期中重难点检测卷（提高卷）（考试范围：1～3章 反比例函数+一元二次方程+图形的相似全部内容）-2025-2026学年湘教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 3章（反比例函数+一元二次方程+图形的相似全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南常德·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．（25-26九年级上·湖南常德·阶段练习），是函数图象上两点，且，则，大小关系是（   ）． A． B． C． D．，大小不确定 4．（2025·湖南永州·模拟预测）若且面积比为，则与的相似比是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南张家界·课后作业）如图所示，，，，下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南张家界·模拟预测）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）对于一次函数，为常数）与反比例函数，若，则称函数与互为“同函数”，下列结论： ①若函数与互为“同函数”，则函数与函数一定相交； ②若函数与互为“同函数”，当时，两函数图象的交点是，； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，函数过定点． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点A的坐标是（ ）    A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 12．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段练习）对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ． 13．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 14．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为 ．    15．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积 （用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是 ． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·湖南永州·阶段练习）按要求解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)．         18．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 19．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 20．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 21．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 22．（2025·湖南怀化·模拟预测）学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 23．（2025·湖南湘潭·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 24．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 3章（反比例函数+一元二次方程+图形的相似全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）若，则下列等式错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 、，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形不正确，故本选项符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 、由得，变形正确，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·湖南常德·阶段练习）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数求值等运算，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 将方程的根代入方程得出，然后代入求值即可． 【详解】解：将代入得， ， ， 将代入上式得， 原式， 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖南常德·阶段练习），是函数图象上两点，且，则，大小关系是（   ）． A． B． C． D．，大小不确定 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据时，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随着x增大而减小即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随着x增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）若且面积比为，则与的相似比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方，解答即可． 【详解】解：∵，面积比为， ∴与的相似比为， 故选：B． 5．（25-26九年级上·湖南张家界·课后作业）如图所示，，，，下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，由线平行分别证得，，进而证得，，推出，得到，，，，由此进行判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ，， ∴A，C，D选项正确，B选项错误， 故选：B． 6．（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段练习）某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据商品原价为100元，故第一次降价后的价格为（元），第二次降价后的价格为（元），结合连续两次降价后售价为81元，列方程，即可作答． 【详解】解：∵某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x， ∴可列方程为， 故选：A． 7．（2025·湖南张家界·模拟预测）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 8．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了探索数字的运算规律，根据前几个运算找到规律，根据规律求出结果即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 可知每次运算一个循环， ， 是第个循环的最后一个数， . 故选：B． 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）对于一次函数，为常数）与反比例函数，若，则称函数与互为“同函数”，下列结论： ①若函数与互为“同函数”，则函数与函数一定相交； ②若函数与互为“同函数”，当时，两函数图象的交点是，； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，函数过定点． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据“同函数”的定义，结合一次函数与反比例函数的性质，对三个结论逐一进行分析判断． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了是否有交点的判断以及交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，明确函数与方程的关系是解题的关键． 【详解】解：①若函数与互为“同函数”，则，， 令，整理得， ， 函数与函数一定相交， ①正确； ②若函数与互为“同函数”，当时，则，， 令，整理得， ， ， ， 两函数图象的交点是，， ②正确； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，则交点为， 把代入得，， ， ， ， 函数过定点． ③错误． 故选：C． 10．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点A的坐标是（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称－最短路径以及含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，坐标与图形，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键． 作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点关于轴的对称点，过点作交轴于点，如图：    则此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南益阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段练习）对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ． 【答案】 或1 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据因式分解法可进行求解方程； （2）由题意可分为当时，当时和当时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， ， 解得：； （2）当时，即， ∴， 解得：（均不符合题意，舍去）； 当时，即， 此时可有，方程成立， 所以是方程的解； 当时，即， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：方程的解为或1． 13．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案． 【详解】解：作交于， ，D是中上的中点， ， ， ， ，是的中线， ， 且， ， ， ， ， 14．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为 ．    【答案】12.5 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的周长比为：， ∵的周长为5， ∴的周长为12.5； 故答案为：12.5． 15．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 【答案】 两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键． （1）根据根的判别式即可进行判断； （2）根据根与系数的关系，，可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 16．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积 （用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的面积公式、两点间的距离公式． （1）设，则，，由轴，轴，得到点E的横坐标为a，点F的纵坐标坐标为b，分别把，代入函数，得，，因此，，根据即可求解； （2）由（1）有，，，可求得，进而得到，把相关数据代入，解方程后进行取舍即可求解． 【详解】解：（1）设 ∵点P是反比例函数（，）图象上一动点， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b， 把代入函数，得， ∴， ∴， 把代入函数，得， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． （2）由（1）有，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴，，， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴． ∴． 故答案为： 三、解答题（8小题，共72分） 17．（25-26九年级上·湖南永州·阶段练习）按要求解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的三种解法（配方法、公式法、因式分解法），解题的关键是掌握每种解法的核心步骤：配方法需先化二次项系数为1再配方，公式法需先将方程整理为一般式以确定、、的值，因式分解法需通过移项、提公因式将方程化为乘积形式． （1）先将二次项系数化为1（方程两边除以2），再移常数项到右边，接着在等式两边加一次项系数一半的平方完成配方，最后开平方求解； （2）先移项整理为一般式，确定、、的值，计算判别式，再代入求根公式求解； （3）先将右边变形为，移项后提公因式，将方程化为的形式，令每个因式为0求解． 【详解】（1）解： 方程两边除以2：；   移项：；   配方：， 即；   开平方：；   解得：，． （2）解 移项，合并同类项：；   其中，，；   ；   ∴；   解得：，． （3）解 右边变形：； 移项：； 即； ∴或； 解得：，． 18．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，若直线，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出，得到，即可求出长，得到的长． 【详解】（1）解：∵， ， ，，， ， ； （2）∵， ， ， ， ， ， ． 19．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 20．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)以点O为位似中心，在第四象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)求的面积； (3) _______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积是； （3）解：∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴． 21．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)满足，详解见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系和根的判别式，用公式法、因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． （1）根据公式法求出的两个根，再根据题意计算和，最后验证两个根的和与积是否分别满足和； （2）根据题干中的韦达定理解答即可； （3）先根据根的判别式得，由题干中的韦达定理得和，再化简，将和代入后得到关于的一元二次方程，解方程并判断是否符合题意． 【详解】（1）由，这里，，， ， ， ，， ，， 则一元二次方程两个根的和与积满足和； （2）一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， 设一元二次方程的一般式是， ，， 解得：，， 这个一元二次方程的一般形式为； （3）和是关于的方程的两个实数根， ，，， ， 又， ， 则， ， 当时，， 当时，， ，（舍去）， 则． 22．（2025·湖南怀化·模拟预测）学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②左，1，或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象，函数图象的平移规律，与不等式的关系等知识点． （1）将，分别代入，即可求解； （2）由函数图象平移规律可求解该函数图象的对称中心，以及函数平移的平移方式，的解集转化为的图象在直线下方时，对应的的取值范围，再结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：作图如下： （3）解：∵函数的图象可由的图象向左平移1个单位长度得到，而 的对称中心为， ∴平移后的函数图象的对称中心为， 如图： 当时，， 解得：， ∴， 即， ∴， ∴不等式的解集为函数的图象在直线下方时，对应的的取值范围， ∵对称中心为， ∴由函数图象可得：不等式的解集为或， ∴时，的取值范围或， 故答案为：①；②左，1，或． 23．（2025·湖南湘潭·模拟预测）我校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，发现直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形都相似，从而进行了深入研究． （一）拓展探究如图1，在中，，，垂足为， （1）兴趣小组的同学得出了三个结论：①，②，③．请选择其中一个进行证明． （2）如图2，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形；理由见解析；（3） 【分析】（1）选①，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选②，先证明，再列出比例式，变形即可得； 选③，先证明，再列出比例式，变形即可得； （2）先判定是直角三角形，再说理，先证明，再列出比例式，变形即可得，再证明，从而可得，再利用垂直的意义得出，从而可得，最后可判断是直角三角形； （3）先写出结论线段的长为，再说明理由，先证明，再利用垂直的意义得出，从而可求得，再证明，列出比例式和，从而可得，求得，从而可得是定值，且是定值，再得出当时，取得最小值， 此时与重合，求得，从而可利用勾股定理求得． 【详解】解：（1）选①证明：，， ， ， ， ， ； 选②证明：，， ， ， ， ， ； 选③证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）线段的长为．理由如下： 是直角三角形，，，，如图，过作交的延长线于， 过作交于，过作交于， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 解得：， 是定值，且是定值， 在直线上运动， 当时，取得最小值， 此时与重合， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形有关的动点问题，解题关键是找准相似三角形求出相关线段． 24．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 【答案】(1)，，； (2)①；②减小 【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质 （1）任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解， （2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象， ②根据反比例函数的增减性，即可求解， 【详解】（1）解：任务一：①根据题意得：矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴，即：， 设，则，， 由题意得， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， 故答案为：，，；． （2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，， ， 由任务一可知：， ， 即， 解得：； ②用描点法可得该函数的图象，如下图所示： 当当 时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 学科网（北京）股份有限公司 $