精品解析：江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025金陵中学､海安中学十月月考高二数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 3. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. 4或 D. 或 4. 在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线之间的距离为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 直线与直线垂直 10. （多选）已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 若点，则的最小值为 B. 的最小面积是4 C. 若，则Q点坐标为或 D. 四边形周长的最小值为 11. （多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为8 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=________ 13. 已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________． 14. 已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为___________，直线的斜率为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 16. 已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程. 17. 在平面直角坐标系中，曲线上的点到两定点的距离之和等于定值4. （1）求曲线的方程； （2）若直线与交于两点，且以为直径的圆过原点，求的值. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设点A，B是椭圆C上的任意两点， O是坐标原点，且OA⊥OB． ①求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值； ②任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求面积的最大值． 19. 已知圆点. （1）过作圆的切线，求切线的方程； （2）过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. （3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025金陵中学､海安中学十月月考高二数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 2. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用两直线平行列式计算并验证作答. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，即为，两直线重合，不符合题意； 当时，，，两直线平行. 综上所述，. 故选：D. 3. 已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. 4或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【详解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D 4. 在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】先分析得到丁，丙正确，再说明甲不可能正确. 【详解】注意到与距离不为5，故甲，乙，丙不可能全部正确，从而丁正确； 而到与距离不同，故甲､乙不可能全部正确，从而丙正确； 到距离为5，故乙可能正确，此时只有甲错误；与距离大于10， 故不存在半径为5的圆同时经过和，即甲不可能正确. 故选：A. 5. 已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直接法求点的轨迹，过点作圆的切线，连接，利用对称即可得出直线的斜率范围 【详解】设动点，则，化简得， 所以点的轨迹为圆， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理，则直线的斜率范围为 故选：C 6. 曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由曲线方程可知曲线为以为圆心，为半径的圆的的部分，又直线恒过，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时的取值，进而得到结果. 【详解】可化为 曲线表示以为圆心，为半径的圆的的部分 又直线恒过定点 可得图象如下图所示： 当直线为圆的切线时，可得，解得： 当直线过点时， 由图象可知，当与曲线有两个不同交点时， 故选 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解. 7. 已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题意转化为圆心到直线的距离不大于半径的倍，解不等式即可求解． 【详解】设两切点为，则，由题意，则是正方形， 故（为圆的半径）， 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 又，直线即， 所以，解得，所以r的取值范围是． 故选：D 8. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求圆的圆心和半径，利用圆心到直线的距离，求出的取值范围，再转化为直线的斜率的取值范围. 【详解】因为直线的斜率存在，所以， 圆整理为， 圆心坐标为，半径为， 要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离应小于等于，， ，， 设直线的斜率为，则，， 直线的斜率的取值范围是. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 直线与直线之间的距离为 C. 直线关于对称的直线方程是 D. 直线与直线垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D 【详解】令，故直线在轴上的截距为，A错误； 直线与直线之间的距离，B正确； 直线斜率为，且与交于点， 故直线关于对称的直线斜率为3且经过点，方程为，C错误； 直线斜率为，直线斜率为，两直线的斜率乘积为，两直线垂直，D正确. 故选：BD. 10. （多选）已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 若点，则的最小值为 B. 的最小面积是4 C. 若，则Q点坐标为或 D. 四边形周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两点之间线段最短可判断A，由圆上的点到圆外直线的最短距离可判断B，由圆的切线性质可得，设，联立可计算得到点坐标从而判断C，由四边形的周长为，设，从而，则四边形的周长为，由函数单调性可得四边形周长的最小值. 【详解】由题意得，，，因为点在圆内，点在圆外，所以可知的最小值， 即为当M，P，C三点共线时的值，，A正确； 由题意得，，圆O的圆心到直线l的距离， 所以点P到该直线距离的最小值为，所以，B错误； 当时，，，所以，所以． 设，则解得或所以点Q的坐标为或，C正确； 四边形的周长为，因为，所以四边形的周长为． 设，当时，取得最小值，此时也取得最小值， 则，则四边形的周长为， 则当t取最小值时，四边形的周长最小，最小值为，D正确． 故选：ACD. 11. （多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为8 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=________ 【答案】1或 【解析】 【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，由题意可列出方程，求解，即得答案. 【详解】由题意知直线l的方程为， 当时，直线为，不符题意，故， 令，则；令，则； 由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则， 解得或， 时，直线为，直线l在两坐标轴上的截距均为0，符合题意； 时，直线为，直线l在轴上的截距分别为，符合题意； 故答案为：1或. 13. 已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】 设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，利用点差法可求得直线的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点， 由于点为弦的中点，则，得， 由题意得，两式相减得， 所以，直线的斜率为， 所以，弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题. 14. 已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为___________，直线的斜率为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据几何关系及椭圆的定义即可求解. 【详解】过原点作于点,则为的中点， 又∵, ∴, 即的中点， ∴∥, ∴, 连接, 设，则，，， 在△中，，解得， 在△中，，整理得， 解得， . 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 16. 已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知条件，用待定系数法列方程组解得，得到方程. (2) 求M关于直线的对称点为，过的圆的切线为所求直线. 【小问1详解】 依题意得：，由解得 ∴圆C的方程为 【小问2详解】 设M关于直线的对称点为， 由， 设过与圆C相切的直线为l， 当斜率不存在时，l：x=3，圆心到直线距离d=3-1=r符合条件； 当斜率存在时，设l： 即 圆心到直线的距离 ，解得， 则直线l的方程为： ，即： 所以反射光线所在直线为：或 . 17. 在平面直角坐标系中，曲线上的点到两定点的距离之和等于定值4. （1）求曲线的方程； （2）若直线与交于两点，且以为直径的圆过原点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义得到曲线是以为焦点的椭圆，从而得到椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据垂直关系得到，从而求出的值. 【小问1详解】 由题设， 故曲线是以为长轴长，以为焦点的椭圆， 所以，故， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 满足 消去得：， 恒成立， 由题意， 其中， 而以为直径的圆过原点， 所以 ， 解得. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设点A，B是椭圆C上的任意两点， O是坐标原点，且OA⊥OB． ①求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值； ②任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先椭圆离心率为，短轴端点到焦点的距离为2，再由得的值，求出椭圆的方程；（2）①联立直线与椭圆的方程，利用舍而不求法把用表示出来，进一步利用点到直线的距离公式证明原点O到直线AB的距离为定值；②利用弦长公式求得的最大值，由①知点P到直线AB的距离的最大值，进而可得面积的最大值． 试题解析：（1）因为椭圆C：，短轴端点到焦点的距离为2，所以，椭圆的方程为． （2）①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，原点O到直线AB的距离为； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为AB 由， ，， 所以原点O到直线AB的距离， 综上，原点O到直线AB的距离为． ②当直线AB的斜率不存在时 当直线AB的斜率存在时 当时，，当时等号成立； k=0时所以的最大值为． 由①知点P到直线AB的距离的最大值为，所以． 考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆；3、韦达定理；4、点到直线的距离． 【易错点睛】设直线的方程时，要分斜率存在和不存在两种情况，由斜率不存在这种特殊情况先得到到直线的距离值，再计算斜率存在时到直线的距离值，若只考虑斜率存在，则很容易出错． 19. 已知圆点. （1）过作圆的切线，求切线的方程； （2）过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值. （3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）和 （2） 假设过点的一条直线倾斜角为， 由题目条件得另一条直线的倾斜角也为，但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾， 故过的直线不可能垂直于轴. 由于两直线的倾斜角互补，因为，故两直线的斜率互为相反数. 设直线与圆相交于，两点， 直线与圆相交于，两点. 点在上，则， 化简得， 由韦达定理得. 点在上，则， 化简得， 由韦达定理得. 则直线的斜率为. 易得，.故. 故直线的斜率为定值. （3）当，定值为；当，定值为，理由如下： 设，因，所以，化简得， . 所以点的轨迹是一个圆，圆心为点，半径为. 因，所以圆内含于圆.故点一定在圆外，过任意的点都能作两条圆的切线. 因不存在此两条切线同时垂直于轴（否则两切线平行，与两切线都过点矛盾），故不妨设过的切线方程为，切点为. 则. 由圆的方程得. 设.则. 设.即. 把代入化简得， . 继续代入得，. 要使上式对任意的，均成立，则. 解得或. 当的坐标为时，；当的坐标为时，. 【解析】 【分析】（1）根据斜率是否存在进行分类讨论，用待定系数法求得切线方程； （2）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线的斜率进行化简，求得定值为； （3）先根据条件求得动点的方程，在假设定值存在，列出等式并用的方程化简，最后由多项式相等求得的坐标. 【小问1详解】 根据圆的方程可知，圆的圆心坐标为，半径为. 点距离圆心的距离，故点在圆外，过点的切线有两条. 当过点的直线不存在斜率时，切线方程为， 圆心距此直线的距离为，与半径相等.故此直线与圆相切. 当过点的直线存在时，设直线方程为，即， 圆心距离此直线的距离应为，故，解得. 故直线方程为，即. 所以过点且与圆相切的直线方程为：和. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $