精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

辽宁省实验中学2025-2026学年度高二上学期第一次月考试卷 （数学）试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：王晓强 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 空间中直线和平面所成角大小为，则的大小不可能是（ ） A. 0° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面所成角的范围即可解题. 【详解】由空间中直线和平面所成角大小为，所以，所以的大小不可能是120°. 故选：D 2. 直线过点，倾斜角等于60°，则在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点斜式得出直线方程，令可求在轴上的截距. 【详解】因为直线过点，倾斜角等于 所以直线方程为，即， 令，可得， 所以在轴上的截距是， 故选：A 3. 已知，，，则这三点（ ） A. 构成直角三角形 B. 构成等腰三角形 C. 构成等腰直角三角形 D. 不能构成三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间两点间的距离公式求出线段的长度即可得解. 【详解】因为， ， , 所以，， 所以能构成等腰三角形， 故选：B 4. 直线过点且在两坐标轴上截距相等，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. 或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】分截距为零和不为零两种情况，截距为零可直接求出斜率，截距不为零，设直线方程为，再结合题设条件，即可求解. 【详解】若截距为零，此时直线过原点， 又因为直线过点， 所以直线的斜率为； 若截距不为零，设直线方程为， 因为直线过点， 所以， 解得， 所以直线方程为， 此时直线斜率为， 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 5. 相交但不垂直的平面和的一对法向量分别为、，若平面和的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与相等或互补即可求解. 【详解】由题可知与相等或互补，且为锐角，故ACD错误， ，B正确， 故选：B 6. 平面直角坐标系中，直线与直线平行，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行的充要条件直接可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得. 故选：C. 7. 三角形，，，为空间中一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分析出三角形为直角三角形，建立空间直角坐标系，计算向量坐标求出最值. 【详解】因为中，，. 所以，所以为直角三角形，且. 所以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，以点竖直向上垂直于底面为轴，建立空间直角坐标系. 所以.设. ；；.. 即配方得：. 所以当且仅当时，取得最小值为. 故选：. 8. 如图，正方形、，，动点、分别在和上，，当最小时，二面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，以为轴，以为轴，过垂直平面作轴，建立空间直角坐标系，设，，根据空间两点间距离公式，可得当时，取得最小值，再结合空间夹角公式即可求解. 【详解】因为四边形、为正方形，， 所以以为原点，以为轴，以为轴，过垂直平面作轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方形、的边长为，又，设，， 则，，，，，，所以，， 所以当时，取得最小值， 此时，，所以，，， 设平面的法向量为，则，即，令，解得，，即， 设平面的法向量为，则，即，令，解得，，即， 设二面角为，则. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 平面直角坐标系中直线的方程为：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线没有经过第三象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线的一个法向量为 D. 直线在两坐标轴上的截距之和等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程判断斜率和截距，再根据直线的方向向量和法向量的知识点判断即可. 【详解】选项A：将直线方程化为斜截式方程. 斜率为，直线下降，截距为，直线与轴正半轴相交，因此直线不经过第三象限，故选项A正确. 选项B：，因此不是该直线的方向向量，故选项B错误. 选项C：因为直线的方程为，所以其一个法向量为。由于，所以也是该直线的一个法向量，故选项C正确. 选项D：直线的方程为：，令，则；令，则. 所以截距之和为：.故选项D正确. 故答案为：ACD. 10. 正方体中，棱长为3，点在棱上，，动点在棱上移动，则（ ） A. 直线与始终为异面直线 B. 直线与始终为异面直线 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，当时，四点共面，即可求解；对B，利用异面直线的判断方法，即可求解；对C，利用异面直线所成角的定义，知为所求，再利用几何关系，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，利用点线距的向量法，求出到直线距离的最小值，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则，当时， ，又易知，所以，则四点共面， 此时与相交，所以选项A错误， 对于选项B，直线平面，平面，且， 所以直线与始终为异面直线，故选项B正确， 对于选项C，因为，则为直线与所成的角或其补角， 由正方体的性质知平面，又平面，则， 在中，，所以， 则，所以选项C正确， 对于选项D，如图，建立空间直角坐标系，设， 因为，则， 所以到直线距离为， 由二次函数的性质知，当时，最小，最小值为， 又，，所以当最小时，面积最小， 则面积最小为，所以D正确， 故选：BCD. 11. 平面直角坐标系中，直线的方程为：，恒过定点，直线的方程为：恒过定点，直线与的交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 定点坐标为 B. 定点坐标为 C. 点纵坐标取值范围是 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A、B，将直线方程整理成过两直线交点的直线形式，求两直线交点；对于C，根据点P的轨迹方程求范围；对于D，根据点P的轨迹结合与的关系求解. 【详解】对于A：直线可整理为， 表示经过两直线和交点的直线，定点即两直线交点. 由，解得，即定点，A正确； 对于B：直线可整理为， 表示经过两直线和交点的直线，定点即两直线交点. 由，解得，即定点，B错误； 对于C：因为直线：和直线：的系数满足 ，所以直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆， 圆心坐标为，半径为， 所以点满足，所以，解得， 即点纵坐标的取值范围是.C错误； 对于D：因为点的轨迹是以为直径的圆，所以， 所以， 当且仅当时取等号，D正确； 故选：AD. 三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，，则在上投影的数量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出和的坐标，再利用投影定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 故,且， , 则在上投影的数量为， 故答案为：. 13. 点，，则经过原点且与、两点距离相等的直线方程是____________. 【答案】或. 【解析】 【分析】由条件可知直线平行于直线或经过线段的中点，求出所求直线的斜率，即可由点斜式得到所求直线的方程. 【详解】设所求直线为，由条件知，直线平行于或经过线段的中点. ① 时，因直线的斜率为，故此时直线的方程为； ②当直线经过线段的中点时，直线的斜率为，故此时直线的方程为. 综上，可得所求直线的方程为或. 故答案为：或. 14. 如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】设的中点为，由题设可得，进而得到点落在以为球心，以1为半径的球上，再根据空间向量的数量积运算可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，由，则， 所以点落在以为球心，以1为半径的球上， 在正八面体中，， 则 ， 而，则， 所以的最大值为8. 故答案为：8. 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 正四棱锥，底面边长为，高为4，、、分别为棱、、中点. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点到平面距离的向量求法求解； （2）由二面角的向量求法求解. 【小问1详解】 取底面正方形的中心为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴，过点与平行的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，所以，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即是平面的一个法向量. 则点到平面的距离. 【小问2详解】 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则， 所以. 16. 三角形中，，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求经过点将面积二等分的直线的方程； （3）直线过点，且与边有公共点，求直线的斜率的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）得出边上的高所在直线的斜率为即可； （2）求出线段的靠近点的三等分点即可； （3）画图可得，或，根据斜率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，所以边上的高所在直线的斜率为， 故所求为，即； 【小问2详解】 设线段的中点为， 因为，， 所以， 又，所以， 故所求为 即； 【小问3详解】 如图所示， 若直线过点，且与边有公共点，则或， 而，，， 所以，， 所以直线的斜率的取值范围为. 17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（） （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由） 【答案】（1）取的中点，连接， ，， 四边形是平行四边形， ，且，， ，， 又，． 侧棱底面，， ，平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出； （3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，、、的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，． ，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，． ． 设与平面所成角为，则 ， 解得，故所求． 【小问3详解】 由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案． 写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，利用向量求线面角、柱体的定义应用和表面积的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力，数学运算能力及化归与转化能力，属于中档题． 18. 如图，在四面体中，，是棱上的点. （1）求证：； （2）直线与平面所成角的余弦值为，求的长； （3）作直线平面，垂足为，当三棱锥体积最大时，求. 【答案】（1） 设的中点为，连接， 因为， 所以，则， 又因为， 所以，则， 而平面， 所以平面，而平面， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质、结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据面面垂直的性质定理，结合平行线的性质、三棱锥的体积公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 显然有，因此有， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设，， 则有， ， 设平面的法向量为， ， 当时，此时平面变成平面， 直线与平面所成角为， 且，不符合题意； 当时，， 因为直线与平面所成角的余弦值为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 因此向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值为， 即， 化简，得，或舍去， 因此； 【小问3详解】 因为，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面，而平面平面， 过做，垂足为，显然有平面， 因为过一点做已知平面的垂线只有一条，而直线平面， 所以、两点重合， 因为平面，平面， 所以，设， 因为， 所以， ， 三棱锥体积为： ， ，当且仅当时取等号， 当时，三棱锥体积有最大值，即. 19. 已知，，，动点在直线上，直线与轴交于点. （1）当取得最小值时，确定点的坐标； （2）满足问题（1）的点及、构成.直线将的面积分成相等的两部分， （ⅰ）当时，求实数的值； （ⅱ）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求得点关于直线的对称点为，结合可得当且仅当三点共线时取得最小值，进而求解即可； （2）（ⅰ）设直线与边交于点，与边交于点，与轴交于点，根据相似三角形求解即可； （ⅱ）当时，由（ⅰ）可得，当时，可得，设直线与轴的交点为，设直线和边的交点为，可得，进而根据和的位置关系讨论求解即可. 【小问1详解】 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则，当且仅当三点共线时等号成立， 此时取得最小值， 而，则直线的方程为，即， 联立，解得， 则当取得最小值时，点的坐标为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，， 当时，直线将的面积分成相等的两部分， 设直线与边交于点，与边交于点，与轴交于点， 则，即，而，则， 即，所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，； 当时，由直线将的面积分成相等的两部分，可得， 设直线与轴的交点为， 设直线和边的交点为， 而直线的方程为， 联立，解得，即. ①如图，若点和点重合， 则点为的中点，即， 此时，即； ②如图，若点在点和点之间，此时， 而，则， 即，整理得，解得，所以； ③如图，若点在点的左侧，则且，即， 设直线和的交点为， 联立，解得，即， 则，即， 化简可得，而，则， 则，解得. 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2025-2026学年度高二上学期第一次月考试卷 （数学）试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：王晓强 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 空间中直线和平面所成角大小为，则的大小不可能是（ ） A. 0° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 直线过点，倾斜角等于60°，则在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则这三点（ ） A. 构成直角三角形 B. 构成等腰三角形 C. 构成等腰直角三角形 D. 不能构成三角形 4. 直线过点且在两坐标轴上截距相等，则直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. 或 D. 或1 5. 相交但不垂直的平面和的一对法向量分别为、，若平面和的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 平面直角坐标系中，直线与直线平行，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 以上都不对 7. 三角形，，，为空间中一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形、，，动点、分别在和上，，当最小时，二面角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 平面直角坐标系中直线的方程为：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线没有经过第三象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线的一个法向量为 D. 直线在两坐标轴上的截距之和等于 10. 正方体中，棱长为3，点在棱上，，动点在棱上移动，则（ ） A. 直线与始终为异面直线 B. 直线与始终为异面直线 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 面积的最小值为 11. 平面直角坐标系中，直线的方程为：，恒过定点，直线的方程为：恒过定点，直线与的交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 定点坐标为 B. 定点坐标为 C. 点纵坐标取值范围是 D. 的最大值为 三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，，，则在上投影的数量为_________. 13. 点，，则经过原点且与、两点距离相等的直线方程是____________. 14. 如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 正四棱锥，底面边长为，高为4，、、分别为棱、、中点. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的平面角的正弦值. 16. 三角形中，，，. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求经过点将面积二等分的直线的方程； （3）直线过点，且与边有公共点，求直线的斜率的取值范围； 17. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（） （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由） 18. 如图，在四面体中，，是棱上的点. （1）求证：； （2）直线与平面所成角的余弦值为，求的长； （3）作直线平面，垂足为，当三棱锥体积最大时，求. 19. 已知，，，动点在直线上，直线与轴交于点. （1）当取得最小值时，确定点的坐标； （2）满足问题（1）的点及、构成.直线将的面积分成相等的两部分， （ⅰ）当时，求实数的值； （ⅱ）当时，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $