精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期10月阶段测试数学试题

南师附中高二数学10月阶段测试 2025.10 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 2. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知均为锐角，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ） A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不是互斥事件，也不是独立事件 5. 若动点A，B分别在直线：和：上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 点到直线为任意实数的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 8. 已知不同的两点在曲线上，且满足，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如下图，根据这7天的数据，则下列说法正确的是（ ） A. 乙城市日均气温的极差为 B. 乙城市日均气温的众数为 C. 甲城市日均气温的中位数与平均数相等 D. 甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 10. 已知正三棱柱的各棱长均为分别是棱的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 若正三棱柱的各个顶点都在球上，则球的表面积为 11. 已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为.则下列说法正确的是（ ） A. 是一条直线 B. 的最小值为 C. 当时，围成的图形面积的最大值为 D. ，且与无公切线 三､填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 已知向量满足，则与的夹角为__________. 13. 已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于___________ 14. 已知圆，半径为的圆的圆心沿着直线自下往上运动，若当圆和圆相交于两点，且第一次使得时，则两圆的公共弦所在的直线方程为________. 四､解答题：本题共3小题，共44分. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 16. 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点. （1）求反射光线所在直线的方程； （2）若圆经过两点，且与直线相切，求圆的方程. 17. 已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； （3）已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南师附中高二数学10月阶段测试 2025.10 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式计算即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故选：B. 2. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解． 【详解】因为的倾斜角满足，，所以解得， 所以的倾斜角为，其斜率． 故选：A． 3. 已知均为锐角，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解. 【详解】解：因为， 所以， 即， 又均为锐角， 所以，即. 故选：D. 4. 在古典概型中，我们记某事件含有的样本点个数为，若一个古典概型的样本空间和事件满足，则事件与事件（ ） A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件的互斥、独立的概率关系判断即可． 【详解】由题意知，所以A、B不是互斥事件， ，所以与独立，所以与独立． 故选：B． 5. 若动点A，B分别在直线：和：上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得，M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l，求出其方程，再利用点到直线的距离公式可得出结果． 【详解】由题意知，M点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线l， 可设直线l方程为， 直线、与y轴的交点分别为、，则直线l与y轴的交点分别为， 将代入直线l的方程得， 故其方程为， 到原点的距离的最小值为． 故选C． 6. 点到直线为任意实数的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简直线为，求得直线过定点，结合直线与的垂直时，点到的距离最大，即可求解. 【详解】由直线，即， 联立方程组，解得，即直线过定点， 当直线与的垂直时，此时点到的距离最大， 又由，所以点到的距离最大值为. 故选：D. 7. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 所以截轴所得弦长为. 故选：C. 8. 已知不同的两点在曲线上，且满足，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原条件等价转换为过点的直线与半圆弧有两个不同的交点，从而结合点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系即可得. 【详解】由得， 所以曲线为以为圆心，1为半径的上半圆弧. 不同的两点满足， 则过点的直线与半圆弧有两个不同的交点. 如图，当直线位于直线的位置时，，直线的斜率是， 当过点的直线与圆相切于点时，设直线与曲线相切时，，解得， 如图可知，则直线斜率的取值范围是， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如下图，根据这7天的数据，则下列说法正确的是（ ） A. 乙城市日均气温的极差为 B. 乙城市日均气温的众数为 C. 甲城市日均气温的中位数与平均数相等 D. 甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 【答案】BC 【解析】 【分析】根据极差的定义，可判定A错误；根据众数的定义，可判断B正确；根据中位数和平均数的求法，可判定C正确；根据数据的波动性，可判定D不正确. 【详解】由甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据统计图表， 对于A，乙城市的最高气温为，最低气温为，所以乙城市日均气温的极差为，所以A错误； 对于B，由乙城市的日均气温的数据为， 根据众数的定义，可得数据的众数为，所以B正确； 对于C，由甲城市的日均气温的数据为：， 从小到大排列为，根据中位数的定义，数据的中位数为， 根据平均数的计算公式，可得数据的平均数为， 所以日均气温数据的中位数与平均数相等，所以C正确； 对于D，数据的稳定可通过方差来衡量，方差越小数据波动越稳定，观察图形可知，甲城市日均气温波动比乙城市大，所以乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，所以D错误. 故选：BC. 10. 已知正三棱柱的各棱长均为分别是棱的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面与平面夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 若正三棱柱的各个顶点都在球上，则球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理可判断；对于B，判断出即为平面与平面夹角即可判断；对于C，应用等积法即可判断；对于D，判断出球心在上下底面的中心的连线的中点，解直角三角形求得外接球的半径即可得解. 【详解】对于A，连接，交于点，连接，则为的中点，故为的中位线， 则，平面,平面，故平面，故A正确； 对于B，依题得，平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则， 则平面与平面夹角为，则，故B正确； 对于C，取中点，连接，则，又平面， 平面，则，平面，则平面 则，故C不正确； 对于D，取上下底面的中心，则球心为的中点，， 又，则， 则球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为.则下列说法正确的是（ ） A. 是一条直线 B. 的最小值为 C. 当时，围成的图形面积的最大值为 D. ，且与无公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意当时，是的中垂线判断A；当时，设，化简得，曲线为是一个圆，计算即为圆上点到轴的距离的最小值，判断B；根据的半径随着的增大而减小，时，围成图形面积的最大判断C；计算与圆心之间的距离和半径差的绝对值，并比较大小得到与内含，判断D正确. 【详解】对于A，当时，，是的中垂线，即为轴，所以A正确； 对于B，由上分析可知点所构成的曲线为轴.当时，设， 则，化简得， 当时，为，所以即为圆上的点到轴的距离， 即的最小值为，B错误； 对于C，由上分析可知的半径为随着的增大而减小， 所以时，围成的图形面积的最大值为，故C正确； 对于D，有上分析可知与圆心之间的距离为， 与半径差的绝对值为， 所以 ， 因为在上单调增，所以， 即成立， 所以与内含，所以与无公切线，所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 已知向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，进而求得向量与的夹角，得到答案. 【详解】由向量，可得， 所以， 因为，所以，即向量与的夹角为. 故答案为：. 13. 已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于___________ 【答案】或 【解析】 【分析】由两圆的方程得到圆心和半径，再由“有且仅有一个公共点”得到“两圆相切”，进而得到圆心之间的距离与半径的关系，解得的值. 【详解】圆：圆心为，半径为1， 圆：，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或． 故答案为：或. 14. 已知圆，半径为的圆的圆心沿着直线自下往上运动，若当圆和圆相交于两点，且第一次使得时，则两圆的公共弦所在的直线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线与垂直，故设直线：，由点到直线的距离为可得值，则方程可求． 【详解】圆化为标准形式为 圆心为，半径为 由题意知均在直线上，即， 所以，设直线：， 又，圆半径均为，则四边形为正方形， 所以到直线的距离为 则化简得，所以或 因为圆的圆心沿着直线自下往上运动，故不合题意，所以 所以直线：，即为 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：判断直线与垂直与点到直线的距离为是解题的关键． 四､解答题：本题共3小题，共44分. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果； （2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得． 【详解】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦 由（1）知，，所以由， 得， 整理得，即． 又，所以，即， 则． [方法二]正弦定理+方程思想 由，得， 代入， 得， 整理得，则． 由，得， 所以． [方法三]余弦定理 令．由，得． 将代入中，可得， 即，解得或（舍去）． 所以， 从而． [方法四]射影定理 因为，所以， 由射影定理得， 所以． 【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值； 方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值； 方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 16. 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点. （1）求反射光线所在直线的方程； （2）若圆经过两点，且与直线相切，求圆的方程. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）设关于的对称点为，列出方程组，求得的值，进而求得反射光线所在直线方程； （2）方法1：求得直线的中垂线方程为，设圆心的坐标为，列出方程，求得的值，进而求得圆的方程； 方法2：根据题意，得到，求得直线的方程，结合平行线间的距离，求得圆心坐标和半径，即可求解. 【小问1详解】 解：设关于的对称点为， 则，解得，即， 因为，所以反射光线所在直线方程为，即. 【小问2详解】 解：方法1：因为直线的斜率为，中点为， 所以直线的中垂线方程为，即. 设圆心的坐标为，则，解得， 所以圆心，半径为，所以圆的方程为. 方法2：由，可得直线的斜率为，所以， 又由直线的方程为，所以与间的距离为， 设圆与直线的切点为，，设直线与的交点为，则为的中点， 因为，，故，故为直径，所以点为中点， 所以圆心，半径为， 所以所求圆的方程为. 17. 已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； （3）已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）或. （3） 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【解析】 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【小问1详解】 解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $