精品解析：天津市新城高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年上学期第一次月考 高二 数学学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并把正确答案填在下方的表格里. 1. 若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 2. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，若三向量共面，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知向量，，且与互相平行，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 给出以下命题，其中正确的是（       ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面､的法向量分别为，，则 D. 已知直线过点，且方向向量为 ，则点到的距离为 9. 已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 在空间直角坐标系为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标为____________. 11. 已知点，直线l过点，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为___________. 12. 如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则__________. 13. 已知，，则_____________. 14. 下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 三、解答题 15. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，． （1）用，，表示； （2）求AC1的长． 16. 如图，在正方体中，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且. （1）求证：； （2）当取得最大值时，求二面角的余弦值. 19. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为. （1）求直线与平面所成角的正弦值. （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期第一次月考 高二 数学学科 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并把正确答案填在下方的表格里. 1. 若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：A. 2. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件应用空间向量数量积及模长公式逐项计算检验即可． 【详解】若，， 则，，故D正确； ，所以B错误； ，故A错误； 显然与不平行，故C错误； 故选：D． 3. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】选项A，若，则与可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错； 选项B，若，则直线的方向向量分别是平面的法向量两平面垂直， 即为它们的法向量垂直，则，B正确； 选项C，若，且，则或，C错； 选项D，若，则可能有，也可能相交，D错. 故选：B． 4. 已知，若三向量共面，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意存在，使得，代入坐标，计算可求得的值. 【详解】若三向量共面，则存在，使得， 又因为， 所以，所以，解得， 故等于4. 故选：C. 5. 已知向量，，且与互相平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标表示求解 【详解】，， 则，解得， 故选：D 6. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量的投影向量公式及模长，数量积公式计算求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为 故选：A. 7. 如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 8. 给出以下命题，其中正确的是（       ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面､的法向量分别为，，则 D. 已知直线过点，且方向向量为 ，则点到的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用两向量的共线定理即可判断；对于B，判断方向向量与法向量是否垂直即可； 对于C，判断两平面的法向量是否垂直即可；对于D，首先写出直线的标准方程，将点到直线的距离转化到两点间的距离进行求解即可. 【详解】对于A，， 与不平行. 对于B，， 与不平行； 对于C，， 与不垂直； 对于D，直线过点，且方向向量为 直线的标准方程为 过点作与已知直线垂直相交的平面， 且设直线与平面的交点为，则到直线的距离可转化为到的距离； 方向向量为平面的方程为： 即： 设垂足，点在平面上，则 解得： 故选：D. 9. 已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系， 【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围. 设正方体的棱长为1， 则有 ∴，∴设， ∴， ， 由图知不是平角，∴为钝角等价于， ∴， ∴， 解得 ∴的取值范围是 故选：C. 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分. 10. 在空间直角坐标系为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为，由此得到点B的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为. 故答案为：. 11. 已知点，直线l过点，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得，利用空间向量夹角的坐标表示求夹角余弦值，进而得其正弦值，即可求P到直线l的距离. 【详解】由题设，， ∴，故， ∴P到直线l的距离为. 故答案为： 12. 如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以 . 故答案为： 13. 已知，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以. 故答案为： 14. 下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则； ②若非零向量、、满足，，则有； ③若、、是空间向量的一组基底，且，则、、、四点共面； ④若向量、、是空间向量的一组基底，则、、也是空间向量的一组基底． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用反证法可判断①④；利用空间向量的位置关系可判断②；利用共面向量的基本定理可判断可判断③. 【详解】对于①，假设、不共线，则存在空间向量，使得当与、不共线， 此时，、、能构成空间向量的一组基底，与题设矛盾，假设不成立， 所以，若向量、与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基，则，①对； 对于②，若非零向量、、满足，，则与不一定共线，②错； 对于③，若、、是空间向量的一组基，且， 则， 即， 所以，、、、四点共面，③对； 对于④，因为向量、、是空间向量的一组基底， 假设、、共面，若，不妨设，设存在、，使得，， 所以，，，， 此时，向量、、共线，与题设矛盾； 若、、共面，且、不共线，则存在、，使得， 则，， 所以，、、共面，与题设矛盾，故、、也是空间向量的一组基底，④对. 故答案为：①③④. 三、解答题 15. 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，． （1）用，，表示； （2）求AC1的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量加法法则得，由此能求出结果． （2）由即可求出AC1的长． 【小问1详解】 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中， ，，， ． 【小问2详解】 AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， ． . AC1的长||. 16. 如图，在正方体中，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接， 由于为的中点，为的中点,则, 又因为平面平面，所以平面 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为，则， 所以，， 设与所成角为, 则 所以与所成角的余弦值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，， 故， 因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 又面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 向量，，. 设为平面的法向量，则，即， 令，则，得为平面的一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 向量， 则点到平面的距离. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且. （1）求证：； （2）当取得最大值时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，证明即可； （2）由（1）得，当最大时，点与点重合，点与点重合，分别求出平面和平面的法向量，再结合二面角余弦值公式求解即可，当点与点重合，点与点重合时，采用相同方法可求 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， 所以，， 所以，则，即. （2）由（1）得， 因为，所以当或时，取得最大值为2. 当时，点与点重合，即；点与点重合，即， 则，， 设平面的一个法向量为，则 可取； 设平面的一个法向量为，则 可取； 则，即二面角的余弦值为； 当时，点与点重合，点与点重合，同理可得二面角的余弦值为. 综上，当取得最大值时，二面角的余弦值为. 19. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且.将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为. （1）求直线与平面所成角的正弦值. （2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点，即 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系如图所示，求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的表示方法即可求出答案； （2）设，由平面，则，列方程即可得出答案. 【小问1详解】 由题知，平面平面，平面平面， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 则，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示． 结合已知可得，，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，可得 则得， 记直线与平面所成角为，则， 故所求角的正弦值为． 【小问2详解】 由（1）知中点． ，，故可设， 则， 平面，平面，， 又，所以， 解得，即, 故点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $