31.专项二 重难点一 与圆有关的证明和计算-【一飞冲天】中考专项精品试题分类数学

中考专项数学 参考答案 专项二解答题的重难点 ,∠GAC=∠GAB, 重难点一与圆有关的证明和计算 ∴∠G=∠CEA. ∠CEA=∠GEB,∴∠G=∠GEB. 【命题趋势1】 ∴.EB=GB 1.解：(I)如图，连接OC,OD. ,GB=GE,∴.GB=EB=GE. PC,PD为切线， ∴∠G=60° .PC=PD,∠OCP=90°， 3.解：(I),AB是⊙O的直径， ∠CPA=∠CPD-36 D ∴.∠ACB=90°， 在Rt△OCP中，∠COP=90°-36°=54°， AC=BC, “∠A=2∠00P=27: ÷∠B=∠CAB=号X180-∠ACB)=45, (Ⅱ)如图，连接OD. 在⊙O中，∠AOD=126°， :PD为切线，∠ODP=90° .DP∥AC, ∴∠ACD=7∠A0D=号×126°=63， ∠P=∠BAC=38 .∠AHD=∠ACD+∠CAB=63°+45°=108°： ∴.∠A0D=90°+∠P=128°. :四边形ACDE是圆内接四边形， O∠ACD-2∠A0D=6 .∠ACD+∠E=180°， .∠E=180°-∠ACD=117°； 2.解：(I):AB为⊙O的直径， (Ⅱ)如图，连接OF,交CD于M, .∠C=∠D=90° ,∠ACF=65°， ∴.∠CAB+∠CBA=90°. .∠AOF=2∠ACF=130°， :D为BC的中点， .∠BOF=180°-∠AOF=50°， ∴∠DAC=∠DAB. ,PF是⊙O的切线， :BF平分∠ABC,∴∠FBA=∠FBC. ∴.OF⊥PF, ∴∠DFB=∠FAB+∠FBA=(∠CAB+∠CBA)=A45 ∠OFP=90°， ∴∠DBF=90°-∠DFB=45°； ∴.∠FMP+∠P=90°， (Ⅱ)，BG与⊙O相切， :AB是⊙O的直径，H为弦CD的中点， ∴.GB⊥AB,即∠ABG=90°. .OH⊥CD. .∠G+∠GAB=90°. ∴.∠OHM=90°， ,∠C=90°， :∠OMH=∠FMP, ∴.∠CEA+∠GAC=90°. .∠P=∠BOF=50°. 中考专项数学 参考答案 4.解：(I)如图，连接AD. .OD=OB, ,AB是⊙O的直径， ∠D=∠ABD=26°； ∴.∠ADB=∠ACB=90°. (Ⅱ)：E是AC的中点， .AC=BC, ∴.AE=CE.∴.OD⊥AC. ∴.∠ABC=∠BAC :∠CAB=10°， ∠ABC=号X180°-∠ACB)=45: .∠AOE=90°-∠CAB=80. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=10,BD=5, AD=AD. ·COS∠ABD=BD-L AB2 ÷∠DCE=)∠A0E=40. ∴.∠ABD=60°： ∴∠P=∠DCE-∠CAB=40°-10°=30°. (Ⅱ)如图，连接OC. 6.解：(I)如图①，连接BD, :AB是⊙O的直径，AC=BC ,AB为⊙O的直径， ∴.∠AOC=∠BOC=90°. .∠ADB=90°. ,OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB=45° :在⊙O中，∠C=∠ABD=40°， 图① ,CE是⊙O的切线， .∠BAP=90°-∠ABD=50°： ∴∠OCE=90. PB是⊙O的切线，∴.AB⊥PB. ∴.∠ABP=90° ∴.∠BOC+∠OCE=180°， ∴.∠P=90°-∠BAP=40°； .OB∥CE. (Ⅱ)如图②，连接CE交AB于点F, ∴，∠ABD=∠E. 同(I)得，∠ABP=90°. .CE=CB, 在⊙O中，∠D=∠AEC, ∴∠CBE=∠E. ∠D=∠P, ∠ABD=∠CBE=180°-，∠OBC=67.5. 2 ∴.∠P=∠AEC 5.解：(I)E是AC的中点， ∴.CE∥BP. 图② ·AE=CE.O ∴.∠AFE=∠ABP=90°. ..ODLAC,AD=CD. .AB⊥CE ∠CAB=38°， 又AB是⊙O的直径， .∠AOD=90°-∠CAB=52°. ..AC=AE,BC=BE. CD=AD. .CE=AC, ∠DBC=∠ABD=Z∠AOD=269, ∴CE=AC=AE .'.CE=AC=AE. 中考专项数学 参考答案 ∴.△ACE是等边三角形 ∴.∠P=∠AEC=60°； ∴.∠BAP=90°-∠P=30. 7.解：(I),∠BOE=128°，∴.∠AOE=180°-∠BOE=52°， 又OE⊥AC, DA,DC是⊙O的切线， ∴.∠BAC=90°-∠AOE=38. ..DA=DC. AB是⊙O的直径， ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ACB=90. .平行四边形ABCD是菱形 ∴.∠ABC=90°-∠BAC=52 .DA=DC=CB=AB,∠ABC=∠ADC. 又∠ABE=3∠A0E=26, ,∠AOC=2∠ABC, 则∠CBE=52°-∠ABE=26°； ∴.∠AOC=2∠ADC. (Ⅱ)，EC∥AB,.∠ABE=∠BEC, DA,DC是⊙O的切线， 又∠BEC=∠BAC,∠AOE=2∠ABE, .OA⊥AD,OC⊥DC ∠AOE+∠BAC=90°， ∴.∠DAO=∠DCO=90 .2∠ABE+∠ABE=90°， ,∠ADC+∠DCO+∠AOC+∠DAO=360°， 即∠ABE=30°， ∴.∠ADC+∠AOC=180. ,BD切⊙O于点B, ∴.3∠ADC=180° ∴.∠ABD=90°， ∴.∠ADC=60 ∴.∠DBE=90°-∠ABE=60. ∴.∠P=90°-∠ADC=30°，∠ABC=60°. 8.解：(I)DA,DC是⊙O的切线， 又AB=CB, .DA=DC,OA⊥DA. ,△ABC是等边三角形， ∴.∠DAO=90. .∠ACB=60. DC=PC, ∴.∠AEB=∠ACB=60° .DA-DC-PC.DP-2DA. 9.解：(I)如图①，连接AD. ∠DAP=90°， in P-b 0 =2 ∴.∠P=30°； (Ⅱ)如图，连接OC,AC, 图① 中考专项数学 参考答案 AB是⊙O的直径， .AB=BC,∠BAC=∠BCA, ∴.∠ADB=90° ,OC∥AB, ,∠APC=50°，∠BCD=30°， ∴.∠BAC=∠OCA, ∴.∠ABC=∠APC-∠BCD=50°-30°=20. .OA=OC, ∴.∠ADC=∠ABC=20°， .∠OAC=∠OCA, .∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-20°=70°： ∠ADB=∠BCA, (Ⅱ)如图②，连接OD. ∴.∠BAC=∠OAC=∠ADB=∠ACO, ,AD是⊙O的直径， ∴.∠ABD=90°， ∴∠ADB+∠BAD=90°，即3∠ACO=90°， D .∠ACO=30° 图② :∠BCD=20°， 【命题趋势2】 1.解：(I)如图，连接OC, ∴.∠DOB=2∠BCD=40°. ,DQ切⊙O于点D,∴.OD⊥DQ,即∠ODQ=90° .∠Q=90°-∠DOB=90°-40°=50°， .OB=OD,PQ=DQ, ,PC切⊙O于点C, :∠0DB=∠0BD=180°-∠D0B=70, ∴.OC⊥PC,即∠OCP=90°. ∠QPD=∠QDP=180',∠Q=65, ∴.∠COP+∠P=90°. 2 ∠D=28°， .∠CBP=∠QPD-∠BCD=65°-20°=45. .∠COP=2∠D=56 ∴.∠CBD=∠CBP+∠OBD=45°+70°=115. ∠P=90°-∠COP=34°： 10.解：(I):四边形ABCD内接于⊙O,BC=CD, (Ⅱ)如图，连接OC,设∠D=x°. .BC=CD,∠BAC=∠CAD, ∠BAD=70°， ÷∠CAD=∠BAC-=∠BAD-35 (Ⅱ)如图，连接BD, ,四边形CDBP为平行四边形， '.AB=BC, ∠D=∠P=x°. 由(I)得，∠OCP=90°，∠COP=2∠D=2x. 在Rt△OCP中，∠COP+∠P=90°， .3x=90. 中考专项数学 参考答案 ∴.x=30,即∠D=∠P=30°，∠COP=60°. ∴.DE=OD .OB=OC. .OD-OE. ∴.△OBC是等边三角形. .OD=OE=DE,即△ODE是等边三角形. ∴.OB=OC=BC=5. ∴∠D0E=60∠cGE=号∠D0E=30 在Rt△OCP中，∠P=30°， ,⊙O的半径为5，∴.EG=10. ∴.OP=2OC=10. ,EG是⊙O的直径，∴∠GCE=90 由勾股定理，可得CP=√OP-OC=5√. 在R△GCE中，CG=EG·cos∠CGE=10x5-55. 2.解：(I)如图①，连接OC. 2 3.解：(I)如图①，连接CE. D C B 图① ,AB与⊙O相切于点C, 图① ∴.OC⊥AB,∠OCB=90°. .AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°. :DF⊥AB,∴∠DFB=90 :CD平分∠ACB,∠DCB=∠ACB=45 ∴.∠OCB=∠DFB=90°. 点E是BD的中点， ∴.OC∥DF. :∠D=34°， ∴∠BCE=7∠DCB=2.5 .∠EOC=2∠D=68. ∴.∠BAE=∠BCE=22.5°； ∴.∠DEO=∠EOC=68; (Ⅱ)如图②，连接OD (Ⅱ)如图②，连接OC,CE. G D G R THET○P 图② C FB 图② .∠ABC=30°，∴.∠CAB=60°. :点G在⊙O上，∴∠COE=2∠CGE. .DG∥CF,.∠DGO=∠CAB=60°. :∠DOE=2∠CGE,.∠COE=∠DOE. .AB=8,∴.OD=OB=4. 由(I)知，OC∥DF ,∵∠DOB=2∠DCB=90°， ∴.∠COE=∠OED.∴.∠DOE=∠OED. .sin∠DG0-DG=2 OD_3 中考专项数学 参考答案 DG-83 ,AB为⊙O的直径， DF是⊙O的切线， ∴.∠ACB=90°. ∴.∠CAB=90°-∠ABC=35°： ∴.OD⊥DF,∠ODF=90°. (Ⅱ)如图，连接OC,BD,相交于点H. ∴.∠DOB=∠ODF=90°. .DF∥AG. .四边形AGDF是平行四边形. H AF-DG-8/3 3 4.解：(I),BD与⊙O相切于点B, .∠ABD=90°， :∠DBC=24, ,CE是⊙O的切线，.OC⊥CE. .∠ABC=90°-24°=66°， ∴.∠OCE=∠OCP=90°. ,AB为⊙O的直径， .CD=CB, .∠C=90°， .OC⊥BD,即∠DHC=90°. ∴.∠A=90°-∠ABC=90°-66°=24°； :AB为⊙O的直径， (Ⅱ)如图，连接BE, ∴∠ADB=90°， D 在Rt△ACB中，BC=2,AC=4, ∴.四边形DPCH是矩形 .AB2=AC+BC=4+22=20, ∠P=90°，DP=CH,PC=DH. :CE平分∠ACB与⊙O交于点E, 设DH=x,则BH=PC=x, ∴AE=BE,AE=BE, .DP+PC=6, AB是⊙O的直径， ∴.CH=DP=6-x. ∴.∠AEB=90°， AB=10, 在Rt△AEB中，有AB=AE+BE, ∴.OB=OC=5,OH=x-1. ..2AE2=20. ∠OHB=90°， .AE=√10. ∴.在Rt△OHB中，OH+BH=OB. 5.解：(I)四边形ABCD是圆内接四边形，∠D=125°， .(x-1)2+x2=52, ∴.∠ABC=180°-∠D=55°， 解得x1=4,x2=-3(舍去)， CD=BF,∠DAC=15°， ∴.OH=x-1=3. ∴.∠DAC=∠BCF=15°. :O为AB中点，H为BD中点， :∠ABC=∠BCF+∠E, .AD=2OH=6. ∴.∠E=∠ABC-∠BCF=40° 中考专项数学 参考答案 6,解：(I)OE⊥AB, .OC=OE, 2.AP-ZAB-2/T. ∴.△OCE是等边三角形 .∠CEO=60°. 设PE=x,则OP=3.x,OA=OE=4x, .CE∥OA, 在Rt△OAP中，OA=OP+AP2,即16.x2=9x2+28, ∴.∠AOB=∠CEO=60°， 解得x=2或x=-2(舍)，∴.OA=4x=8, ,AB与⊙O相切， ⊙O的半径为8； ∴.∠OAB=90°， (Ⅱ)：CD为⊙O的切线， OA .OE⊥CD. 在Rt△OAB中，cos∠AOB= OB 又OE⊥AB, .c0s60°=0B 2 1 ∴.AB∥CD, .∴.OB=4. 院器 ..BE=OB-OE=4-2=2. 0c-音0A=是 8.解：(I)如图，连接OD与AB相交于点H. 7.解：(I)OA=OC, ∴.∠OCA=∠0AC=30°. ,AB与⊙O相切， ∴.∠OAB=90°， M D .∠BAD=90°-30°=60°. ,四边形ADBC是圆内接四边形，∠ADB=114°， .'AB=BD, ∴.∠ACB=180°-∠ADB=66. ∴.△ABD为等边三角形. DM为⊙O的切线， ∴.∠CDO=∠ADB=60 ∴.OD⊥DM. ∴.∠COD=180°-30°-60°=90. .∠ODM=90°. 在R△COD中，cos∠OCA=OC DM∥AB, CD ∴.∠OHA=∠ODM=90. 2 ∴.c0s30°= CD2' ∴.OD⊥AB. CD=43 .AD=BD. (Ⅱ)，OA=OC, ÷∠ACD=∠BCD=号∠ACB=3: ∴.∠OCA=∠OAC=30°. (Ⅱ)如图，连接OD,过点B作BN⊥CD,垂足为点N. .CE∥OA, ∴.∠ACE=∠OAC=30° .∠OCE=∠OCA+∠ACE=60°. 中考专项数学 参考答案 Nh.. D 则∠CNB=∠BND=90 :DM∥AB, .∠ODM=∠DOB=90° ÷∠BCD=2∠DOB=45 ,∠CAB=30°， .∠CDB=∠CAB=30 .AB=4, .∴OD=OB=2. 在Rt△ODB中，DB=√OD+OB=22. 在Rt△DBN中，∠CDB=30°， ∴BN=2DB=E, ∴DN=√DB-BN=√6. 在Rt△CBN中，∠BCD=45°， .CN=BN=√2. .CD=CN+DN=√2+√6.中考专项精品试题分类数学 冲天 专项二 解答题的重难点 重难点一 与图有关的证明和计算（常见解答第21题） O◇命题趋势1 角度问题 2.(2023·红桥三模)已知AB为⊙O的直径，C 为⊙O上一点，D为BC的中点，AD与BC相 1.(2023·河西一模)在⊙O中，AB为直径，C,D 交于点E、 为⊙O上两点，连接CD (I)如图①，∠ABC的平分线交AD于点F, (I)如图①，过点C,点D分别作⊙O的切线 求∠DBF的大小： 交于点P,当∠CPD=72时，求∠CPA (Ⅱ)如图②，AD的延长线与过点B的⊙O的 和∠A的度数； 切线相交于点G.若GB=GE,求∠G的 (Ⅱ)如图②，若∠BAC=38°.过点D作⊙O的 大小 切线，与AB的延长线交于点P, DP∥AC,求∠ACD的度数 图① 图② ① TO THE TO 冲天 一冲天 考项二 鲜参氨尚麦难支国 3.(2023·和平二模)已知AB是⊙O的直径，：4.(2023·西青一模)已知AB是⊙O的直径，点 CD交AB于点H. C,D是⊙O上两点，AC=BC,连接AC, (I)如图①，若AC=BC,∠AOD=126°，求 BC,DB ∠AHD和∠E的大小； (I)如图①，若AB=10,BD=5,求∠ABC和 (Ⅱ)如图②，若H为弦CD的中点，过CD延 ∠ABD的大小； 长线上一点P作⊙O的切线，切点为F (Ⅱ)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的 若∠ACF=65°，求∠P的大小 延长线交于点E,若CE=CB,求∠ABD 的大小 图① B B 图① 图② 飞冲天 冲天 7- LY TO THE TOP 冲天 四 中考专项精品武题分美教学 一冲天 5.(2024·和平期中)已知AB是⊙0的直径，半6.(2022·和平二模)如图，AB为⊙0的直径， 径OD经过弦AC的中点E △ACD是⊙O的内接三角形，PB切⊙O于 (I)如图①，连接BC,BD,若∠CAB=38°，求 点B. ∠D和∠DBC的大小； (I)如图①，延长AD交PB于点P,若∠C= (Ⅱ)如图②，连接DC并延长交AB的延长线 40°，求∠P和∠BAP的度数； 于点P,若∠CAB=10°，求∠P的大小. (Ⅱ)如图②，连接AP交⊙O于点E,若∠D= D ∠P,CE=AC,求∠P和∠BAP的度数. D 图① B 图① 图② 飞冲天 LY TO THE TOP 冲天 一冲天 专项二 鲜参丝的重难皮回 7.(2022·部分二模)已知AB是⊙O的直径，8.(2021·和平二模)已知DA,DC分别与⊙O AC,BC是⊙O的弦，OE是⊙O的半径，OEL 相切于点A,C,延长DC交直径AE的延长线 AC,垂足为H,连接BE. 于点P (I)如图①，若∠BOE=128°，求∠BAC和 (I)如图①，若DC=PC,求∠P的大小； ∠CBE的大小； (Ⅱ)如图②，在⊙O上取一点B,连接AB, (Ⅱ)如图②，过点B作⊙O的切线，与AC的 BC,BE,当四边形ABCD是平行四边形 延长线交于点D,若EC∥AB,求∠DBE 时，求∠P及∠AEB的大小 的大小 图① 图① 图② 飞冲天 LY TO THE TOP 冲天 四 中考专项精品试题分美数学 一冲天 9.(2021·西青二模)已知在⊙O中，弦CD与直：10.(2020·河北一模)四边形ABCD内接于 径AB交于点P. ⊙O,AC为其中一条对角线， (I)如图①，若∠BCD=30°，∠APC=50°，求 (I)如图①，若∠BAD=70°，BC=CD,求 ∠CDB的度数； ∠CAD的大小； (Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线交AB的延 (Ⅱ)如图②，若AD经过圆心O,连接OC, 长线于点Q.若∠BCD=20°，PQ=DQ, AB=BC,OC∥AB,求∠ACO的大小. 求∠CBD的度数， 图① 图② 图① 飞冲天 LY TO THE TOP 冲天 一冲天 考项二 韩茶氨的重度点回 O◇命题趋势2线段问题 2.(2023·河东一模)如图，AB为⊙O的切线，C 为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥ 1.(2023·南开一模)已知在⊙O中，AB为直径， AB,垂足为F,DF交⊙O于点E. P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线， (I)如图①，若∠D=34°，求∠DEO的度数； 切点为点C.D为AC上一点，连接BD, (Ⅱ)如图②，连接EO并延长交⊙O于点G,连 BC,DC. 接CG,OD,若∠DOE=2∠CGE,⊙O的 (I)如图①，若∠D=28°，求∠P的度数； 半径为5，求CG的长， (Ⅱ)如图②，若四边形CDBP为平行四边形， BC=5,求CP的长 G C B FB 图① 图② 图① 飞冲天 LY TO THE TOP 冲天 四 中考专项精品试题分美数学 一心冲天 3.(2023·河北一模)如图，AB是⊙O的直径，点4.(2022·南开二模)如图，AB为⊙O的直径， C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D, BD与⊙O相切于点B,C是圆上一点 ∠ABC=30° (I)如图①，若∠DBC=24°，求∠A的度数； (I)如图①，若点E是BD的中点，求∠BAE (Ⅱ)如图②，CE平分∠ACB与⊙O交于点 的大小； E,若BC=2,AC=4,求AE的长 (Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线，交CA的 延长线于点F,若DG∥CF交AB于点 D G,AB=8,求AF的长 D 图① 图② 0 C 图① 飞冲天 LY TO THE TOP 冲天 一冲天 专项二 韩茶氨的重度点回 5.(2022·和平一模)已知四边形ABCD内接于6.(2021·河西二模)如图①，AB是⊙O的弦， ⊙O,AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一 OE⊥AB,垂足为P,交AB于点E,且OP= 点，连接AC,CE 3PE,AB=4/7. (I)如图①，若CE交⊙O于点F,CD=BF, (I)求⊙O的半径； ∠D=125°，∠DAC=15°，求∠E和 (Ⅱ)如图②，过点E作⊙O的切线CD,连接 ∠CAB的大小； OB并延长与该切线交于点D,延长OA (Ⅱ)如图②，若CE与⊙O相切于点C,延长 交CD于点C,求OC的长. AD交EC于点P,CD=CB,AB=10,DP+ PC=6,求∠P的大小和AD的长度 图① 图② 图① 图② 冲天 7- 飞冲天 LYTO THE TOP 冲天 四 中考专项精品试题分美教学 一冲天 7.(2021·部分一模)已知点A,C在半径为2的8.(2024·和平一模)已知△ABC内接于⊙O,直 ⊙O上，直线AB与⊙O相切，∠OAC=30°，连 线DM与⊙O相切于点D,且DM∥AB,连 接AC与OB相交于点D. 接CD. (I)如图①，若AB=BD,求CD的长； (I)如图①，若∠ADB=114°，求∠ACD的 (Ⅱ)如图②，OB与⊙O交于点E,连接CE,若 大小 CE∥OA,求BE的长， (Ⅱ)如图②，⊙O的直径AB为4，若∠CAB= 30°，求DB和CD的长. 图① D M D 图① 图② 飞冲天 LY TO THE TOP 冲天