精品解析：陕西省西安市庆安高级中学2025-2026学年高二上学期月考(一)数学试题

陕西省西安市庆安高级中学2025-2026学年高二上学期月考(一)数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角与：的倾斜角互余，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的一个法向量为，则与Oxy平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过定点P，则P的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱台中，，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 在平行六面体中，，，，则（ ） A. B. C. D. 异面直线与所成的角为 11. 在四棱锥中，底面ABCD，，，，，过A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点M，N，Q，且四边形AMNQ为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 四边形AMNQ的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点到Oyz平面的距离为______. 13. 过点作直线l，若l与连接，两点的线段总有公共点，则l的斜率的取值范围为______. 14. 在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为. （1）若，求a，b； （2）若，且，求a，b. 16. 已知的三个顶点是，，. （1）求边BC上的中线所在直线的截距式方程； （2）求边BC上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边BC的垂直平分线的一般式方程 17. 如图，在正四棱柱中，，，E是线段上靠近点的三等分点，平面交于点F，交DC的延长线于点G. （1）证明：四边形是平行四边形. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射.我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率. （1）当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角（）是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围. （2）已知直线：，：，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点P. ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点P射出，从真空射入该介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求该介质的折射率. 19. 如图1，在四边形ABCD中，，，，将四边形ABCD沿着对角线AC折起，使点D到达点P的位置（如图2所示），且二面角的平面角为. （1）证明：. （2）已知P，A，B，C四点均在球O的球面上. ①请在答题卡的图中标记出O的位置，并说明理由. ②已知M是线段AB上的一个动点，且，平面PMC截球O所得截面的面积为S. （a）求O到平面PMC的距离d（用含的代数式表示）； （b）求S（用含的代数式表示），并求S的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市庆安高级中学2025-2026学年高二上学期月考(一)数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】向量，，则. 故选：A 2. 已知直线的倾斜角与：的倾斜角互余，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程得出其斜率，由斜率得出倾斜角，再求余角即得. 【详解】：的斜率为，倾斜角为， 直线的倾斜角与：的倾斜角互余，则的倾斜角为. 故选：B.    3. 在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案. 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的一个法向量为，则与Oxy平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得平面Oxy的法向量，根据向量夹角公式，可得，分析即可得答案. 【详解】因为平面Oxy的法向量为， 所以， 因为，所以， 则平面与Oxy平面的夹角为. 故选：D 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平行的判定列方程求参数值，注意重合情况即可. 【详解】由，则，解得， 当时，，，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：A 6. 已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四点共面可得存在实数，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】因为A，B，C，D四点共面， 则存在实数，使得， 又因为是空间的一个基底，且， 则，解得. 故选：B. 7. 已知直线经过定点P，则P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线化为，即可得定点坐标. 【详解】由，化为， 联立，可得，即原直线过定点. 故选：D 8. 在正四棱台中，，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，设正四棱台高为h，如图建系，求得各点坐标，进而可得，根据投影向量的公式，即可求得答案. 【详解】设，则，设正四棱台高为h， 设平面中心为F，平面中心为E，取AB中点G，BC中点H， 连接FG、FH、FE，根据正四棱台的性质， 以F为原点，FG、FH、FE为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故错误； 对于：，所以，故错误. 故选：. 10. 在平行六面体中，，，，则（ ） A. B. C. D. 异面直线与所成的角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线性运算法则，可判断A、B的正误；根据数量积公式及求模公式，可判断C的正误；根据向量的乘法法则及数量积公式，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：在平行六面体中， ，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C： ， 所以，故C正确； 选项D：因为， 所以 ， 所以，即与所成的角为，故D错误； 故选：BC 11. 在四棱锥中，底面ABCD，，，，，过A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点M，N，Q，且四边形AMNQ为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 四边形AMNQ的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，设，，，则可表示出M、N、Q点坐标，由题意，列出方程组，可得的值，即可检验A、B、C选项的正误，根据向量求夹角公式，可得，进而可得的值，代入面积公式，即可判定D的正误. 【详解】以A为原点，AB、AD、AP为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 过C作，交AD的延长线于E， 因为，， 所以， 所以， 则， 设，，， 所以，所以 同理，所以， ，所以， 所以， 因为四边形AMNQ为平行四边形，所以， 即，解得， 所以，，，故AC正确，B错误； 又， 所以， 所以， 所以四边形AMNQ的面积，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点到Oyz平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的性质，分析即可得出答案. 【详解】因为点的横坐标为， 所以其到Oyz平面的距离为. 故答案为：. 13. 过点作直线l，若l与连接，两点的线段总有公共点，则l的斜率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围. 【详解】如下图所示， 由，， 结合图可知，直线的斜率范围是. 故答案为： 14. 在直三棱柱中，，，P，Q分别是直线，上的动点，则PQ的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标及坐标，进而可求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离公式，代入计算，即可得答案. 【详解】取中点D，中点E，连接DA，DE， 因为，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 又平面， 所以， 因为，， 所以， 以D为原点，DB、DA、DE为x，y，z轴正方向建系， 所以， 则， 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即， 令，则， 所以异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 所以PQ的最小距离即为异面直线与的距离d， 根据异面直线间距离公式，即PQ的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为. （1）若，求a，b； （2）若，且，求a，b. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由面面平行可得其法向量共线，再列式求解. （2）由面面垂直可得其法向量垂直，再结合向量的模列出方程组求解. 【小问1详解】 由，得，则，所以. 【小问2详解】 由，得，则，由，得， 所以或. 16. 已知的三个顶点是，，. （1）求边BC上的中线所在直线的截距式方程； （2）求边BC上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边BC的垂直平分线的一般式方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得BC的中点坐标，即可求得直线AD的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案； （2）先求得BC所在直线的斜率，根据两直线的位置关系，可得BC上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案； （3）根据BC上的高所在直线的斜率和BC的中点坐标，代入点斜式方程，整理即可得答案. 【小问1详解】 由题意得BC的中点坐标， 所以， 所以BC上的中线AD方程为，整理得截距式方程为. 【小问2详解】 BC所在直线的斜率为， 所以BC上的高所在直线的斜率， 又BC上的高过点， 则BC上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. 【小问3详解】 由（2）得，与BC垂直的直线斜率为， 由（1）得BC的中点坐标， 所以BC的垂直平分线的方程为，整理得一般式方程为. 17. 如图，在正四棱柱中，，，E是线段上靠近点的三等分点，平面交于点F，交DC的延长线于点G. （1）证明：四边形是平行四边形. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为是正四棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面， 平面平面， 所以， 因为是正四棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面， 平面平面， 所以， 所以四边形是平行四边形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理，可证及，即可证明； （2）先求出平面的法向量，再应用线面角公式计算求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面交于点F，交DC的延长线于点G. 因为是平行四边形，所以，所以，E是线段上靠近点的三等分点，所以， 因为，所以，所以， 以为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系； 则，，，，， 则，，． 设平面的一个法向量为， 故可得，即，取，则． 设直线与平面所成的角为， 故可得， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18. 如图，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射.我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率. （1）当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角（）是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围. （2）已知直线：，：，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点P. ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点P射出，从真空射入该介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求该介质的折射率. 【答案】（1） （2）①7；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，则，结合折射率的定义运算求解即可； （2）①求点关于直线、的对称点分别为，根据对称性求该光线经过的路程长度；②求法线和入射光线的倾斜角，结合题意求入射角和折射角，结合折射率的定义运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，则， 可得该介质的折射率为， 所以该介质的折射率的取值范围为. 【小问2详解】 ①设光线与直线、的交点分别为，点关于直线、的对称点分别为， 则，解得，即； 且，解得，即； 所以该光线经过的路程长度为； ②由直线：可知法线所在直线斜率，其倾斜角为， 则直线的方程为， 联立方程，解得，即， 则直线的方程为，其倾斜角为，可得入射角， 又因为折射光线所在直线的斜率为，其倾斜角为，可得折射角， 则， 所以该介质的折射率为. 19. 如图1，在四边形ABCD中，，，，将四边形ABCD沿着对角线AC折起，使点D到达点P的位置（如图2所示），且二面角的平面角为. （1）证明：. （2）已知P，A，B，C四点均在球O的球面上. ①请在答题卡的图中标记出O的位置，并说明理由. ②已知M是线段AB上的一个动点，且，平面PMC截球O所得截面的面积为S. （a）求O到平面PMC的距离d（用含的代数式表示）； （b）求S（用含的代数式表示），并求S的取值范围. 【答案】（1） 取中点，连接， 由，，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2）① 由（1）知，平面，而平面，则平面平面， 由，，得是外接圆圆心，， 而四点均在球O的球面上，则平面，平面，， 在中，，，，外接圆圆心在上， ，，显然平面，而平面， 则，由（1）知是二面角的平面角，即，，， 点到平面的距离，即点是线段的中点， 所以球心是线段的中点. ②（a）；（b），. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）①利用线面垂直、面面垂直的性质及球面的性质确定球心位置；②以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出，再利用球面性质求出截面圆面积，进而求出面积的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，， （a）设平面的法向量为，则， 令，得，因此， 所以点O到平面PMC的距离. （b）球的半径，平面截球所得截面圆半径， 因此， 由，得，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $