专题二 等腰三角形中的分类讨论思想（常见题型解题思路+分类解析）2025-2026学年人教版数学八年级上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题二等腰三角形中的分类讨论思想（常见题型解题思路+分类解析）（解析版） 等腰三角形中的分类讨论是数学学习的重点和难点。为了帮助你更系统地掌握，下面我将常见题型、解题策略和易错点梳理成了一份详细的指南。 讨论类型 关键点 常见结论/情况 边不明确 已知边长未指明是腰还是底 需分两种情况讨论，并用三角形三边关系检验 角不明确 已知角未指明是顶角还是底角 需分顶角或底角两种情况讨论，注意**三角形内角和180°** 高线位置 高可在三角形内部或外部 分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论 中线分周长 中线将周长分为两部分，比例关系不确定 根据两部分之差等于腰与底之差建立方程 动点/存在性问题 点的位置不确定，需找所有满足等腰三角形的点 常用“两圆一线”模型找出所有可能点 直线位置 在三角形中，没有画出图形，或者点的位置不确定时要进行分类讨论 常用两圆一线找出所有可能的图形 个数不确定 已知两个定点，求使动点构成等腰三角形的位置或数量 常用“两圆一线”模型找出所有可能点 分割三角形为等腰三角形 分割线应从哪个顶点出发 分割时，常需要通过作等角、取中点等操作来构造分割线 腰的垂直平分线 需明确高或垂直平分线与三角形边的位置关系（内部/外部/垂直） 尝试画出垂直平分线与另一腰在内部和外部相交的两种示意图，利用“两锐角互余”求出一些基础角 题型一、腰和底不明时需讨论 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形； 例1 .已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】 解：根据题意得，a-3=0，b-4=0， 解得a=3，b=4， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、3， ∵4+4＞3， ∴能组成三角形，4+4+3=11， ②4是底边时，三角形的三边分别为3、3、4， 能组成三角形，周长=3+3+4=10， 所以，三角形的周长为11或10． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，偶次方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 【变式1-1】．小芳画了一个有两边长为2和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．10 D．9或12 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，分边长为2的边是腰、边长为5的边是腰两种情况，先判断能否构成三角形，再求周长． 【详解】解：分两种情况： 当边长为2的边是腰时，三条边长为2，2，5， ， 不能构成三角形，不合题意； 当边长为5的边是腰时，三条边长为2，5，5， ，， 能构成三角形，符合题意， 这个等腰三角形的周长为， 故选B． 【变式1-2】．如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】分腰长为和两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，此时周长为； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，此时周长为； 即它的周长是或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 【变式1-3】．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（    ） A．10 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键． 【变式1-4】若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 【答案】D 【分析】分边长2为腰和边长3为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可． 【详解】解：①当边长2为腰时，三边为2、2、3，由2+2＞3，则可组成三角形，即周长为2+2+3=7； ②当边长3为腰时，三边为3、3、2，由2+3＞3，则可组成三角形，即周长为2+3+3=8； 所以该等腰三角形的周长为7或8． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本题的关键、也是解答本题的易错点． 2. 顶角和底角不明时需讨论  在等腰三角形中，没有明确指明顶角还是底角时，要进行分类讨论。 例2 .一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设顶角度数为，分两种情况讨论：①若底角度数是顶角度数的；②若顶角度数是底角度数的，分别列方程求解即可． 【详解】解：设顶角度数为， ①若底角度数是顶角度数的，则底角度数为， 则， 解得：； ②若顶角度数是底角度数的，则底角度数为， 则， 解得：； 即这个等腰三角形顶角的度数是或， 故选：D． 【变式2-1】．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．分类讨论这个的角是等腰三角形的顶角还是底角，再进一步求解即可． 【详解】解：若的角是顶角，则底角是， 若的角是底角，则底角是． 故选：C． 【变式2-2】．在等腰三角形中，，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．分为：为顶角、为顶角和为顶角，再根据三角形内角和定理可求得的度数，从而确定答案． 【详解】解：在等腰三角形中，， 当为顶角时， ； 当为顶角时， ； 当为顶角时， ， ； 则的度数不可能是， 故选：C． 【变式2-3】．在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据与的度数之比是，设，，分为顶角和为底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵与的度数之比是， ∴设，， 当为顶角时，则：， ∴， ∴， ∴； 当为底角时，则：， ∴， ∴， ∴； 故或； 故选D． 【变式2-4】．已知一个等腰三角形的一个外角等于，则它顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质及外角定理的应用．解题关键是分析外角对应的是顶角还是底角的内角，并分类讨论两种情况． 【详解】解：外角为， 对应的内角为， 分情况讨论： 情况1：若外角位于顶角，则顶角的内角为， 此时底角为， 情况2：若外角位于底角，则底角的内角为，则顶角为， 综上所述，它的顶角是或， 故选：C． 三、涉及高位置需讨论  在三角形中，高的位置与三角形的形状有关，在等腰三角形中，涉及三角形高时，高的位置没有确定时，要进行分类讨论。 例3．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的底角是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（两腰相等、两底角相等）及直角三角形的内角和性质，解题的关键是分情况讨论等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，避免因忽略高的位置（在三角形内或外）导致漏解． 先明确等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，需分两种情况：①等腰三角形为锐角三角形时，高在三角形内部，此时可先求顶角，再结合内角和求底角；②等腰三角形为钝角三角形时，高在三角形外部，此时先求顶角的补角，再确定顶角，最后求底角；再根据两种情况的结果匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：等腰三角形为锐角三角形（高在三角形内部） 设等腰三角形顶角为，底角为 ∵一腰上的高与另一腰夹角为， ∴顶角 ∵三角形内角和为， ∴底角 情况2：等腰三角形为钝角三角形（高在三角形外部） 设等腰三角形顶角为（钝角），底角为 ∵高在外部，高与另一腰夹角为， ∴顶角的补角，即 ∵三角形内角和为， ∴底角 综上，底角为或． 故选：A． 【变式3-1】．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角是50度，则底角是（   ）度． A．20 B．70 C．20或70 D．40 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理．分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角． 【详解】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1， 可得其顶角为， 则底角为； 当该三角形为钝角三角形时，如图2， 可得顶角的外角为， 则底角为， 综上可知该三角形的底角为或， 故选：C． 【变式3-2】．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质．由于题中没有图，要根据已知画出图形并注意要分类讨论．由于此高不能确定是在三角形的内部，还是在三角形的外部，所以要分锐角三角形和钝角三角形两种情况求解． 【详解】解：如图，分两种情况： 如图①，，，， ， ； 如图②，，，， ，， ． 故选：D． 【变式3-3】．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为，即可求解． 【详解】解：①如图，若等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， ∴底角的度数为； ②如图，若等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． ∴底角的度数为； ∴底角的度数为或． 故选：A 【变式3-4】已知等腰中，于点，且AD=BC，则底角的度数为( ) A. 45° B.75° C.75°或45°或15° D. 60°或30° 【参考答案】 【试题解析】 【分析】 分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当时，根据已知条件得出，从而得出底角的度数；当时，先求出的度数，再根据，求出底角的度数；当时，根据，，得出，从而得出底角的度数．此题考查了含度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解． 【解答】 解：分三种情况进行讨论： 如图，当时，易知底角的度数为 如图，当且为锐角时，易知底角的度数为 如图，当且为钝角时，易知底角的度数为． 综上，底角的度数为或或． 故选C． 4、 位置不确定需分类讨论  在三角形中，没有画出图形，或者点的位置不确定时要进行分类讨论。 例4.如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为　 　． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形， ①如图1，∵∠ACB＝2∠A， ∴AD＝DC＝BD， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝45°； ②如图2，AD＝DC＝BC， ∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B， ∴∠BDC＝2∠A， ∴∠A＝36°， ③AD＝DC，BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD， ∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A， ∴∠BCD＝2∠A， ∵∠ACB＝2∠A，故这种情况不存在． ④如图3，AD＝AC，BD＝CD， ∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD， 设∠B＝∠BCD＝α， ∴∠ADC＝∠ACD＝2α， ∴∠ACB＝3α， ∴∠A＝α， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴α+α+3α＝180°， ∴α＝， ∴∠A＝， ⑤如图4，AC＝CD＝DB， ∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB， ∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A， ∴∠B＝∠DCB＝＝， ∴∠ACB＝∠A＝180°﹣， ∵∠ACB＝2∠A， ∴180°﹣＝2∠A， ∴ 综上所述，∠A的度数为45°或36°或或． 故答案为：45°或36°或或． 【变式4-1】．如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论 【详解】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 【变式4-2】．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)25；110 (2)，见解析 (3)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意，分当时；当时；当时．进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：25，110； （2）解：当时，，理由如下： ，，， ， ， ∴当时， ， ； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时，有， ， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， ∴； 当时，有， ， , 综上所述：的度数为或． 【变式4-3】．如图，在中，点为边上的一点，，，． (1)试说明； (2)求的长； (3)直线上是否存在一点，使为等腰三角形．若存在，请直接写出此时线段的长度；若不存在，请说明理由； (4)如图1，动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，设运动时间为秒．现把沿着直线翻折，请直接写出当为何值时，点翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)存在，或4或6或16 (4)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理即可解答； （3）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点在线段上，且时，根据可得答案；当点在延长线上，且时，根据可得答案；当时，设，则，根据勾股定理可得答案； （4）当点在线段上时，设，则，在中，根据勾股定理可得，进而得出答案； 当点在延长线上时：设，则，在中，根据勾股定理可得，进而得出答案. 【详解】（1）证明： ， 根据勾股定理的逆定理可得：为直角三角形，且， （2）解：由（1）得： ， 点为边上的一点， 为直角三角形， 在中，根据勾股定理可得： （3）①当时： 为中点， ②当点在线段上，且时： ③当点在延长线上，且时： ； ④当时： 在左侧，设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得：，   综上所述，线段的长度为或4或6或16． （4）①当点在线段上时： 设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得， ②当点在延长线上时：设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得：， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论，不能丢解． 【变式4-4】．如图，在中，，已知，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒．    (1)用含有的代数式表示的长； (2)求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)(且) (2) (3)的值是0.5或5.5 (4)的值为或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、同(等)角的余(补)角相等的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出，继而得到，，从而得解； （3）分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述：(且) （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，由（2）可知此时点P与点A或点B重合，不合题意，舍去； 当时，由（1）（2）可知(且)， 解得：或5.5， 即的值是0.5或5.5； （4）①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且 ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且 ∴， 解得：； 综上所述：的值为或． 5、 数量关系不确定需分类讨论  在等腰三角形中，线段或角的数量关系不确定时，要进行分类讨论 例5 .若等腰三角形腰长为，面积是，则这个等腰三角形顶角的度数为(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B  【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的面积等有关知识，先求出，再结合含的直角三角形等定理，得出结果；当三角形为钝角三角形时，可求得顶角的邻补角为，可求得其顶角，综合得出结果． 【解答】 解：当该三角形为锐角三角形时，如图，  过点作于， ， ，   在中，， ，即的顶角为；  当该三角形为钝角三角形时，如图，  过点作于， ， ，   在中，， ，  ，即的顶角为；  综上可知该三角形的顶角为或，  故选B 【变式5-1】．在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、构成三角形的条件、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 【变式5-2】．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，， 由题意得或， 解得或， ∵， ∴不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为， 故选：． 【变式5-3】．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为．则等腰三角形的腰长为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、根据三角形中线求长度 【分析】根据等腰三角形的性质设腰长为，根据已知条件列式求解即可． 【详解】解：设腰长为， 如图，在中，，D为边的中点． 则或， 解得：，， 或2， ①三角形三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理； ②三角形三边是2、2、5，，不符合三角形三边关系定理； 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质应用，结合三边关系进行求解是关键． 【变式5-4】已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是　 　． 【答案】8或4 【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝对值， ∵其中一部分比另外一部分长2， ∴腰比底大2或底比腰大2， ∴腰为8或4． 故答案为：8或4． 六、等腰三角形个数的讨论 在等腰三角形中，以已知线段为底还是为腰不确定，分类讨论。 例6．在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】坐标系中描点、格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 【变式6-1】．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 【变式6-2】．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、找出图中的等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 【变式6-3】．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 【变式6-4】．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 【答案】3 【知识点】三角形内角和定理的应用、找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即，， 则、、都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3． 七、动点引起的分类 动点需满足三角形存在性条件（如两边之和大于第三边）。 复杂问题可结合几何法与代数法，优先选择几何法简化计算。 例7．如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据  是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 P 在上，或点 P 在上；然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，当点 P 在上，时，是等腰三角形，      ∵，，   ∴当时，，解得；   如图，当P在上，时，是等腰三角形，   ∵，，   ∴当时，，解得；   综上可得：当或5秒时，是等腰三角形， 故选：D．   【变式7-1】．如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；由轴对称的性质得，作的中垂线交于点，则和均为等腰三角形，再分别以点A和点为圆心，为半径作圆与直线有四个交点，则和均为等腰三角形，故可求解． 【详解】解：如图，直线是长方形的一条对称轴，点P是直线上的动点， ， 是等腰三角形， 作或的垂直平分线与直线有一个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，，使得和均为等腰三角形， 所以，动点的个数有5个， 故选：B． 【变式7-2】．如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式7-3】．如图，矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，点从点出发以每秒的速度向点运动，连接，，若是以为腰长的等腰三角形，则点的运动时间为 秒． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点是边的中点， ∴ 如图1，当时， 在中， 所以． 如图2，当时，过点E作于点F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 如图3，当时， 在中，同理可得 ∴， 所以． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为或或秒． 故答案为：或或． 【变式7-4】．如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)求边上的高； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）过点作于点，利用等面积法，即可求解； （3）先运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出； 分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述：； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴， ∴， 即边上的高为； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，此时点P与点A或点B或点C重合，不合题意，舍去； 当时， ①当时，得，解得：； ②当时，得，解得：； 即的值是或； （4）解：①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且， ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且， ∴， 解得：． 综上所述：的值为或． 8、 分割三角形得等腰三角形 分类时需结合三角形三边关系验证结果合理性。 动点问题（如点P在坐标轴上）需使用“两圆一线”方法辅助分类讨论 例8．仿照图①，请你再设计一种不同的分法，将等腰三角形分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（图②、图③供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）． 【答案】答案不唯一，答案见解析． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查的是应用与设计作图，熟知等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键．根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 7．如图，在中，． (1)求作边上的中线（用尺规作图，保留作图痕迹不要求写作法）； (2)证明直线将分割成两个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）尺规作图，作出的垂直平分线，即可解答； （2）根据是的中线，得到，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图 （2）∵是的中线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴直线将分割成两个等腰三角形． 【变式8-1】．（1）如图，在中，，取的中点，连结，则被分割成两个等腰三角形．如图，如图，，请在图和图中各作1条分割线将和各分割成两个等腰三角形，并在图上标出判定等腰三角形的相关角度． （2）在中，若，且存在一条过点分割线，将分割成两个等腰三角形，求的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质： （1）如图b，取的中点，使，如图c，取的中点，使，即可求解； （2）分两种情况，结合等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：（1）如图b，取的中点，使， 如图c，取的中点，使， （2）如图， 如图1，当，时，取的中点N， 此时， ∴， ∴， ∴，， ∴，满足条件； 如图2，在上取点M，使， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，满足条件， 此时， ∴； 综上所述，的取值范围为． 【变式8-2】．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 【变式8-3】．【阅读学习】 阅读1：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫做“可两分三角形”，这条线段叫做这个三角形的“两分线”． 阅读2：如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．如图3，线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段，是的“三分线”． (1)判断：在中，，，则 “可两分三角形”（填“是”或“不是”）； (2)画图和计算：下图中的两个三角形都是“可两分三角形”，请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数； (3)画图和计算：请你在图4中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数； (4)画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 【答案】(1)是； (2)画见解析； (3)画见解析； (4)的值为或． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． （）根据新定义画出图形即可判断； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据题意分情况讨论画图即可求解． 【详解】（1）解：如图，，， ∴是“可两分三角形”， 故答案为：是； （2）解：如图， （3）解：如图， （4）解：如图，当时， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这种情况不成立， 综上可知：的值为或． 【变式8-4】．如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 【答案】(1)存在 (2)见解析 (3)符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据给定的将分为和即可双腰三角形； （2）根据垂直平分线得，可得是等腰三角形，利用三角形外角定理，即可证得是等腰三角形，那么结论成立； （3）当是一个等腰三角形，且它是“准黄金三角形”时，有四种情形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于点D，连接， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴这个三角形存在“黄金线”； 故答案为：存在； （2）证明：∵线段的垂直平分线交于点E， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条“黄金线”； （3）解：一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，有以下四种情况： ①如图3，，， ∴， ∵是一个“准黄金三角形”， ∴和都是等腰三角形， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； ②如图4，设， ∵， ∴，， 则， 解得， 此时等腰三角形的顶角为； ③如图5，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 此时等腰三角形的顶角为； ④如图6，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时等腰三角形的顶角为； 综上，符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义—“准黄金线”，“准黄金三角形”的理解和运用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，正确地理解题意是解题的关键． 9、 等腰三角形腰的垂直平分线位置不确定分类讨论 分类依据 ：需明确高或垂直平分线与三角形边的位置关系（内部/外部/垂直） 计算方法 ：利用三角形内角和定理及等腰三角形性质（两底角相等） 例9．在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于 ． 【答案】或 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图， ∵垂直平分， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，同理可得：， ∴； 故答案为：或 【变式9-1】．在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：分以下两种情况： 如图1，为锐角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（此时点E和点C重合）； 如图2，为钝角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式9-2】．在三角形中，，边上的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则底角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 当为锐角三角形时，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；当为钝角三角形时，求得的外角，利用外角的性质求得． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1， 设的垂直平分线交线段于点D，交于点E， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴； 当为钝角三角形时，如图2， 设的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 【变式9-3】．在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 分种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得、，根据题意得，利用三角形的外角的性质求得，根据即可求解；②当点与点重合，点与点重合，． 【详解】解：根据题意，有种情况， ①如图， 与边上的垂直平分线、分别交于点、点， ，， ，， ， ， 是的一个外角，是的一个外角， ，， ， ， ． ②如图，当点与点重合，点与点重合， 此时，． 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式9-4】．已知，在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，则 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，理解题意，图形结合，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意，分类讨论，图形结合分析，根据等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：①如图所示， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， 在中，， ∴； ②如图所示， 根据题意，在中，，， ∵是的外角， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 二、 分类解析 一、 常见题型及解题思路 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题二等腰三角形中的分类讨论思想（常见题型解题思路+分类解析） 等腰三角形中的分类讨论是数学学习的重点和难点。为了帮助你更系统地掌握，下面我将常见题型、解题策略和易错点梳理成了一份详细的指南。 讨论类型 关键点 常见结论/情况 边不明确 已知边长未指明是腰还是底 需分两种情况讨论，并用三角形三边关系检验 角不明确 已知角未指明是顶角还是底角 需分顶角或底角两种情况讨论，注意**三角形内角和180°** 高线位置 高可在三角形内部或外部 分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论 中线分周长 中线将周长分为两部分，比例关系不确定 根据两部分之差等于腰与底之差建立方程 动点/存在性问题 点的位置不确定，需找所有满足等腰三角形的点 常用“两圆一线”模型找出所有可能点 直线位置 在三角形中，没有画出图形，或者点的位置不确定时要进行分类讨论 常用两圆一线找出所有可能的图形 个数不确定 已知两个定点，求使动点构成等腰三角形的位置或数量 常用“两圆一线”模型找出所有可能点 分割三角形为等腰三角形 分割线应从哪个顶点出发 分割时，常需要通过作等角、取中点等操作来构造分割线 腰的垂直平分线 需明确高或垂直平分线与三角形边的位置关系（内部/外部/垂直） 尝试画出垂直平分线与另一腰在内部和外部相交的两种示意图，利用“两锐角互余”求出一些基础角 题型一、腰和底不明时需讨论 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形； 例1 .已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 【变式1-1】．小芳画了一个有两边长为2和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．12 C．10 D．9或12 【变式1-2】．如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-3】．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（    ） A．10 B．15 C．17 D．19 【变式1-4】若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．7 B．8 C．9 D．7或8 2. 顶角和底角不明时需讨论  在等腰三角形中，没有明确指明顶角还是底角时，要进行分类讨论。 例2 .一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】．在等腰三角形中，，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-4】．已知一个等腰三角形的一个外角等于，则它顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 三、涉及高位置需讨论  在三角形中，高的位置与三角形的形状有关，在等腰三角形中，涉及三角形高时，高的位置没有确定时，要进行分类讨论。 例3．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则这个等腰三角形的底角是（   ） A．或 B． C． D．或 【变式3-1】．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在的直线的夹角是50度，则底角是（   ）度． A．20 B．70 C．20或70 D．40 【变式3-2】．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-3】．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-4】已知等腰中，于点，且AD=BC，则底角的度数为( ) A. 45° B.75° C.75°或45°或15° D. 60°或30° 4、 位置不确定需分类讨论  在三角形中，没有画出图形，或者点的位置不确定时要进行分类讨论。 例4.如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为　 　． 【变式4-1】．如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式4-2】．如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【变式4-3】．如图，在中，点为边上的一点，，，． (1)试说明； (2)求的长； (3)直线上是否存在一点，使为等腰三角形．若存在，请直接写出此时线段的长度；若不存在，请说明理由； (4)如图1，动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，设运动时间为秒．现把沿着直线翻折，请直接写出当为何值时，点翻折后的对应点恰好落在直线上． 【变式4-4】．如图，在中，，已知，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒．    (1)用含有的代数式表示的长； (2)求的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 5、 数量关系不确定需分类讨论  在等腰三角形中，线段或角的数量关系不确定时，要进行分类讨论 例5 .若等腰三角形腰长为，面积是，则这个等腰三角形顶角的度数为(    ) A. B. 或 C. D. 或 【变式5-1】．在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【变式5-2】．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 【变式5-3】．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为．则等腰三角形的腰长为（    ） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【变式5-4】已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是　 　． 六、等腰三角形个数的讨论 在等腰三角形中，以已知线段为底还是为腰不确定，分类讨论。 例6．在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式6-2】．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式6-3】．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-4】．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 七、动点引起的分类 动点需满足三角形存在性条件（如两边之和大于第三边）。 复杂问题可结合几何法与代数法，优先选择几何法简化计算。 例7．如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 【变式7-1】．如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 【变式7-2】．如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【变式7-3】．如图，矩形中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点，点从点出发以每秒的速度向点运动，连接，，若是以为腰长的等腰三角形，则点的运动时间为 秒． 【变式7-4】．如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)求边上的高； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 8、 分割三角形得等腰三角形 分类时需结合三角形三边关系验证结果合理性。 动点问题（如点P在坐标轴上）需使用“两圆一线”方法辅助分类讨论 例8．仿照图①，请你再设计一种不同的分法，将等腰三角形分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（图②、图③供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）． 【变式8-1】．（1）如图，在中，，取的中点，连结，则被分割成两个等腰三角形．如图，如图，，请在图和图中各作1条分割线将和各分割成两个等腰三角形，并在图上标出判定等腰三角形的相关角度． （2）在中，若，且存在一条过点分割线，将分割成两个等腰三角形，求的取值范围． 【变式8-2】．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【变式8-3】．【阅读学习】 阅读1：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫做“可两分三角形”，这条线段叫做这个三角形的“两分线”． 阅读2：如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．如图3，线段，将顶角为的等腰三角形分成了三个等腰三角形，则线段，是的“三分线”． (1)判断：在中，，，则 “可两分三角形”（填“是”或“不是”）； (2)画图和计算：下图中的两个三角形都是“可两分三角形”，请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数； (3)画图和计算：请你在图4中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数； (4)画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 【变式8-4】．如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的“准黄金线”，这个三角形称为“准黄金三角形”， (1)如图1，三角形内角分别为，，，这个三角形 （填“存在”或“不存在”）“黄金线”； (2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D．求证：是的一条“黄金线”； (3)若一个等腰三角形是一个“准黄金三角形”，请直接写出符合条件的所有的等腰三角形的顶角的度数． 9、 等腰三角形腰的垂直平分线位置不确定分类讨论 分类依据 ：需明确高或垂直平分线与三角形边的位置关系（内部/外部/垂直） 计算方法 ：利用三角形内角和定理及等腰三角形性质（两底角相等） 例9．在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于 ． 【变式9-1】．在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于 ． 【变式9-2】．在三角形中，，边上的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，则底角的度数为 ． 【变式9-3】．在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 【变式9-4】．已知，在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，则 ． 二、 分类解析 一、 常见题型及解题思路 学科网（北京）股份有限公司 $