期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：1～3章 因式分解+分式+二次根式全部内容）-2025-2026学年湘教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 3章（因式分解+分式+二次根式全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）规定一种新运算“★”：，已知，则的值为（  ） A．－ B． C．或－ D． 5．（2025·湖南常德·模拟预测）A、B两地相距180千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是因为，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分，若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 9．（2025八年级上·湖南湘潭·专题练习）如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆．已知深色部分的半径为，浅色圆环部分面积为，若取3，则可以估计此树墩截面的半径为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南株洲·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 12．（2025八年级上·湖南益阳·专题练习）分解因式： （1） ； （2） ． 13．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）已知，其中m，n，p，q为常数，则 ． 14．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）观察：，，，…计算，其结果为 ． 15．（2025·湖南怀化·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 16．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式） ． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）解方程： (1) (2) 18．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）分解因式： (1)． (2) 19．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）计算 (1)； (2)． (3)； 20．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）明明碰到这么一道题“分解因式：”，去问老师怎么做，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上4，再减去4，这样原式化为：，…”，老师话没讲完，他就恍然大悟，并马上就做好了此题．请把剩余的步骤写完整，并仔细领会这一做法，将分解因式． 21．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解∶方程两边同乘______， 得．…………第一步 去括号，得．…………第二步 移项、合并同类项，得．……………………第三步 系数化为1，得．……………………第四步 (1)第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； (2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 22．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）小深在学习二次根式分母有理化问题：已知他是这样分析与解答的： ，请你根据小深的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 23．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 24．（25-26八年级上·湖南湘潭·课后作业）我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 例； 例2：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)假分式可化为带分式______的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~ 3章（因式分解+分式+二次根式全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，若表示形式为的形式，其中，为整数，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；若表现形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，根据科学记数法的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：、错误，故本选项符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】A：等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； B：该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C：变形结果中含有分式，不符合因式分解的定义，不符合题意； D：等式右边是几个整式积的形式，并且左边等于右边，是因式分解，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握是解题的关键． 依据小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，即可得到，进而得出结论． 【详解】解：∵展开后得到； ∴， ∵展开后得到， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）规定一种新运算“★”：，已知，则的值为（  ） A．－ B． C．或－ D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算及解分式方程和求分式的值．根据，时，，求出a的值，再由，代入求解即可． 【详解】解：，即当，时， ∴， 解得， 经检验，是方程的解． 所以． 当，时， 故选：D． 5．（2025·湖南常德·模拟预测）A、B两地相距180千米，甲车和乙车的平均速度之比为，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟，若求甲车的平均速度，设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设甲车平均速度为千米/小时，则乙车平均速度为千米/小时，根据两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到30分钟列出方程即可． 【详解】解：设甲车平均速度为千米/小时，则乙车平均速度为千米/小时， 根据题意得，． 故选：B． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是因为，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分，若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法运算，解题的关键在于正确求解无理数的整数与小数部分．先求出的整数部分，即a的值，再求出的小数部分，即的值，再利用二次根式乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 8．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 9．（2025八年级上·湖南湘潭·专题练习）如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆．已知深色部分的半径为，浅色圆环部分面积为，若取3，则可以估计此树墩截面的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的面积公式以及二次根式的化简，熟练掌握圆的面积公式（表示面积，表示半径）和二次根式的化简方法是解题的关键．先根据深色部分半径求出深色部分面积，再结合浅色圆环面积得到整个截面面积，最后根据圆的面积公式求出截面半径． 【详解】解：因为深色部分的半径为， 所以深色部分的面积为． 又因为浅色圆环部分的面积为， 所以截面的面积为， 所以截面的半径为， 故选：D． 10．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·湖南株洲·模拟预测）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则的取值范围是：． 故答案为：． 12．（2025八年级上·湖南益阳·专题练习）分解因式： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键． （1）先提取3，再利用完全平方公式进行分解； （2）先提取，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·湖南常德·阶段练习）已知，其中m，n，p，q为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先对等式右边进行通分化简，然后对照等式左右两边的分式即可列出方程组进行求解． 【详解】解：等式右边通分得到： ， 由于左边等于右边，且分母相同，所以有： 解得：，，，； 所以； 故答案为10． 14．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）观察：，，，…计算，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律、有理数的加减运算、加法运算律等知识点，发现规律成为解题的关键． 先观察发现规律将根号去掉，然后运用加法运算律以及裂项法求解即可． 【详解】解：， ， ， …… ， ． 15．（2025·湖南怀化·模拟预测）定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是 ；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为 ． 【答案】 5 1023669 【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算． 由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和． 【详解】解：由，得， 则 , ∵， ， 、b、c不全为零， 、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而， 恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数， 即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． 16．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式） ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算．分子分母同乘以后，把分母化为不含的数后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25八年级上·湖南邵阳·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟记分式方程的求解步骤，记得验根是解决问题的关键． （1）根据分式方程的求解步骤求解即可得到答案； （2）根据分式方程的求解步骤求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 系数化为1，得， 检验：时，， 所以，方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 移项，合并，得， 系数化为1，得， 检验，时，， 所以，方程的解为． 18．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）分解因式： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键﹒ （1）直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案； （2）将原式变形为，再利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案﹒ 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ﹒ 19．（24-25八年级上·湖南湘潭·期中）计算 (1)； (2)． (3)； 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的除法法则计算即可得； （2）先化简二次根式、计算零指数幂、分母有理化，再计算二次根式的加法即可得； （3）利用平方差公式计算二次根式的乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 20．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）明明碰到这么一道题“分解因式：”，去问老师怎么做，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上4，再减去4，这样原式化为：，…”，老师话没讲完，他就恍然大悟，并马上就做好了此题．请把剩余的步骤写完整，并仔细领会这一做法，将分解因式． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，读懂题意并掌握整体思想是解题的关键． 根据老师所说的话，可知需要利用平方差公式，故仿照的分解方法，应该凑成完全平方，然后再整体利用平方差公式分解，最后将括号内的同类项合并即可． 【详解】解： ， ， ； ． 21．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解∶方程两边同乘______， 得．…………第一步 去括号，得．…………第二步 移项、合并同类项，得．……………………第三步 系数化为1，得．……………………第四步 (1)第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； (2)小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 【答案】(1)，去分母，等式的性质2 (2)检验：当时，，所以原分式方程无解，理由见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤． （1）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据去分母，等式的基本性质进行解答即可； （2）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可，注意要检验是否有增根． 【详解】（1）解：第一步中横线处应填，这一步的目的是去分母，其依据是等式的性质2； 故答案为：；去分母；等式的性质2 （2）解：检验：当时，， 所以原分式方程无解． 理由：因为方程的解可能使最简公分母为0，产生增根． 所以分式方程必须检验． 22．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）小深在学习二次根式分母有理化问题：已知他是这样分析与解答的： ，请你根据小深的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2)2023 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及裂项相消法在二次根式计算中的应用，解题的关键是掌握分母有理化的方法（乘以分母的有理化因式，利用平方差公式化简），并能观察式子规律进行裂项化简． （1）对两个分式分别进行分母有理化，乘以各自分母的有理化因式（和），利用平方差公式消去分母中的根号，化简得到结果； （2）先将每个分式按（1）的方法化简为的形式，通过裂项相消求和，再与相乘，利用平方差公式计算最终结果． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： ． 23．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 24．（25-26八年级上·湖南湘潭·课后作业）我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 例； 例2：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)假分式可化为带分式______的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3)1，2，4或5 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据“真分式”的定义可知分式是真分式， 故答案为：真 （2） （3）， 为整数， 为整数， 当的值为整数时，分式的值为整数， 或， 的值为1，2，4或5． 学科网（北京）股份有限公司 $