精品解析：陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

2025-2026-1高三年级月考2 数学试题 时间：120分满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 20 B. 40 C. 80 D. 160 2. 设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052 6. 已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 8. 定义在上的函数满足对任意的，有.若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分. 9. 在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 10. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）． A. 存在某个位置，使得CN⊥AB1； B. 翻折过程中，CN的长是定值； C. 若AB＝BM，则AM⊥B1D； D. 若AB＝BM＝1；当三棱锥B1－AMD的体积最大时；三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π． 11. 已知函数和的零点分别，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，且，则__________． 13. 已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为___________. 14. 现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有___________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 16. 已知函数，. （1）讨论函数的极值点情况； （2）设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围. 17. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 18. 随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表： 笔试成绩X 人数 5 15 35 30 10 5 （1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率； （2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）； （3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．） 19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） （1）证明：①倍元关系：；②平方关系： （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1高三年级月考2 数学试题 时间：120分满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 20 B. 40 C. 80 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可。 【详解】设第项为含的项， 则，则， 所以含的项的系数为， 故选：C。 2. 设公差的等差数列中，，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列求出首项与公差的关系，然后利用等差中项化简所求表达式即可． 【详解】解：因为公差的等差数列中，，，成等比数列， 所以，即，解得， 所以， 故选： C． 3. 已知为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，是纯虚数，充分性成立，当是纯虚数时，则，解得必要性成立，是为纯虚数的充分必要条件，故选C. 4. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先排除函数的奇偶性，再判断时的函数值的正负. 【详解】，函数是奇函数，故排除AB， 当时，，，所以，故排除D. 故选：C 5. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的对称中心后利用倒序相加法可求诸函数值的和. 【详解】因为，故，， 令，故，故 故曲线的对称中心为，故， 设， 则， 故即， 故选：C 6. 已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合点M在C上即可求解. 【详解】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以 故选：B. 7. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 8. 定义在上的函数满足对任意的，有.若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得在上为减函数，构造函数，利用导数判断函数的单调性，，，利用单调性比较大小可得，，令，利用导数求出函数的单调性，可得，即，可得，利用单调性比较大小即可判断. 【详解】由题意得在上为减函数， 设，则， 所以当时，，在上单调递减， ， ， 因为，所以 所以， 又，， 所以，即， ， ， 所以， 令，， 当时，，为增函数， 所以， 所以，所以， 所以， 所以，又在上为减函数， 所以. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分. 9. 在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若满足条件的有两个，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断A的正误，根据正弦定理边角转化后可判断B的正误，根据诱导公式可判断C的正误，根据三角形解的个数可得，计算后可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得， 故，因为， 故或，故或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，设为外接圆的半径， 因为，故，故即，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，故， 故，故即，故C正确； 对于D，因为满足条件的有两个， 所以即，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）． A. 存在某个位置，使得CN⊥AB1； B. 翻折过程中，CN的长是定值； C. 若AB＝BM，则AM⊥B1D； D. 若AB＝BM＝1；当三棱锥B1－AMD的体积最大时；三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π． 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，取中点，取中点，连结，，通过假设，推出平面，得到，则，即可判断； 对于选项B，在判断A的图基础上，连结交于点，连结，易得，由余弦定理，求得为定值即可； 对于选项C，取中点，，，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D，易知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，说明此时中点为外接球球心即可. 【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，如图1， 则，如果CN⊥AB1，则EN⊥CN， 由于AB1⊥MB1，则EN⊥NF，由于三线NE，NF，NC共面且共点， 故这是不可能的，故不正确； 对于B，如图1，由∠NEC＝∠MAB1， 且，AM＝EC，∴在△CEN中，由余弦定理得： ，也是定值， 故NC是定值，故B正确； 对于C，如图2 取AM中点为O，∵AB＝BM．即AB1＝B1M．则AM⊥B1O， 若AM⊥B1D，由于，且平面， ∴AM⊥平面，平面，∴OD⊥AM，则AD＝MD， 由于，故AM⊥B1D不成立，故不正确， 对于D，根据题意知，只有当平面B1AM⊥平面AMD时， 三棱锥B1—AMD的体积最大，取AD的中点为E， 连接OE，B1E，ME，如图2， ∵AB＝BM＝1，则AB1＝B1M＝1，且AB1⊥B1M，平面平面AMD＝AM ∴B1O⊥AM，平面B1AM，∴B1O⊥平面AMD，平面AMD．∴B1O⊥O E， 则，，，从而， 易知，∴AD的中点E就是三棱锥B1－AMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是，故D正确； 故选：BD． 11. 已知函数和的零点分别，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用零点满足的方程及反证法可判断A的正误，估算出零点的范围后可判断BCD的范围. 【详解】因为函数和的零点分别，， 故且， 若，则，而，故， 所以即，矛盾，故不成立， 若，则，而，故， 所以即，矛盾，故不成立， 故，故A成立. 先证明一个不等式：对任意的，总有. 要证：，即证， 即证， 若，则；若，则，，则， 若，则，，则， 故成立，当且仅当时等号成立， 由引理可得， 而，故，故， 故即，故B成立. 为上的增函数，而， 而，故，故，而， 而，而，故，故. 而在上的增函数， ，故，故，故C错误. 由C的讨论可得，故，所以， 而，所以， 也就是，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于函数零点不可求且需要讨论零点的性质的问题，我们需要估计零点的范围，再结合不等式放缩等方法来讨论零点性质. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得，再根据半角公式即可得答案. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，半角公式的应用，考查运算求解能力，是中档题.向量垂直的坐标表示：已知，若，则. 13. 已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】圆的圆心为，半径． 如图，由抛物线的定义可得，解得， 可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线， 则点到直线的距离．可得， 当四点共线时，取得最小值， 所以． 故答案为：3. 14. 现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有___________种. 【答案】420 【解析】 【分析】分使用五种染料、四种染料、三种染料求解，最后相加即可. 【详解】五个顶点涂五种不同的颜色，有（种）涂法； 五个顶点涂四种不同的颜色，其中同色不同色或不同色同色，有（种）涂法； 五种顶点涂三种不同的颜色，其中同色且同色，有（种）涂法. 综上，共有120＋240＋60=420（种）涂色方法. 故答案为：420 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为，且是的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 可得：平面，且平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而可得； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角的正弦值，进而可得余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在底面内作，以点E为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 则， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得平面的一个法向量为， 又因为， 设直线EF与平面所成角为， 可得， 可得，所以直线与平面所成角的余弦值为. 16. 已知函数，. （1）讨论函数的极值点情况； （2）设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，无极值点， 当时，是极大值点，是极小值点， 当时，是极大值点，是极小值点， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数极值点和函数导数之间的关系，分类讨论函数导数的情况，分别判断每种情况下的单调性和极值点取值情况. （2）根据题目构造函数，可知构造函数单调递增，由此得函数导数大于零恒成立，列出不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，则或， 因为，所以，当，即时，， 所以在单调递增，无极值点， 当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以是极大值点，是极小值点， 当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以是极大值点，是极小值点， 综上，当时，无极值点， 当时，是极大值点，是极小值点， 当时，是极大值点，是极小值点， 【小问2详解】 当时，， 不妨设，则恒成立，等价于恒成立， 令，，则在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 由均值不等式（当且仅当时取等号）， 所以，则，故实数的取值范围是. 17. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系可得圆心距与半径的关系，结合椭圆的定义判断轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求解． （2）联立直线与椭圆方程，由已知条件推导出直线的方程，求出点横坐标，判断其取值范围，由此得出结论． 【小问1详解】 设圆的半径为，圆的半径为，，圆的半径为， 因为：，： 所以，，，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆，， 故轨迹的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，，代入，得，恒成立， 设，，线段的中点为， 则，， 由，得， 所以直线的方程为， 令，点横坐标， 因为，所以， 所以， 所以线段上存在点，使得，其中。 18. 随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表： 笔试成绩X 人数 5 15 35 30 10 5 （1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率； （2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）； （3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．） 【答案】（1） （2）1587人 （3） Y 0 3 4 6 7 10 P 数学期望 【解析】 【分析】（1）根据表格，求出样本中笔试成绩不低于80分的考生人数和其中成绩优秀的人数，根据古典概型概率计算即可； （2）根据表中数据求出平均数，根据正太分布曲线的对称性和即可求，从而估计成绩不低于82.4的人数； （3）根据题意可知Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计算方法即可求出分布列，根据数学期望公式即可求出数学期望. 【小问1详解】 由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人． 故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为. 【小问2详解】 由表格中的数据可知，， 又，即， ∴， 由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人. 【小问3详解】 考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10， 则， ， ， ， ， ， 故Y的分布列为： Y 0 3 4 6 7 10 P ∴． 19. 意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知） （1）证明：①倍元关系：；②平方关系： （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） 证明：①； ②. （2） （3） 由（2）知：当时，，令，则， 令单调递增， 所以，即恒成立， 所以，则， 令单调递增， 所以，即恒成立，令， 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明； （2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可； （3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造函数 ①当时，因为，当且仅当即时等号成立， 所以，故单调递增， 此时，故对任意恒成立，符合题意； ②当时，令， 则恒成立，故单调递增， 由与， 可知存在唯一，使得， 当时，，则在内单调递减， 故对任意，即，不合题意，舍去； 综上所述，实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $