精品解析：辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高二上学期10月阶段测试数学试题

2025-2026学年度上学期高二年级10月阶段测试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）. A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 7. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若，是两个空间向量，且为正，则与的夹角为锐角 B. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C. 若空间向量，，则与的夹角小于 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 已知点，，且点P在直线上，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 不存在点P，使得 C. 的最小值为 D. 若在第一象限，则的最小值为18 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，点到平面的距离为 C. 存在点使得直线与平面所成的角为 D. 为所在直线的动点，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分． 12. 已知直线，直线，若，则___________． 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 14. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则直线的一般方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面直角坐标系内两点，． （1）当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； （2）若直线的一个方向向量为，求的值． 16. 如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，点为线段上一动点，且，交于点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）判断在轴上是否存在点，使为等边三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为在平面上的射影，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． （i）求平面截球的表面所得圆的周长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知动直线过定点. （1）求的坐标： （2）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 19. 如图，四棱柱的底面是正方形，为的中点. （1）若平面平面，，，求二面角的正弦值； （2）设为线段的中点，. （i）证明：平面； （ii）设四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高二年级10月阶段测试 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线，所以，又，所以. 故选：D. 2. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 3. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可. 【详解】 ， ，， . 故选：A. 4. 对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可． 【详解】空间任意一点和不共线的三点， 令， 若，则，， ，， 所以四点共面， 所以充分性成立； 若四点共面， 当与四个点中的一个（比如点）重合时， ，可取任意值，不一定有， 即不一定有， 所以不能得到， 故必要性不成立， 所以“”是“四点共面”的充分不必要条件， 故选：B. 5. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 6. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示.已知直线的方程为，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知直线经过点且以向量为方向向量，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】因为直线的方程为，即为， 可知直线经过点且以向量为方向向量， 可得，所以点到距离为. 故选：B. 7. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求出平面和平面的法向量，即可求平面和平面夹角的余弦值，进而可求解. 【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图， 平面和平面为有公共顶点的两个正三角形所在平面， 建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则 设平面的法向量为 所以，令，所以 设平面的法向量为 所以，令，所以 设平面平面和平面的夹角为， 则， 因为平面和平面的夹角为锐角，所以， 所以， 故选：D 8. 如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，结合光的反射原理，依次求出点关于直线，轴的对称点，并由四点共线，即可得到直线的方程，进而解出点的坐标并求得线段的长度，再运用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，最后代入三角形的面积公式即可得解. 【详解】根据题意，以点为原点，以，分别为轴，轴建立直角坐标系， 则，所以直线的方程为，的重心为. 设点，其中，则点关于直线的对称点， 满足，解得，即， 易得点关于轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率，所以直线的方程为， 由于直线经过的重心，代入得， 化简得或（舍去），故点，点，点， 直线的方程为，即， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 所以， 又点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若，是两个空间向量，且为正，则与的夹角为锐角 B. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C. 若空间向量，，则与的夹角小于 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量夹角公式求解判断AC；利用空间向量基底的意义判断BD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，是空间的一个基底，则中任意两个向量不共线，B正确； 对于C，，则与的夹角大于，C错误； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，设， 则，这与是空间的一个基底（即不共面）矛盾， 故不存在这样的实数使得成立，即一定不共面， 因此也是空间的一个基底，D正确. 故选：BD 10. 已知点，，且点P在直线上，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. 不存在点P，使得 C. 的最小值为 D. 若在第一象限，则的最小值为18 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，B，分别求出和，利用（）判断与是否垂直即可；对于C，通过作点关于直线的对称点，利用三点共线时线段和最短即可判断；对于D，通过消元后化成二次函数，利用其性质求得最小值即可判断. 【详解】对于A，B：依题意，设， 若，则，即 得，计算判别式 所以方程有解，存在点，使得，故A正确，B错误； 对于C：因为在直线的异侧， 所以，共线时等号成立，故C错误： 对于D，因为点在直线上，所以，即，且。 令，则 令，则，这是一个关于的二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，在上单调递增。 所以当，即（此时）时，取得最小值，最小值为，D正确. 故选： 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ） A. 为的中点时，平面平面 B. 为的中点时，点到平面的距离为 C. 存在点使得直线与平面所成的角为 D. 为所在直线的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由几何体性质，利用面面垂直的判定定理即可判断A正确，建立空间直角坐标系并求得平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法可得B正确，由线面角的向量求法得到方程，根据方程无解可判断C错误，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则由三角形三边关系可知当三点共线时，取得最大值为，可判断D正确. 【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质可知平面， 又平面，， 为的中点，， ， ，即. 又平面，且，平面， 平面，平面平面.故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 为的中点，， 则， 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. ，点到平面的距离为.故B正确； 对于C，设点，其中， 是上的动点，弧所在圆的圆心（即线段的中点）坐标为，半径为， ，即. ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. 若直线与平面所成的角为， 则， 由可得，代入上式整理得， 由可知此方程无解， 所以不存在点使得直线与平面所成的角为，故C错误； 对于D，如图， 以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面， 且， 则由三角形两边之差小于第三边可知，当三点共线时，取得最大值为， 又弧所在圆的圆心为，半径为， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分． 12. 已知直线，直线，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两条直线平行列式计算即可. 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 14. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则直线的一般方程为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】先确定直线与轴的交点，然后根据不同等腰三角形的构成，分类讨论即可得解. 【详解】①如图，以点为顶点，以为腰，，， 则点的坐标为，所以直线的一般方程为. ②如图，以点为顶点，以为腰，则点的坐标为， 所以直线的一般方程为. ③如图，以为顶点，以为腰，则点的坐标为， 所以直线的一般方程为. ④如图，以线段为底，线段的中点坐标为，其中垂线的方程为， 则点的坐标为，所以直线的一般方程为. 故答案为：或或或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面直角坐标系内两点，． （1）当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； （2）若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【小问1详解】 设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． 【小问2详解】 直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 16. 如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，点为线段上一动点，且，交于点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）判断在轴上是否存在点，使为等边三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点为线段的中点， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，再用点斜式求直线的方程，进而求出，两点的坐标，得到线段的中点坐标，再结合垂直直线斜率关系得到线段的垂直平分线的斜率，用点斜式写出垂直平分线方程即可． （2）由面积关系推出和的面积比，结合，得出两三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而确定点在上的位置以及线段的长． （3）假设在轴上存在点满足条件，再设点的坐标，得出点坐标和的长度表达式，根据等边三角形的性质（高与边长的关系）列方程求解，即可判断是否存在满足条件的点． 【小问1详解】 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，即． 令，得，即；令，得，即． 则线段的中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知直线的方程为，， 因为，所以，又， 所以，则， 所以，则，点为线段的中点． 综上，时，点为线段的中点，． 【小问3详解】 根据已知作图如下，假设在轴上存在点，使为等边三角形． 由（1）知直线的方程为，即， 设点，则点，， 过点作，则， 当为等边三角形时，易得，即， 解得，所以，即点的坐标为． 17. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为在平面上的射影，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． （i）求平面截球的表面所得圆的周长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知平面，又平面，所以， 又，平面，则平面， 又平面，所以． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证平面即可； （2）以为原点建系，求出平面的一个法向量，的外心为线段的中点，根据平面即可知球心在上，设，根据球的定义即可求出点坐标或直接设根据球的定义求出点坐标； （i）根据公式求出点到平面的距离为，再根据求出截面圆的半径即可； （ii）计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设平面的一个法向量，则， 令，得，，所以， 法1：因为是以为斜边的直角三角形，所以的外心为线段的中点，其坐标为， 故，故平面，所以在上，于是设， 由，得，解得，所以， 所以，球的半径． 法2：设，由， 得，解得，，即， 所以，球的半径． （i）设点到平面的距离为，则， 所以截面圆的半径， 故截面圆的周长为． （ii），则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知动直线过定点. （1）求的坐标： （2）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）存在，且直线的方程为 （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组，可得出点的坐标； （2）设直线的截距式方程，代入定点，再分别表示的周长和面积，求解参数、即可； （3）由（1）直线的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可 【小问1详解】 解：直线的方程可化为， 由，解得，故直线过定点． 【小问2详解】 解：设直线l的方程为， 将代入得．① 由、，的周长为，面积为，得， 令，则， 所以，即，化简得，解得， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线的方程为，即满足条件． 【小问3详解】 解：由（1）可知直线l过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点， 所以直线的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即． 【点睛】关键点点睛：解本题第（3）问的关键在于引入角，利用几何关系将、用含的三角函数式表示，再结合三角恒等变换结合三角函数的有界性来求最值. 19. 如图，四棱柱的底面是正方形，为的中点. （1）若平面平面，，，求二面角的正弦值； （2）设为线段的中点，. （i）证明：平面； （ii）设四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，证明：. 【答案】（1）； （2）（i）方法1：如图，延长与的延长线交于点， 连接并延长，交的延长线于点， 连接，交于点，连接，则平面. 因为为线段的中点，，故， 因为，，，故， 又，故. 因为，且，故四边形是平行四边形，即. 又平面，平面，所以平面. 方法2：由 . 因为平面内的存在点，满足，有. 又因为平面，所以平面. 方法3：同（1）建立空间坐标系，若，四棱柱的高为， 则，，，若， 根据可得，， 根据是的中点得，， ， ，，平面的法向量是， 所以①，②. 其中方程②可改写为. 可取，，， ， 所以平面. （ii）由（i）可知平面， 故. 所以. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设，结合已知写出相关点的坐标，求出平面、平面的法向量，向量法求面面角的余弦值，进而可得正弦值； （2）（i）法1：延长与的延长线交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得，再由线面平行的判定证明结论；法2：由向量四则运算的几何意义得，平面内的存在点满足，有，再由线面平行的判定证明结论；法3：同（1）建立空间直角坐标系，若，四棱柱的高为，标注出相关点坐标，并求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法证明线面平行； （ii）由（i）结论，应用等体积法有，结合等比数列的前n项和公式求和，即可证. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间坐标系. 设，因为，故是正三角形， 又平面平面，且底面是正方形， 故，，，， ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， 不妨取，则，. 故. 故二面角的正弦值为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $