35.专项二 重难点五 二次函数综合题-【一飞冲天】中考专项精品试题分类数学

中考专项数学 参考答案 重难，点五二次函数综合题 .方程a.x2-(2a十1)x+3a=-x十1在x≤2的范围内仅 【命题趋势1】 有一个根， 整理得a.x2一2a.x十3a-1=0在x≤2的范围内仅有一 1.解：(I):a=1,抛物线y=a.x2十bx十c经过点A(0,1), 个根， B(2,-1), 由题意，该方程在x≤2的范围内仅有一个根或者有两个相 c=1 b=—3 解得 等的实数根。 4+2b+c=-1 c=1 ①当方程ax2一2a.x+3a一1=0有两个相等的实数根时， 六抛物线的解折式为)=r-x+1-(-)一 △=0，得4u-4a(3a-1D=0,解得a,=0(舍)a= 即抛物线的顶点坐标为（号，一）： ②当△>0时，抛物线y=a.x2-2ax十3a-1开口向上且对 (Ⅱ)，抛物线y=a.x2十b.x十c经过点A(0,1),B(2,一1)， 称轴为直线x=1,若在x≤2的范围内与x轴仅有一个公共 c=1 点，只需当x=2时对应的函数值小于0即可. 得b=-2a-1(a>0). 4a+2b+c=-1 即4a4a+3a了<0，解得a<3, .y=a.x2-(2a+1).x+1(a>0). 又a>0, 即当1≤x≤3时，y的最大值只可能在x=1或x=3处 0a<号 取得. 当x=1时，y1=一a;当x=3时，y2=3a-2. 综上a的取值范围是0<a<寸或a= ①若y<2,即-a<3a-2,得a>2, 2.解：(I)二次函数y=x2十bx十c的图象过A(一1,0)， B(3,0)两点， “3a-2=2,解得a=亭 1-b+c=0, b=-2, 解得 ②若y≥，即-a≥3a-2,得0<a≤2， 9+3b+c=0, c=-3. ∴二次函数的解析式为y=x2一2x一3； ∴.一a=2,解得a=-2(舍去). (Ⅱ)如图所示，作PQ⊥BC于点Q,作PN⊥AB于点N,交 综上a的值为号； BC于点M, (Ⅲ)设直线AB的解析式为y=mx十n, 直线AB过点A(0,1),B(2,-1), n=1 m=-1 ,解得 2m+n=-1 n=1 .直线AB的解析式为y=一x十1， 由(I)知二次函数的解析式为y=x一2.x-3, 即射线BA的解析式为y=一x十1，且x≤2. 令x=0,得y=-3, ,射线BA与抛物线y=a.x一(2a十1)x十3a在x≤2的范 .点C的坐标为(0，一3). 围内仅有一个公共点， 中考专项数学 参考答案 设直线BC的解析式为y=m.x+n,将B(3,0),C(0,一3) ∴.p-q=m2-2m-3-(-4)=2,即m2-2m-1=0. 代入， 解得m=1-√2或m=1+√2（舍）： (3m+n=0, m=1, ④当0<m<1时，最大值p=m2+2m-3, 得 解得 1=-3, n=-3. 最小值q=一4， .直线BC的解析式为y=x一3. ∴.p-q=m2+2m-3-(-4)=2.即m2+2m-1=0. 设点P(t,t-2t-3),0<t<3,则点M(t,t-3), 解得m=-1十√2或m=-1-√2（舍）. ∴.MP=t-3-(t2-2t-3)=-2+3t. 综上可知，m的值为1一√2或-1十√2. .OB=OC=3, 3.解：(I)将(2,1)代入y=x2-2tx+3,得1=4-4t+3, .∠NBM=45°. 解得1=多 即∠PMQ=∠NMB=45°， ∴.△PMQ为等腰直角三角形. (Ⅱ)抛物线y=x2一21x十3的对称轴为x=1. ①若0<1<3，当x=t时，函数取最小值， rQ-号Mp=-竖e-30)=-(-）广+2 ∴.2-22+3=-2，解得1=√5，或1=-√5（舍）； 当1=之时，PQ取最大值.即点P到直线BC的距离 ②若≥3，当x=3时，函数取最小值， 最大， 9-61+3=-2解得1=子（舍）. 此时，=(）广-2×号-3=- 4 综上所述，t=√5； (Ⅲ)A(m一2，a),C(m,a)都在这个二次函数的图象上， 点P的坐标为(-)： 点A,C关于对称轴对称，且点A在对称轴左侧，点C在 (Ⅲ)二次函数y=x2-2x一3图象的对称轴为x=1,开口向 对称轴右侧. 上，分四种情况讨论： m一名+m1,得1=m-1. ①当m≥1时， -12 t>0,∴.m-1>0,解得m>1. 最大值p=(m十2)2-2(m十2)-3=m2+2m-3, 在y=x2-21x十3中，令x=0,得y=3, 最小值q=m2-2m-3, .抛物线y=x2一21x+3与y轴的交点为(0,3)， ∴.p-q=m2+2m-3-(m2-2m-3)=4m=2. (0,3)关于对称轴x=m-1的对称点为(2m一2,3)， 解得m=弓，不满足m>1,舍去： 又b<3,.4<2m-2,解得m>3. ②当m+2≤1，即m≤-1时， ①当A(m一2，a),B(4,b)都在对称轴左侧时， 最大值p=m2-2m一3，最小值q=m2+2m-3, ,y随x的增大而减小，且a<b, .p-q=m2-2m-3-(m2+2m-3)=-4m=2. ∴.m-2>4,解得m>6. 此时m的取值范围为m>6; 解得m=一2，不满足m≤-1，舍去； ②当A(m一2，a)在对称轴左侧，B(4,b)在对称轴右侧时， ③当-1<m≤0时，最大值=m2一2m一3， 点A(m一2，a)与点C(m,a)关于对称轴x=m-1对称， 最小值q=1-2-3=-4, 且a<b, 中考专项数学 参考答案 .m<4. 5.解：(I)把A(t,1)代入y=x,得t=1; 此时m的取值范围为3<m<4. (Ⅱ)，y=ax2+b.x十4的图象与x轴只有一个交点，且经过 综上所述，3<<4或m>6. 点A(1,1), 4.解：(I),点A(一1,0)与点B关于直线x=1对称， (a+b+4=1 a=1 a=9 .点B的坐标为(3,0). 解得 或 △=b}-16a=0 b=-4b=-12 则y=(x+1)(x一3)， (Ⅲ)把A(1,1)代入y=a.x2+bx+4,得b=-3-a, 即抛物线C的解析式为y=x2一2x一3； :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, y=a-a+3+4=(-法)-号-品+ ∴.顶点坐标为(1，一4)； ·对称轴为直线x=a十3 2a (Ⅱ)由(I)知A(-1,0),B(3,0), ∴.点A、点B关于原点的对称点为(1,0)和（一3,0），都在抛 1a≤2<<2， 物线C上， 且抛物线C开口向下，形状与抛物线C相同， “当=时.y=a+br十4取最大值为m=一只+名， 于是可得抛物线C的解析式为y=一(x一1)(x十3)， 即y=-x2-2x+3. 当：密时y-a+b十4取最小值为=一冬一品+， 2a 由点P(m,t)在抛物线C上，有t=m2-2m一3， ∴m-n=4a 由点P(m,t)也在抛物线C上，有t=一m2一2m十3， 1≤a≤2， ,∴.m2-2m-3=-m2-2m十3. ∴当a=2时，m一n的值最小， 解得m1=√3，m2=一√3； (Ⅲ)①当a+1<1,即a<0时， 即m一n的最小值为8 函数的最小值为(a十1)2-2(a十1)-3=2a, 6.解：(I)当k=2时，y=x2-2(2-1)x+4-5=x2-2x-1, 解得a,=1-5,a,=1十√5（舍去）： ∴.该抛物线的解析式为y=x2一2x一1. .y=x2-2x-1=(x-1)2-2, ②当a<1≤a十1，即0≤a<1时， ,.该抛物线的顶点坐标为(1，一2)： 函数的最小值为1-2-3=2a, (Ⅱ)把(1，)代入抛物线解析式， 解得a=-2(舍去)； ③当a≥1时， 得91-2(k-1)+发-. 函数的最小值为a2-2a-3=2a, 解得a=2十√7，a,=2-√7（舍去）. （Dy=(2k)-2k-1D·2+发-号6=发+， 综上，a的值为1-√5或2十√7. 4=2-2k-1)×2+-2=-受k+8, 2 y1>y2: 中考专项数学 参考答案 +>-+8， ①当b≤0时，c=2b≤0， 又函数图象不经过第三象限，则c=0,b=0,此时y=x 解得k>1; 当-3≤x≤4时，函数最小值是0，最大值是16， (V)y=x2-2(k-1)x+k2- 2k=(x-k+1)2-2k-1, ∴最大值与最小值之差为16，不符合题意，舍去； ∴.将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线解析式 ②当b>0时，c=2b>0, 为y=(x-)-2k-1. 又函数图象不经过第三象限，则需△≤0， 即b-8b≤0，解得0≤b≤8，∴.0<b≤8. ①当k<1时，函数在x=1处取得最小值， a=1-k-2-1=发-2k=-3 -4K-台0 2 ,-3≤x≤4，∴.当x=4时，函数有最大值y=16+6b. 解得无=号（舍去），6=1（舍去）： 10当-3≤-合<0，即0<b≤6时， ②当1≤k≤2时，函数在x=k处取得最小值， ,-3≤x≤4， =--1=- 2 当x=- 时，函数有最小值y=-车+2弘 解得k=1: ③当k>2时，函数在x=2处取得最小值， 由题意，得16+66+ 年-26=40. a=(2-0-合-1=6-号+3=- 解得b,=-8+4√10，b2=-8-4√/10（舍去）： 2， 解得6=2（含去），6=3. 2)当-4≤-名<-3，即6<b≤8时， 综上，k=1或k=3. :-3≤x≤4， .当x=一3时，函数有最小值y=9-b. 7.解：(I)将点(-2,4)代入y=x2+bx十c,得2b=c 由题意，得16+6b-9+b=40, 又b=2,c=4.y=x2+2x+4=(x+1)2+3. .抛物线的顶点坐标为（一1,3）： 解得6=3（舍去）. (Ⅱ)，该函数图象的顶点坐标是(m,n), 综上所述，b=-8+4√10. ∴.设函数解析式为y=(x一m)2十n. 【命题趋势2】 将点(-2,4)代入，得4=(-2-m)2十n. 1.解：(I)当b=2时，抛物线的解析式是y=x2+2x十c 即n=-m2-4m; ,抛物线经过点C(0,3), (由)y=++26=(x+)-年+2%， .c=3. 得对称轴x=一 b .抛物线的解析式为y=x2十2.x十3. 21 :y=x2+2x+3=(x+1)2+2, .抛物线的顶点坐标为（一1,2）； 中考专项数学 参考答案 (Ⅱ)抛物线经过点C(0,3), ∴.直线CD的解析式为y= 2x+3. .c=3. 当x=2时，y=2, .抛物线的解析式为y=x2十b.x十3. .M2,2),N(2,1). 若将该抛物线向右平移2个单位长度、 平移后的新抛物线经过点N, 则平移后的抛物线的解析式为y=(x一2)2+b(x-2)+3 .原抛物线向上平移了2个单位长度， 4 ∴.新抛物线的函数解析式为y=x2一4x十5. m=4b,m=12- 2.解：(I)当a=一1时，抛物线的解析式为y=一x2 2 4 4x+12, ÷4n-2m=-6+6+8=-(6-2）'+3 当x=0时，y=12,则C(0,12). :y=-x2-4x+12=-(x+2)2+16, 六当6=号时，4n一2m的值最大，最大值为3， ∴.抛物线的顶点D的坐标为（一2,16）： (Ⅲ)，抛物线的解析式为y=x2+bx十3， (Ⅱ)由题意，点P和点Q的横坐标为m,m<0, 又对称销为=一号-2，解得6=-4 对于抛物线y=a.z2十4a.x-12a, 当x=0时，y=-12a,则C(0,-12a), .抛物线的解析式为y=x2一4x十3，顶点(2，一1)。 令y=0,则a.x2+4ax-12a=0, 如图，将点D向上平移1个单位长度后得到D'(4,1), 解得x1=一6，x2=2, ∴.A(-6,0),B(2,0),-6<m<0, 设直线AC的解析式为y=kx十b, 将A(-6,0),C(0,-12a)代入， B D (0=-6k+b k=-2a 得 ,解得 则MN=DD'=1,MN∥DD' -12a=b b=-12a .四边形MNDD'为平行四边形. .直线AC的解析式为y=-2a,x-12a, .'.MD'=ND. 则有P(m,am2+4am-12a),Q(m,一2am-12a), 连接CD'与对称轴交于点M,则此时CM+MN+VD最小， ∴.PQ=(am2+4am-12a)-(-2am-12a) CM+MN+ND=CM+1+MD'=CD'+1. =am2+6am=a(m十3)2-9a, 设直线CD'的解析式为y=kx十m, 由a<0,可知当m=一3时，PQ有最大值一9a, 将C(0,3),D'(4,1)代入， 由-9a=得a=一名 m=3, 得 2 解得 ∴抛物线的解析式为y=-2-2x十6： 4k+m=1, m=3, 中考专项数学 参考答案 3解：(1)：抛物线y=-2+bx+c经过点A(1,0 &-合+b十c=0,解得c=名-6： 当b=2时，c=一2 B ∴y=- +2x---2+ (Ⅲ)由（Ⅱ）可知，A(-6,0),C(0,-12a), “抛物线的顶点坐标为(2，)： 由y=a.x2+4a.x-12a=a(x+2)2-16a, 得顶点D(-2,-16a), ()由(I)知，抛物线的解析式为y=一+6x+号-6， 将原点O沿CA方向平移到点O',使A'C'=OO,连接 ∴.抛物线的对称轴为直线x=b, OA', .点B的坐标为(2b-1,0). .此时，四边形OA'CO为平行四边形， 点P在y轴上，OP=2, ∴.点P的坐标为(0,2)或(0，一2) .0(-6,12a),0A'=OC, 连接OD, “由题意可知，点C(0,号-b）在y轴负半轴上， :DA+OC=DA+OA'≥OD, ∴Pc=2-+6=b+ .当点A'落在线段O'D上时，DA'+OC取最小值5， ○过点O作O'E⊥y轴，过点D作DE⊥x轴，OE与DE相交 或Pc=-2-合+6=b-引 于点E, 在Rt△POB中，由勾股定理得， PB2=(2b-1)+2=(2b-1)2+4. 在Rt△DOE中，OE=-2-(-6)=4, PB=PC,即PB=PC, DE=-16a-12a=-28a, ∴.OD2=OE2+DE=4+(-28a)2=52, 26-1+4-(+)'或2w-1+4=(b-受 解得a=一是4，=录（合） 解得6=己或6-吕或6=一 6 点A在点B左侧， ∴.当a= 是时，DA+0C的最小值为5 ∴.2b-1>1,解得b>1, 此时点C的坐标为(0，号)： 6=吕 (Ⅲ)如图，连接AD,过点Q作QF⊥AD于点F, ,抛物线与x轴交于A(1,0),B(4,0), 之抛物线的解析式为y=号2+一2。 1 顶点D(号，g）DE=是 中考专项数学 参考答案 ∴AD=√(-+(g-0)-号AE=, .AP∥OC,.∠1=∠2， ∠AOP=∠2， sinADE--铝-8器， ∴.∠AOP=∠1，∴.AP=OA=5, ∴.QF=gDQ, 设P点的横坐标为t, 则P(t,4),且t-(-3)1=5,解得t=2或t=-8, DQ+Q=(号DQ+NQ)=号(QF+NQ. .P1(2,4),P2(-8,4), AN=2BN, 设直线OP的解析式为y=kx, ∴.N(3,0),AN=2, 分别将P,(2,4),P2(一8,4)代入解析式， 过点N作NG⊥AD于点G,连接DN,则QF+NQ的最小 解得6，=26=一合 值为NG, ·.直线OP的解析式为y=2x或y=一2x :SAm=2AN·DE=2AD·NG. (iⅱ)，OC=OA=5,.点C的运动轨迹是以O为圆心，OA ∴NG=AV·DE 2X9 8=6 AD 15 5, 长为半径的圆，如图所示，连接OB,交⊙O于点C,此时线段 BC有最小值， DQ+NQ=号(QF+NQ≥年NG= 2 ,抛物线的对称轴为x= -19 2x日 2, DQ+- Q的最小值为立 3 且点A与点B关于直线x=号对称，A(-3,4), 4解(1)抛物线3=号+b:经过点A(-3,40, ∴.B(12,4).OB=√12+4=410， 54=。×(-3)+6×(-3 ∴.BC=OB-OC=4V10-5, ∴b=-1； ∴.线段BC的最小值为4√10-5. (Ⅱ)(i)A(-3,4), ∴.0A=5, 由对称性可知OA=OC,AP=CP, 中考专项数学 参考答案 5.解：(I)抛物线y=a.x2-2ax十c经过点C(0,-1), ·当D,M,F三点共线时，FM+DM最小，即FM+DN ∴.c=-1. 最小，最小值为DF' ,当a=1时， FM+DN的最小值为5√2， 抛物线的解析式为y=x2一2x一1=(x-1)2一2， .D'F'=5√2 .抛物线的顶点坐标为D(1,一2)； ∴.(-1-0)2+[(-a)-(a-1)]=(5√2)2. (Ⅱ)，抛物线y=ax2-2a.x+c(a≠0)经过点C(0,-1), 即1+4a2-4a+1=50, .c=-1. 解得a1=-3,a2=4(舍). .抛物线的解析式为y=ax2-2a.x1=a(x-1)2-a一1. .当a为-3时，FM+DN的最小值为5√2. .抛物线顶点D的坐标为(1，一a一1). .DC=(1-0)2+[(-a-1)-(-1)]2=a2+1. 点E(0,1十a), .DE=(1-0)2+[(-a-1)-(1+a)]=4a2+8a+5. ,DE=√5DC, ..DE=5DC. 即4a+8a+5=5a2+5, 6.解：(I)抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于 解得a1=8,a2=0(舍). A(-3,0),C(4,0)两点， .抛物线的解析式为y=8.x2一16x-1: a=- (Ⅲ)将点D(1,一a一1)向左平移2个单位长度，再向上平移 9a-3b+4=0, 解得 1个单位长度得到点D'(-1,-a). 16a+4b+4=0. b= 3 作点F关于x轴的对称点F',则F(0,a-1). ∴.抛物线的解析式为y= 3x2+ 3x+4. 连接MN,DN,DD',DM. M(m,0),N(m+2,-1), y=- +4=()+， 点N到点M的平移方式和点D到点D'的平移方式 “这条抛物线的顶点坐标为（分）： 相同. (Ⅱ)如图，连接DQ. ∴.NM=DD',NM∥DD' ∴.四边形MNDD是平行四边形. .'.DN=D'M. 由轴对称的性质，可得FM=FM, .FM+DN=F'M+D'M. 中考专项数学 参考答案 ,点A,C的坐标分别为（一3,0），(4,0)， ,点B,C的坐标分别为(0,4)，(4,0)， .AO=3,OC=4, .OB=OC,.∠BCA=45. ∴.AC=AO+OC=7. ∴点Q的纵坐标为CQ·s血45=号横坐标为4一号-号 :抛物线y=-子+了x十4与y轴交于点B。 ∴点Q的坐标为(9，号）· ∴.点B的坐标为(0,4).∴.OB=4..AB=5. AD=AB,∴∠ABD=∠ADB,AD=5, 直线AQ的解析式为y=十器 ∴.CD=AC-AD=2. 当2时=×+-器 1 ,线段PQ被BD垂直平分， ∴.DP=DQ,∠PDB=∠QDB. ∴当MQ+MC的值最小时，点M的坐标为(2，). ∠ABD=∠QDB..AB∥DQ,∴.△DQC∽△ABC. :7.解：(I),抛物线y= x+bx+c经过原点O,且与x轴交 1 器黑9号09 5 于点A(5,0), DP-10.AP-AD-DP-5 7 (c=0 b=- .2 6+5b+c= ,解得 6 c=0 (Ⅲ)存在. 六抛物线的解析式为y一合- 6, ,点A,点C是抛物线与x轴的两个交点， 6 ∴.点A和点C关于抛物线的对称轴对称， 6 5 2a 1 2, 2× ..MA=MC. 6 ∴.MQ+MC=MQ+MA. ∴抛物线的对称销为直线x=昌 “当A,M,Q三点共线，即点M为AQ与直线c=之（对称 (~点Cm,40在抛物线y合-号 6x上， 轴)的交点时，MQ十MC的值最小，如图所示. 6m25 …4= m,解得m,=-3(舍)，m,=8, 点C坐标为(8,4)， 如图，过C作CE⊥x轴，垂足为E,连接AB,AP,AQ, 由(I)知，AB/DQ器黑易得CB=4E, 7 中考专项数学 参考答案 则OE=8,CE=4. :8.解：(I),抛物线y=一x十bx+c与y轴相交于点C(0, 点A(5,0),B(0,10), 2),对称轴为x=一 2, .0A=5,OB=10, c=2 ∴.AE=OE-OA=3. 「b=一1 b 1,解得 在Rt△AEC中，AC=CE+AE=4+32=25, 2X(-1)= 2 c=2 同理，可得BC=100,AB=125, y=-2-x+2=-(+2）+是 ∴.AC+BC=AB,∴.∠BCA=90°， AC=5,∴.OA=AC. 顶点P(-2) (PA=QA 在Rt△AOP和Rt△ACQ中， 令y=0,得-x2-x十2=0，解得x1=-2,x=1, OA=CA :点A在点B的左侧， ∴.Rt△AOP≌Rt△ACQ(HL),∴OP=CQ, .A(-2,0): P(0.n),OP=2BQ,BC=10, (Ⅱ)由(I)得A(-2,0),B(1,0), i.BQ-jn.CQ-n .OA=2,AB=3, ∴n十2n=10,解得n- 3 如图，当点D在y轴正半轴上时，设对称轴x=一号与x轴 (Ⅲ)存在 交于点H, 5 ,抛物线的对称轴为直线x= 2 则H(-20),AH=2 “设点M的坐标为()， g" 由（Ⅱ）可知，AB=125, ①当AB=AM时， AM=(5-)广‘+r=125,解得1=士5V变 THETP 21 ②当AB=BM时， 同理，得()广+1-10)=125，解得1=20±5四 ,△ABD沿AD所在直线翻折得到△AB'D, 2 ∴.AB=AB=3, ③当AM=BM时， 点M为AB的中点，与点A,B不构成三角形 在R△AHB中，coS∠HAB=AH=1. AB=2 综上可得，点M的坐标为(，四)或(，-5四)或 .∠HAB=60°，则∠HAD=30°， (20+5)或20) 在Rt△AD0中，OD=OA·tan∠HAD=2Xtan30°=2yE 31 ∴点D的坐标为(0,2).■中考专项精品试题分类数学 冲天 重难点五二次菡数综合题（常见解答第25题） O会命题趋势1 最值问题 2.(2023·南开期未)二次函数y=x2+bx十c的 图象过A(一1,0)，B(3,0)两点，与y轴相交于 1.(2023·南开二模)已知抛物线y=ax2十bx十c 点C. (a,b,c是常数)的开口向上且经过点A(0,1), (I)求二次函数的解析式； B(2,-1) (Ⅱ)若点P是第四象限内抛物线上的一动点， (I)当a=1时，求抛物线的顶点坐标； 当点P到直线BC的距离最大时，求点P (Ⅱ)若二次函数y=a.x2十bx十c在1≤x≤3 的坐标； 时，y的最大值为2，求a的值； (Ⅲ)当二次函数y=x2十bx十c的自变量x满 (Ⅲ)若射线BA与抛物线y=ax2十bx十c 足m≤x≤m十2时，函数的最大值为p, 3a-1仅有一个公共点，求a的取值 最小值为q,p一q=2,求m的值， 范围 飞冲 备用图 冲天 一冲天 专项二鲜参题尚重草皮 3.(2024·河东期未)已知二次函数y=x2一 4.(2020·河西一模)已知抛物线C:y=x+bx十 2tx+3(t>0). c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 (I)若二次函数的图象过点(2,1)，求t的值； D,且关于直线x=1对称，点A的坐标为 (Ⅱ)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求t (-1,0). 的值； (I)求抛物线C的解析式和顶点坐标； (Ⅲ)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在 (Ⅱ)将抛物线C绕点O顺时针旋转180°得抛 这个二次函数的图象上，且a<b<3,求m 物线C',且有点P(m,t)既在抛物线C 的取值范围. 上，也在抛物线C上，求m的值； Ⅲl)当a≤x≤a十1时，二次函数y=x2十bx十c 的最小值为2a,求a的值. 7-冲天 飞冲天 LY TO THE TOP 冲天 四 中考专项精品试题分美数学 一冲天 5.(2020·河北结课)已知点A(t,1)为函数y=6.(2021·南开二模)在平面直角坐标系中，抛物 a.x2十b.x十4(a,b为常数，且a≠0)与y=x图 线y=-2k-1千一号6（质为常数）. 象的交点 (I)求t的值； (I)当k=2时，求该抛物线的解析式及顶点 (Ⅱ)若函数y=ax2+bx+4的图象与x轴只 坐标； 有一个交点，求a,b的值： (Ⅱ)若抛物线经过点(1，k2),求k的值； (Ⅲ)若抛物线经过点(2k,y1)和点(2，y2),且 (Ⅲ)若1≤a≤2，设当2≤x≤2时，函数y= y1>y2,求k的取值范围； a.x2十bx十4的最大值为m,最小值为n, (V)若将抛物线向右平移1个单位长度得到 求m一n的最小值. 新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应 的函数有最小值一多，求的值。 冲天 - 飞冲天 LY TO THE T○P 冲天 一冲天 专项二 鲜参丝的重单这回 7.(2021·河西一模)已知函数y=x2+bx十c(b, 命题趋势2线段问题 c为常数)的图象经过点（一2,4）. 1.(2023·河北一模)已知抛物线y=x2十bx+c (I)当b=2时，求抛物线的顶点坐标； (b,c是常数)的顶点为P,经过点C(0,3),与x (Ⅱ)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b 轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧）. 的值变化时，求n关于n的函数解析式； (I)当b=2时，求抛物线的顶点坐标； (Ⅲ)若该函数的图象不经过第三象限，当 (Ⅱ)若将该抛物线向右平移2个单位长度后 一3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之 的顶点坐标为(m,n),求4n一2m的最 差为40，求b的值. 大值； (Ⅲ)若抛物线的对称轴为直线x=2,M,N为 抛物线对称轴上的两个动点(M在N上 方)，MN=1,D(4,0),连接CM,ND,当 CM+MN+ND取得最小值时，将抛物线 沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经 过点N,求新抛物线的函数解析式. 7-6 飞冲天 冲天 LY TO THE T○P 冲天 四 中考专项精品试题分美数学 一冲天 2.(2023·部分二模)已知抛物线y=a.x+4ax 3.(2022·河北二模)已知抛物线y= 222+hx+ 12a(a为常数，a<0)与x轴相交于点A,点 B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,点 c(b,c为常数)的图象与x轴交于A(1,0),B D是该抛物线的顶点. 两点（点A在点B左侧）.与y轴相交于点C, 顶点为D. (I)当a=-1时，求点C,D的坐标： (I)当b=2时，求抛物线的顶点坐标； (Ⅱ)直线x=m(m是常数)与抛物线相交于第 (Ⅱ)若点P是y轴上一点，连接BP,当PB= 二象限的点P,与AC相交于点Q,当PQ PC,OP=2时，求b的值； 的最大值为号时，求抛物线的解析式： (Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为 (Ⅲ)将线段AC沿x轴方向平移至A'C,A'为 (4,0),对称轴交x轴于点E,点Q是线段 点A的对应点，C为点C的对应点，连接 DE上一点，点N为线段AB上一点，且 DA',OC.当a为何值时，DA'+OC的最 AN=2BN,连接NQ,求DQ+5NQ的 小值为5？并求此时点C的坐标。 最小值. 7-6 飞冲天 冲天 LY TO THE TOP 冲天 一冲天 考项二 韩参氨的变难之国 4.(2019·南开一模)在平面直角坐标系中，抛物5.(2023·河西结课)已知抛物线y=a.x2一2ax十 线y=号x+bx经过点A(一3,4). c(a,c为常数，a≠0)经过点C(0,一1)，顶点 为D. (I)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标； (Ⅱ)当a>0时，点E(0,1+a),DE=√5DC, 求该抛物线的解析式； (Ⅲ)当a<-1时，点F(0,1-a),过点C作直 (I)求b的值： 线l平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动 (Ⅱ)过点A作x轴的平行线交抛物线于另 点，N(m+2,-1)是直线1上的动点.当a 点B,在直线AB上任取点P,作点A 为何值时，FM+DN的最小值为52？ 关于直线OP的对称点C. (ⅰ)当点C恰巧落在x轴上时，求直线 OP的解析式；A (ⅱ)连接BC,求线段BC的最小值. 冲天 7- 飞冲天 LY TO THE TOP 冲天 四 中考专项精品武题分美数学 一冲天 6.(2020·西青一模)如图，抛物线y=ax2+bx十7.(2019·滨海一模)如图，在平面直角坐标系 4(a≠0)与x轴交于A(-3,0),C(4,0)两点， 中，抛物线y=6千x十c经过原点0，与 与y轴交于点B. x轴交于点A(5,0),第一象限的点C(m,4)在 抛物线上，y轴上有一点B(0,10). (I)求这条抛物线的顶点坐标； (Ⅱ)已知AD=AB(点D在线段AC上)，有 动点P从点A出发沿线段AC以每秒1 (I)求抛物线的解析式及它的对称轴； 个单位长度的速度移动；同时另一个动点 (Ⅱ)点P(0,n)在线段OB上，点Q在线段BC Q以某一速度从点B出发沿线段BC移 上，若OP=2BQ,且PA=QA.求n的值； 动，经过t(s)的移动，线段PQ被BD垂直 (Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使 平分，求t的值； 以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角 (Ⅲ)在（Ⅱ）的情况下，抛物线的对称轴上是否 形？若存在，求出点M的坐标；若不存 存在一点M,使MQ十MC的值最小？若 在，请说明理由. 存在，请求出点M的坐标；若不存在，请 说明理由， 飞冲天 冲 T-HET○ 冲天 一冲天 专项二鲜参题尚重草皮国 8.(2024·河北一模)已知抛物线y=一x2+bx十9.(2020·红桥二模)抛物线y=ax2干b.x+3(a, c与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左 b为常数，a≠0)与x轴交于A(一2,0)，B(6, 侧)，与y轴相交于点C,若点C坐标为(0,2)， 0)两点，与y轴交于C点.设该抛物线的顶点 对称辅为=一2 为M,其对称轴与x轴的交点为N. (I)求该抛物线的解析式； (I)求抛物线顶点P和点A的坐标： (Ⅱ)若P为线段MN(含端点M,N)上一点， (Ⅱ)点D为y轴上一点，连接AD,BD,若将 Q(n,0)为x轴上一点，且PQ⊥PC △ABD沿AD所在直线翻折，点B的对 (i)求n的取值范围： 应点B'恰好落在抛物线的对称轴上，求 (iⅱ)当n取最大值时，将线段CQ向上平 点D的坐标； 移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线 (Ⅲ)抛物线上点M在直线y=c上方，过M作 有两个交点，求t的取值范围. AC的垂线交线段BO于点N,过点N向 y轴作垂线，垂足为Q,求CB一MN+ 2√2QN的最小值， 飞冲天 冲天 7- LY TO THE TOP 冲天 四 中考专项精品试题分美数学 冲天 O◇命题趋势3角度问题 2.(2023·和平一模)已知抛物线y= 2x+6x+ 1.(2023·河东一模)在平面直角坐标系中，已知 c过点A(-2,-1),B(0,-3). 抛物线y=a.x2-2ax+2的顶点为P,与x轴 (I)求抛物线的解析式； 交于点A(一1,0)和点B,与y轴交于点C. (Ⅱ)平移抛物线，平移后的顶点为P(m,n) (I)求顶点P的坐标： (m>0). (Ⅱ)点K是抛物线上的动点，当∠KCB= (i)如果S△OBp=3,设直线x=k,在这条 ∠ABC时，求点K的坐标； 直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上 (Ⅲ)直线1为该二次函数图象的对称轴，交x 升趋势，求k的取值范围； 轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图 (ⅱ)如果点P在原抛物线上，新抛物线 象上一动点，过点Q作直线AQ,BQ分别 交y轴于点Q,且∠BPQ=120°，求点P 交直线1于点M,N,在点Q的运动过程 的坐标. 中，EM+EN的值是否为定值？若是，请 求出该定值；若不是，请说明理由， 飞冲天 LY TO THET○P 冲天 一冲天 考项二 群短尚变难之回 3.(2020·河北二模)已知抛物线y=x2十bx十c 4（2021·河东期未)如图，抛物线)一22 2 的图象与x轴的一个交点为A(一1,0)，另 个交点为B,与y轴交于点C(0,一3)，顶点 2与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,直 为D. 线y=kx十m经过点B,C. (I)求二次函数的解析式和点D的坐标； (Ⅱ)若点M是抛物线在直线BC下方图象上 的一动点，过点M作MN∥y轴交线段 BC于点N,当MN取最大值时，求点M 的坐标； (Ⅲ)将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物 (I)求k的值； 线的顶点D落在x轴上，原抛物线上 (Ⅱ)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求 点P平移后的对应点为Q,如果∠OQP 四边形ACPB面积最大时点P的坐标； ∠OPQ,试求点Q的坐标. (Ⅲ)若M是抛物线上一点，且∠MCB= ∠ABC,请直接写出点M的坐标. 7- 飞冲天 冲天 冲天 四