三角形形状 将题目中给出的关于三角形边长的复杂等式，通过因式分解这一恒等变形，转化为几个因式相乘等于零的形式，从而揭示出边长之间的内在关系，最终推断出三角形的形状 例6．已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【变式6-1】．已知的三边的边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为 ． 【答案】等边三角形/正三角形 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式变形为，根据平方的非负性可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【变式6-2】．小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)完全平方公式和提公因式，提公因式， (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了因式分解的方法． （1）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； （2）因式分解后，结合三角形三边长为正数及已知条件，推出a、b、c的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】（1）解：完全平方公式和提公因式，提公因式 ． （2）为直角三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 即是直角三角形． 【变式6-3】．阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： (1)若，求t的值； (2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】本题主要考查了完全平方公式因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）将变形为即可求出结果； （2）将变形为，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ． ∵、、是的三边， ∴是等边三角形． 【变式6-4】．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 题型7利用因式分解比较大小 例7．数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ． ； （2）证明： ， 不可能小于0． 【变式7-1】．若，，请比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用求差法与配方法比较代数式的大小是解题关键． 设，则，将x，y用含的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答． 【详解】解：设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 【变式7-2】．阅读理解： 在教材中，我们有学习到又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以．请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：_________；_________． 【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【答案】初步尝试：；；知识应用：，理由见解析；拓展提升：，理由见解析 【分析】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键． 初步尝试：两式相减，仿照题干中的方法比较即可； 知识应用：两式相减，将结果因式分解，再比较即可； 拓展提升：两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可． 【详解】解：初步尝试： ， ∴； ， ∴≤； 知识应用： ； ∴≥； 拓展提升： ∵，， ∴ ∴． 【变式7-3】．大家知道，数学上常用“作差法”比较两个数或代数式的大小．若比较两个式子与的大小，只要计算的结果，若，则；若，则；若．则．例如：已知，，其中．则， ∵ ∴，则， 依据上述方法，完成下列问题： (1)若，则___________；（填“>”“<”或“=”）； (2)已知，若的值与无关，试比较两个式子与的大小； (3)将边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）利用整式加减计算化简，再判断差值正负即可； （2）先计算，根据的值与无关，得出,进而得出 ，即可求解． （3）先表示，由完全平方公式表示，然后作，差因式分解可得，再根据平方非负性即可判断正负． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：∵ ∴ ∵的值与无关， ∴ 解得： ∴ ∴ （3），理由如下： 由题意得， ． 【变式7-4】．【阅读与思考】用求差法比较大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【探究与实践】 (1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，，那么（或）． (2)制作某产品有两种用料方案． 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板． 已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)证明见解析 (2)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的含义，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． （1）先作差可得，，再结合条件进一步证明即可． （2）设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 方案一所用钢板的面积为， 方案二所用钢板的面积为， ， ， ∴， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 题型8 利用因式分解判断式子正负 通过因式分解这一恒等变形，将复杂的代数式转化为更易于分析其性质的形式（如几个因式的乘积），从而帮助我们直观地判断其符号 例8．已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【答案】B 【分析】此题主要考查因式分解的应用．把代数式因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 【变式8-1】．数学课上，老师在黑板上书写了、两个整式：；． (1)通过计算的结果，比较与的大小； (2)若，说理：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方的形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ， 因为，即， 所以， （2）解：因为， 所以 即， 所以不论为何值时，一定大于或等于0， 所以不可能小于0． 【变式8-2】．【背景】甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个大于1的正整数n，然后乙根据n的值计算代数式的值． 【问题】（1）填空：当时，； 当时，；当时，________=________； 【规律】（2）乙发现，当时，A的值均为______数（填“奇”或“偶”），于是猜想：对任意一个大于1的正整数n，的值都是______数（填“奇”或“偶”）．请判断乙的猜想是否正确？先作出判断，再利用因式分解的知识进行说明． 【答案】（1）；；（2）偶；偶；乙的猜想正确；说明见解析 【分析】（1）把代入求值即可； （2）根据计算结果得出A的值均为偶数；先求出，然后根据n与是两个连续的整数，得出为偶数． 【详解】解：（1）当时，； （2）当时，A的值均为偶数； 猜想：对任意一个大于1的正整数n，的值都是偶数． 乙的猜想正确；理由如下： ∵， 又∵n与是两个连续的整数， ∴为偶数． 【变式8-3】定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c． 【答案】 【分析】此题考查了整式运算和因式分解的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算、变形．先按照题意表示出，再运用作差法比较与的大小即可． 【详解】解：由题意得，当，时， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-4】.已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负． 【答案】的值是负值． 【分析】把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】=（a-b+c）(a-b-c) 因为任意两边的之和大于第三边可得a-b+c大于零，a-b-c小于零，所以（a-b+c）(a-b-c) 小于零，即小于零． 故的值是负值． 【点睛】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知因式分解的方法及三角形的三边关系． 题型9 利用因式分解探究规律 利用因式分解探究规律，本质上是进行一种逆向思维。我们通常的步骤是： 1. 观察特例：计算或列出前几项的具体数值或形式。 2. 进行因式分解：将每个项分解成更基本因子的乘积。 3. 对比分析：观察分解后的形式，寻找各因子中存在的稳定模式或序列。 4. 归纳概括：将发现的模式用通用的数学语言（公式）表达出来。 5. 验证推广：用归纳出的公式计算新的项，或证明其普遍性 例9．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）5或7或或（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，进行两次因式分解解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，此时； ，此时； ，此时； ，此时； 则整数m的所有可能值是5或7或或． （3）解： ． 【变式9-1】．【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【答案】1） ；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题． （1）直接利用题意规律求出结果； （2）利用题意规律求出结果； （3）利用提公因式和题意规律求出结果． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． 【变式9-2】．（1）通过计算，探索规律： ，可写成， ，可写成， ，可写成， ，可写成， …… ，可写成________，，可写成________； （2）一个正整数的个位数是5，若去掉个位上的数字5之后的数为a，则该正整数可以表示为________； （3）证明：任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【答案】（1）；；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了数字变化的规律，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知数据得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知数据得出变化规律即可； （2）由题意可知原数的十位及以上部分组成的数为a，个位数为5，因此原数可表示为； （3）任意一个个位数是5的正整数都可以写成，再利用完全平方公式分析即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，，可写成； ，可写成， 故答案为：；； （2）一个正整数去掉个位上的数字5之后的数为a， 原数的十位及以上部分组成的数为a，个位数为5， 因此原数可表示为 （3）任意一个个位数是5的正整数都可以写成，即， 为奇数， 为25的倍数， 能被25整除， 任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【变式9-3】．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)如图①，观察可以发现代数式能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为_________． ②若，利用上面的规律求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查因式分解的应用，掌握该知识点并认真观察图形是解题的关键； （1）根据图①可知可表示为长，宽为的长方形面积，据此可以得出因式分解后的结果； （2）①通过不同的方法计算这个正方体的体积，等号连接即可；②根据题意得到，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据图①可知可表示为长，宽为的长方形面积，那么有 ； （2）解：①这个正方体的体积可以表示为：， 也可以表示为， ∴， 故答案为：． ②因为， 所以． 【变式9-4】．【问题呈现】 观察下列式子：，，，…… 【问题解决】 （1）请你写出第五个式子______； （2）猜想第n个式子，并说明它的正确性． （3）按照上述规律，______； 【知识迁移】 数学社团在研究“正整数m能否表示为（x、y均为自然数）”时，发现若m是4的倍数时，则有：，，，，，……按上述规律，将下列两数用“”形式表示出来． （4）______； （5）______． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例，找出规律，进行因式分解． （1）因为式子依次是，，所以第五个式子是：． （2）因为式子依次是，，所以第n个式子是：，将左边式子展开，发现左右两边相等； （3）因为式子依次是，，所以． （4）因为m是4的倍数时，则有：，，，求出结果即可； （5）因为m是4的倍数时，则有：，，，所以． 【详解】解：（1）因为式子依次是：， 可得第五个式子是：． 故答案为：． （2）第n个式子是：， 因为 ， 所以． （3） ， 故答案为：． （4） ； 故答案为：． （5） ； 故答案为：． 题型10 利用因式分解生活建模 将复杂的现实问题转化为简洁的数学结构，通过恒等变形揭示关键变量之间的关系，从而优化计算、预测趋势或设计方案 例10．如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3） 【答案】剩余钢板的面积为 【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，分解因式后把半径的值代入后可得结果，熟练地运用平方差公式进行计算是解题的关键． 【详解】解： ． 则剩余钢板的面积为． 【变式10-1】．颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【变式10-2】．如图，长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12，求的值． 【答案】1440 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 根据长方形的周长与面积公式确定出与的值，原式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12， ． 【变式10-3】．现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． (1)取甲，乙纸片各1块，其面积和为 ． (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． (3)从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 【答案】(1) (2)6 (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式． （1）直接利用正方形面积公式进行计算即可； （2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可； （3）把原式进行因式分解可得所拼的长方形的长为，宽为，即可解答． 【详解】（1）解：取甲，乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为： （2）解：∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式， ∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块， 故答案为：6． （3）解：∵， ∴所拼的长方形的长为，宽为， 画出所拼的长方形为 【变式10-4】．如图所示，骐骥中学劳动实践基地有两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为． (1)用含m，n，S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为___________； (2)设两个正方形能使用部分的面积差为：． ①求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； ②若，且，求m，n的值各是多少？ 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了因式分解的应用，列代数式，平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为左边能使用的面积为，右边能使用的面积为，所以图中能使用部分的面积之和为：； （2）①两个正方形能使用部分的面积差为 ，化简之后因式分解即可； ②因为，所以，因为，所以，联立求出、． 【详解】（1）（1）因为，， 所以图中能使用部分的面积之和为：； 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ， ， ； ②∵ ， 且， ∴， 解方程组：， 解得：． 1．（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查因式分解、数的整除、整式除法等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知，进而用m表示a、b、c，进而代入求解即可； （2）由题意知不能被3整除的数被3除的余数只能是1或2分类讨论，①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数．②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数．进而求证即可． 【详解】（1）解：由题意可知存在整数m，使得 即 所以，，， 所以； （2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或 ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数． 所以，， 由，为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数． 所以，， 由，及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 2．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 3．根据阅读材料，解决问题． 材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）． 材料2：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：（A）， 例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.则． 请解答： （1）请你直接写出最大的两位对称数：　　，最小的三位对称数：　　； （2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数　　； （3）一个四位的“对称数” ，若（B），请求出的所有值． 【答案】（1）99，101；（2）101101；（3）5115，5665，1551，1001，6556，6006 【分析】（1）根据对称数的概念进行求解即可； （2）分别列举出一位数、两位数、三位数、四位数、五位数的对称数，进一步得出第1100个对称数； （3）先根据K（B）＝8，求出a，b的值，进而求出四位的“对称数”，即可得出结论． 【详解】解：（1）最大的两位对称数是99；最小的三位对称数是101． 故答案为：99；101； （2）一位数的对称数有9个； 两位数的对称数有9个， 三位数的对称数个位与百位可取，十位可取， 有90个； 四位数的对称数个位与千位可取，十位与百位可取， 有90个； 五位数的对称数万位与个位可取，千位、百位、和十位可取， 有900个， 此时99999为第1098个对称数， 第1100个对称数为101101. 故答案为：101101； （3）设四位的对称数的各个数位上的数字分别2倍后，取个位数数字分别为，，，，的整数）， （B）， ， ， 时，；时，； ①当，时，四位的对称数为5115，5665； ②当，时，四位的对称数为1551，1001，6556，6006， 综上所述，为5115，5665，1551，1001，6556，6006． 【点睛】此题主要考查了整除问题，数字问题，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 4．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________． （2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若，求出a，b的值． 【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1 【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解； （2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； （3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值． 【详解】解：（1）x2-4x-5 =（x-2）2-9 =（x-2+3）（x-2-3） =（x+1）（x-5）， 故答案为：（x+1）（x-5）； （2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5， ∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴a-2b=0，b-1=0， ∴a=2，b=1． 【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答． 题型精析 拓展应用 题型归纳 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题二因式分解的应用（题型归纳+分类解析+拓展应用） 题型1 利用因式分解简便计算 观察数字特点，提取公因式或构造公式，将复杂算式变形为乘积形式，简化运算 例1．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式1-1】．用乘法公式简便计算： (1) (2) 【变式1-2】．简便计算 (1) (2) 【变式1-3】．设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【变式1-4】．已知，， ∴， 计算 ． 题型2利用因式分解化简求值 当已知条件是一个整体（如 ）时，先将代数式因式分解，再整体代入 例2．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．已知，则代数式的值为 ． 【变式2-3】．已知，，求下列代数式的值； (1)求：． (2)求：． 【变式2-4】．已知，，，求代数式的值． 题型3利用因式分解判断式子能否整除 将待判断的式子分解成几个因式的乘积，然后检查其中是否包含目标除数。如果包含，则说明可以整除 例3．n为整数时，能否被4整除？并说明理由． 【变式3-1】．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【变式3-2】．若方程组和方程组有相同的解． (1)求，的值； (2)求能否被9整除，并说明理由． 【变式3-3】．可以被20和25之间的整数整除，求这个数． 【变式3-4】．能被整除吗？试说明理由． 题型4利用因式分解证明 通过恒等变形将代数式转化为特定的乘积形式，从而直观地揭示其内在性质 例4．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【变式4-1】．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数； 材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数． (1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数． (2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数． (3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数． 【变式4-2】．阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)试证明：无论为何值，式子的值一定是一个不小于2的数． 【变式4-3】．数学兴趣小组发现在实数范围内不能因式分解，接着他们研究的因式分解问题，过程如下． (1)当x为正整数时： ； ； ； ； …… 按照以上规律，回答下列问题： （ⅰ）__________=____________； （ⅱ）_________=___________． (2)在（1）的研究基础上，请你猜想：当x为任意实数时，因式分解所得的结果．并证明该因式分解结果的正确性． 【变式4-4】．综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为，其中为整数． ___________． 它必是奇数 (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是________； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 题型5 利用因式分解求面积 将几何量（如面积、周长）的关系转化为代数式，通过因式分解求解 例5．长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． (1)用含a、b的式子分别表示S1和S2； (2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 【变式5-1】．数形结合法是常用的数字方法之一，它能起到化抽象为具体，化繁为易的效果，下面是数形结合法的应用． (1)【数学建模】如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分拼成一个等腰梯形，如图，分别计算阴影部分的面积． 可得到乘法公式：_____________________． (2)【数学应用】分解因式： 现有A、B、C三种类型的彩色塑垫，其规格和单价如下（长度单位：米，单价：元/片）白天鹅舞蹈中心要对训练大厅进行装饰，已知大厅的地面是长为，宽为的长方形，现用A、B、C三种塑垫铺设地面，所需费用是多少？画出铺设地面示意图以展示三种塑垫数量．并写出解答过程．（A：100元/片，B：50元/片，C：40元/片） 【变式5-2】．如图，在一块边长为的正方形纸板四周，各剪去一个边长为的正方形． (1)用代数式表示阴影部分的面积； (2)利用因式分解的方法计算：当时，阴影部分的面积． 【变式5-3】．阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 【变式5-4】．如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)通过观察，图1阴影部分的面积是 ，图2中阴影部分的面积是 ，可以得到的乘法公式是 ；（用含a，b的等式表示） (2)应用上述乘法公式解答下列问题： ①计算：； ②若，，求的值． 题型6利用因式分解判断三角形形状 将题目中给出的关于三角形边长的复杂等式，通过因式分解这一恒等变形，转化为几个因式相乘等于零的形式，从而揭示出边长之间的内在关系，最终推断出三角形的形状 例6．已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【变式6-1】．已知的三边的边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为 ． 【变式6-2】．小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式进行因式分解： ． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)小米从第一步到第二步因式分解运用的方法是___________法，第二步到第三步因式分解运用的方法是___________法，请你按照上述方法分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【变式6-3】．阅读理解： 已知，求，的值． 解：， ， ， 又，， ，， ，． 学以致用： (1)若，求t的值； (2)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【变式6-4】．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 题型7利用因式分解比较大小 例7．数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式： ； ． (1)比较M，N的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【变式7-1】．若，，请比较与的大小． 【变式7-2】．阅读理解： 在教材中，我们有学习到又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以．请类比以上的解题过程，解决下列问题： 【初步尝试】比较大小：_________；_________． 【知识应用】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【拓展提升】比较整式和的大小关系，并请说明理由． 【变式7-3】．大家知道，数学上常用“作差法”比较两个数或代数式的大小．若比较两个式子与的大小，只要计算的结果，若，则；若，则；若．则．例如：已知，，其中．则， ∵ ∴，则， 依据上述方法，完成下列问题： (1)若，则___________；（填“>”“<”或“=”）； (2)已知，若的值与无关，试比较两个式子与的大小； (3)将边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，试判断与的大小关系，并说明理由． 【变式7-4】．【阅读与思考】用求差法比较大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【探究与实践】 (1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，，那么（或）． (2)制作某产品有两种用料方案． 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板． 已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 题型8 利用因式分解判断式子正负 通过因式分解这一恒等变形，将复杂的代数式转化为更易于分析其性质的形式（如几个因式的乘积），从而帮助我们直观地判断其符号 例8．已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【变式8-1】．数学课上，老师在黑板上书写了、两个整式：；． (1)通过计算的结果，比较与的大小； (2)若，说理：不可能小于0． 【变式8-2】．【背景】甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个大于1的正整数n，然后乙根据n的值计算代数式的值． 【问题】（1）填空：当时，； 当时，；当时，________=________； 【规律】（2）乙发现，当时，A的值均为______数（填“奇”或“偶”），于是猜想：对任意一个大于1的正整数n，的值都是______数（填“奇”或“偶”）．请判断乙的猜想是否正确？先作出判断，再利用因式分解的知识进行说明． 【变式8-3】定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，，比较b，c的大小：b c． 【变式8-4】.已知，，是三角形的三边长，请判断代数式的值的正负． 题型9 利用因式分解探究规律 利用因式分解探究规律，本质上是进行一种逆向思维。我们通常的步骤是： 1. 观察特例：计算或列出前几项的具体数值或形式。 2. 进行因式分解：将每个项分解成更基本因子的乘积。 3. 对比分析：观察分解后的形式，寻找各因子中存在的稳定模式或序列。 4. 归纳概括：将发现的模式用通用的数学语言（公式）表达出来。 5. 验证推广：用归纳出的公式计算新的项，或证明其普遍性 例9．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【变式9-1】．【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【变式9-2】．（1）通过计算，探索规律： ，可写成， ，可写成， ，可写成， ，可写成， …… ，可写成________，，可写成________； （2）一个正整数的个位数是5，若去掉个位上的数字5之后的数为a，则该正整数可以表示为________； （3）证明：任意一个个位数是5的正整数平方后一定可以被25整除． 【变式9-3】．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)如图①，观察可以发现代数式能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为_________． ②若，利用上面的规律求的值． 【变式9-4】．【问题呈现】 观察下列式子：，，，…… 【问题解决】 （1）请你写出第五个式子______； （2）猜想第n个式子，并说明它的正确性． （3）按照上述规律，______； 【知识迁移】 数学社团在研究“正整数m能否表示为（x、y均为自然数）”时，发现若m是4的倍数时，则有：，，，，，……按上述规律，将下列两数用“”形式表示出来． （4）______； （5）______． 题型10 利用因式分解生活建模 将复杂的现实问题转化为简洁的数学结构，通过恒等变形揭示关键变量之间的关系，从而优化计算、预测趋势或设计方案 例10．如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3） 【变式10-1】．颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【变式10-2】．如图，长和宽分别为a，b的长方形的周长为20，面积为12，求的值． 【变式10-3】．现有甲，乙，丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． (1)取甲，乙纸片各1块，其面积和为 ． (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块． (3)从这些纸片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形请画出所拼的长方形． 【变式10-4】．如图所示，骐骥中学劳动实践基地有两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为． (1)用含m，n，S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为___________； (2)设两个正方形能使用部分的面积差为：． ①求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； ②若，且，求m，n的值各是多少？ 1．（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 2．【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 3．根据阅读材料，解决问题． 材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（例如：1、232、4554是对称数）． 材料2：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：（A）， 例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.则． 请解答： （1）请你直接写出最大的两位对称数：　　，最小的三位对称数：　　； （2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数　　； （3）一个四位的“对称数” ，若（B），请求出的所有值． 4．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________． （2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若，求出a，b的值． 题型精析 题型归纳 拓展应用 学科网（北京）股份有限公司 $