精品解析：山东省青岛市城阳第六中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学试题 (考试时间：120分钟；满分：120分) 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 第I卷（共30分） 一、选择题（本题共30分，共10小题，每小题3分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练运用因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程是解本题的关键． 根据解一元二次方程的因式分解法，让每个因式为0，再进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∵， 或， ∴，． 故选：C． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解． 3. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：四边形为菱形，且，， ，，，， ， 在中，由勾股定理得：， 此菱形的周长， 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 5. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，将矩形沿折叠，使点C、D分别落在点、处．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的折叠，勾股定理的运用，解题的关键是得出． 设与交于点G，首先根据矩形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点G， ∵将矩形沿折叠，使点C、D分别落在点、处，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 6. 某市年底有2万户用户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．由题意知，年底用户有万户，年底用户有万户，即，根据用户数累计即可列出方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 7. 输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 －13.75 －8.04 －2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（ ） A. 20.5＜x＜20.6 B. 20.6＜x＜20.7 C. 20.7＜x＜20.8 D. 20.8＜x＜20.9 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：由表格可知， 当x=20.7时，（x+8）2-826=-2.31， 当x=20.8时，（x+8）2-826=3.44， 故（x+8）2-826=0时，20.7＜x＜20.8， 故选C． 8. 如图，“笔尖”图案五边形由正方形和等边组成，连接，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质得出，，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，同理可得，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， 同理可得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等 ，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 9. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，，证出，得出．证出为等边三角形，得出，则可得出答案． 【详解】解：在矩形中，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为10，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（ ） A. ①②④ B. ②③⑤ C. ①②⑤ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①运用三角形边角关系证明即可求解． ②④如图过点做的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，在构建的直角三角形中求解线段长度即可求解． ③⑤运用三角函数比较角度可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，①正确 ∵ ∴ 由勾股定理得 ∵ ∴在中， ∴ ∴，④错误 如图过点做的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为 在中， ∴由勾股定理得，,, ∴在中，，②正确 过点作的垂线，垂足为 有 ∴在中， ∵ ∴，⑤正确． 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为 则 ∵为中点，且∥ ∴ ∴在中 有 ∴，③错误． 故选C 【点睛】本题考查知识点较多，涉及三角形综合、三角函数、垂线的运用等，熟练掌握概念，构建边角关系即可求解． 第II卷（共90分） 二、填空题（本题共18分，共6小题，每小题3分） 11. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知m是方程的一个根，将代入得到关于m的等式，再整体代入即可得到的值． 【详解】由方程，得 将代入得 故答案为：5 【点睛】本题考查了式子的恒等变形求值，利用整体代入法是解决本题的关键． 12. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 根据双循环问题的基本公式：人数人数总次数，建立方程即可． 【详解】解：∵全班共送2035张照片，且全班有x名同学， ∴， 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：30. 14. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____． 【答案】1 【解析】 【详解】∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB=90°，OA=OD， ∵∠AOD=60°， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠ADO=60°，OA=AD， 在Rt△ADB中，AD=， ∵AE⊥BD， ∴OE=DE=OD=1． 故答案是：1． 15. 小明发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数∶，例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数2，则______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意，把实数对代入中，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】把实数对代入得 移项得 因式分解得 解得． 故答案为：3或． 16. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ， 当时，则最小，得到最小值， ， ∴是等腰直角三角形， ，即， ， ， 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分） 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 现有一个四边形木块，且为直角，现要利用这块木块截一个正方形，使其对角线长等于已知线段．请在图中作出这个正方形． 【答案】 如图，正方形ABCD即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，掌握基本作图的方法，证明该图形是正方形，掌握角平分线，线段垂直平分线，等腰直角三角形，正方形判定是解题关键．①作的角平分线； ②在上截取； ③作线段的垂直平分线，分别与木块交于B，D两点，然后证明正方形即为所求． 【详解】解： ①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交两边于两点，以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点，过点A与此点作射线，可得的平分线，②在上截取， ③以点A、C为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线交的两边于B，D，交于O，为线段的垂直平分线， 连接，则正方形ABCD即为所求． 证明：∵∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形． 四、解答题（本题共68分，共7小题） 18. 解方程： （1）； （2）（配方法）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键． （1）首先对方程移项，再利用平方差公式和提取公因式求解即可； （2）利用配方法求解即可； （3）首先对方程移项，转化为一般形式，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等的实数根． （2）设该方程的两根分别为，且满足，求的值． 【答案】 （1）证明：， ∵对任意，恒成立， ∴恒成立， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式可得△=k2+4，由于k2≥0，进而可判断△＞0，从而可判断此方程有两个不相等的实数根； （2）先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1•x2的值，而x1+x2=x1•x2，可把x1+x2，x1•x2的值代入，进而可求出k． 【详解】解：（1）略 （2）由根与系数的关系可得，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算． 20. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚的长为米，宽为米 （2）小路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． 【小问2详解】 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 21. 已知：如图中，在上截取，连接，取的中点，过点作，交线段的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）请你给添加一个条件，使四边形成为正方形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 解：， 理由如下：由（1）得：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）由点为的中点可得，由平行线的性质可得，证明，即可得到答案； （2）由（1）得，再由可得四边形为平行四边形，再由得出四边形为菱形，最后由即可得到四边形为正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 22. 青岛作为沿海旅游城市，海洋文创产品很受欢迎．某商家通过线上平台销售青岛特色海洋文创摆件，经过一段时间发现：当每个摆件售价是40元时，每天可售出该摆件60个，且售价每降低1元，就会多售出3个，设该海洋文创摆件每个的售价为x（元/件）（）． （1）请用含售价x的代数式表示每天能售出该海洋文创摆件的个数为 ； （2）已知每个海洋文创摆件的制作成本是20元，每天销售该海洋文创摆件的纯利润为900元 ①求该海洋文创摆件每个的售价． ②为了助力青岛海洋环保，商家决定每销售一个该海洋文创摆件便通过线上平台自动向海洋环保组织捐款元，求商家每天通过销售该海洋文创摆件捐款的数额． 【答案】（1）件 （2）①该商品的售价为30元/件；②每天通过销售该海洋文创摆件捐款的数额为45元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系，根据利润=销量（售价成本）列方程求解． （1）售价设为x元，那么降低的价格就是元，那么增加的销量是件，再加上原来的60件就得到表达式； （2）①根据利润=销量（售价成本）列方程求出售价； ②根据①中算出的售价求出销量，从而算出捐款的数额． 【小问1详解】 解：∵该商品的售价为x元/件（），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件， ∴每天能售出该海洋文创摆件的件数为件； 【小问2详解】 解：①依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该商品的售价为30元/件； ②（元）， 答：每天通过销售该海洋文创摆件捐款的数额为45元． 23. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．     【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 【答案】[类比迁移] 第一步： ； 第二步：，， 利用四个面积可用表示为长为，宽为的全等矩形构造“空心”大正方形，    画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵表示边长， ∴，即， 第三步：； [拓展应用] ，5，1或5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数，与各图形面积的关系是解题的关键． [类比迁移]仿造[学习研究]，根据赵爽的办法解答即可； [拓展应用] 根据题意把，变形为，根据图2由4个面积为20的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，即可得到答案． 【详解】解：[类比迁移] 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：略 第三步：方程的一个正根为； 故答案为：；，，图形及解答过程见解析；； ∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ∴，， 解得：，， 当时，，，，方程的一个正根为； 当时，，，，方程的一个正根为． 综上所述，方程的一个正根为1或5． 故答案为：，5，1或5． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学试题 (考试时间：120分钟；满分：120分) 友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 第I卷（共30分） 一、选择题（本题共30分，共10小题，每小题3分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，将矩形沿折叠，使点C、D分别落在点、处．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某市年底有2万户用户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 －13.75 －8.04 －2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（ ） A. 20.5＜x＜20.6 B. 20.6＜x＜20.7 C. 20.7＜x＜20.8 D. 20.8＜x＜20.9 8. 如图，“笔尖”图案五边形由正方形和等边组成，连接，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，正方形的边长为10，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（ ） A. ①②④ B. ②③⑤ C. ①②⑤ D. ①④⑤ 第II卷（共90分） 二、填空题（本题共18分，共6小题，每小题3分） 11. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于_________． 12. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为______． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为______． 14. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60°，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____． 15. 小明发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数∶，例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数2，则______． 16. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为_____ 三、作图题（本题满分4分） 17. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 现有一个四边形木块，且为直角，现要利用这块木块截一个正方形，使其对角线长等于已知线段．请在图中作出这个正方形． 四、解答题（本题共68分，共7小题） 18. 解方程： （1）； （2）（配方法）； （3）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等的实数根． （2）设该方程的两根分别为，且满足，求的值． 20. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 21. 已知：如图中，在上截取，连接，取的中点，过点作，交线段的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）请你给添加一个条件，使四边形成为正方形，并说明理由． 22. 青岛作为沿海旅游城市，海洋文创产品很受欢迎．某商家通过线上平台销售青岛特色海洋文创摆件，经过一段时间发现：当每个摆件售价是40元时，每天可售出该摆件60个，且售价每降低1元，就会多售出3个，设该海洋文创摆件每个的售价为x（元/件）（）． （1）请用含售价x的代数式表示每天能售出该海洋文创摆件的个数为 ； （2）已知每个海洋文创摆件的制作成本是20元，每天销售该海洋文创摆件的纯利润为900元 ①求该海洋文创摆件每个的售价． ②为了助力青岛海洋环保，商家决定每销售一个该海洋文创摆件便通过线上平台自动向海洋环保组织捐款元，求商家每天通过销售该海洋文创摆件捐款的数额． 23. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．     【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $