精品解析：福建省厦门市集美区灌口中学2025-2026学年上学期八年级 第一次阶段数学学科校本训练

厦门市集美区灌口中学2025-2026学年上学期初二 第一次阶段数学学科校本训练 （答卷时间：120分钟 卷面总分：150分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，3，4 B. 3，4，5 C. 2，4，8 D. 2，2，6 2. 下列各组图形中，是的高的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. DC＝BE D. ∠ADC＝∠AEB 4. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，已知与全等，其中点在边上，，的对应角是（ ） A. B. C. D. 8. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 10. 如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　） A. m+n＞b+c B. m+n＜b+c C. m+n=b+c D. 无法确定 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，，点在的延长线上，若，则___________°． 12. 如果等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为______________． 13. 如图，是的角平分线，点P在上，于点M，，则点P到的距离是__________． 14. 如图，，点B、C、D在同一直线上，若，则的长度为______． 15. 如图，中，是上的高，平分，，则_________度． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高， （1）若∠ECF=α，则∠CAB=_____________ (用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E 作 BC的垂线交直线CD 于点F，当点E运动_________ s时，CF=AB． 三、解答题（本大题有8小题，共86分） 17. （1）； （2）解方程组； 18. 如图，点F，C在上，，，，求证： 19. 如图中， ， ． （1）作的平分线， 交于点（用直尺和圆规按照要求作图，不写作法 ，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的大小． 20. 如图，某段河流的两岸是平行的，某校八年级数学兴趣小组在林老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在树A的对岸正对位置选一点B，使得； ②从点B沿河岸直走25米有一树C，继续前行25米到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走到达E处，使得树A、树C、点E三点共线； ④测得的长为20米． （1）根据他们的做法补全图形并标出点B、D、E的位置； （2）求该段河流的宽度是多少米？ 21. 如图，在中，是的角平分线，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，求的面积． 22. 如图，交于点H，连． （1）求证：； （2）求；（用含α的式子表示） （3）求证：平分． 23. 【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 24. 如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． （1）若，，则___________°，___________°； （2）若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； （3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市集美区灌口中学2025-2026学年上学期初二 第一次阶段数学学科校本训练 （答卷时间：120分钟 卷面总分：150分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，3，4 B. 3，4，5 C. 2，4，8 D. 2，2，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】A．， 所以1，3，4不能组成三角形，故A不符合题意； B．，所以3，4，5能组成三角形，故B符合题意； C．，所以2，4，8不能组成三角形，故C不符合题意； D．，所以2，2，6不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组图形中，是的高的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键． 根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：的高是过顶点A与垂直的线段，只有D选项符合． 故选：D． 3. 如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. DC＝BE D. ∠ADC＝∠AEB 【答案】C 【解析】 【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB=AC，∠A=∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或AD=AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的． 【详解】A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确； B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确； C、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故C错误； D、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故D正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的证明，掌握三角形全等证明相关定理是解题的关键． 4. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作角平分线的尺规作图，先理解题意，观察作图过程得，证明，则，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得， ∴， ∴， 即平分， 故选：B． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 6. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 7. 如图，已知与全等，其中点在边上，，的对应角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，根据全等三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在边上， ∴， ∵与全等，， ∴与是对应边， 又∵， ∴与不是对应边， ∴与是对应边，与是对应边， ∴， ∴， 故选：C． 8. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 9. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A. 的角平分线与边上中线的交点 B. 的角平分线与边上中线的交点 C. 的角平分线与边上中线的交点 D. 的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 10. 如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　） A. m+n＞b+c B. m+n＜b+c C. m+n=b+c D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】延长BA至E点，使得AE=AC，连结ED、EP， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠CAD， ∵AC=AE，AP=AP， ∴△APC≌△APE（SAS）， ∴PC=PE=n， 在△BPE中，PB+PE＞AB+AE=AB+AC，即m+n＞b+c， 故选：A． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，，点在的延长线上，若，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 12. 如果等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的周长为______________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．分两种情况：①当腰长为时；②当腰长为时，结合三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：①当腰长为时，则这个等腰三角形的三边长分别为，和， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为时，则这个等腰三角形的三边长分别为，和， 此时，满足三角形的三边关系，它的周长为； 综上，它的周长为， 故答案为：15． 13. 如图，是的角平分线，点P在上，于点M，，则点P到的距离是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，准确理解并应用角平分线定理的内容是解题关键．根据角平分线定理可得点P到的距离等于的长，即可解答． 【详解】解：如图：过P作，  是的角平分线，，， ， ， 点P到的距离是4． 故答案为：． 14. 如图，，点B、C、D在同一直线上，若，则的长度为______． 【答案】13 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得，根据即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．熟记相关结论即可． 15. 如图，中，是上的高，平分，，则_________度． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出，最后利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分， ∴．， ∵是上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高， （1）若∠ECF=α，则∠CAB=_____________ (用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E 作 BC的垂线交直线CD 于点F，当点E运动_________ s时，CF=AB． 【答案】 ①. ②. 2或5 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等、余角的性质即可得到结论； （2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE=AC=7，继而得出BE的长，从而得出答案． 【详解】解：（1）由对顶角的定义，则 ∠BCD=∠ECF=α， ∵∠ACB=90°，CD为AB边上的高， ∴∠CAB+∠CBD=90°，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠CAB=∠BCD=α； 故答案为：α； （2）如图，当点E在射线BC上移动时， ∵∠A=∠BCD，∠BCD=∠ECF， ∴∠A=∠ECF， 在△CFE与△ABC中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE=AC=7， ∴BE=BC+CE=10， ∴t=10÷2=5（s）； 当点E在射线CB上移动时， 同理△CF′E′≌△CBA（AAS）， ∴CE′=AC=7， ∴BE′=CE′-CB=4， ∴t=4÷2=2（s） 总之，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF=AB． 故答案为：2或5 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，共86分） 17. （1）； （2）解方程组； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握解法是解题的关键： （1）先计算乘方，算术平方根及立方根，再计算加减法； （2）利用加减法解方程组． 【详解】解：（1） ； 解：（2） 得，， 解得 将代入①，得 解得 ∴方程组的解是． 18. 如图，点F，C在上，，，，求证： 【答案】 证明：∵点在上，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再利用定理证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 如图中， ， ． （1）作的平分线， 交于点（用直尺和圆规按照要求作图，不写作法 ，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求的大小． 【答案】（1） 以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线交于点，     如图所示：即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出； （2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的定义以及三角形外角的定义及性质进行计算得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了基本作图—尺规作图作角平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质，正确掌握尺规作图作角平分线解题关键． 20. 如图，某段河流的两岸是平行的，某校八年级数学兴趣小组在林老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在树A的对岸正对位置选一点B，使得； ②从点B沿河岸直走25米有一树C，继续前行25米到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走到达E处，使得树A、树C、点E三点共线； ④测得的长为20米． （1）根据他们的做法补全图形并标出点B、D、E的位置； （2）求该段河流的宽度是多少米？ 【答案】（1） 根据题意，画如下：  ． （2）20米 【解析】 【分析】(1)根据要求画出相应的图形即可． (2)根据要求证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，得 ∴， ∴（米）， 故该段河流的宽度是20米． 【点睛】本题考查了作图，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 21. 如图，在中，是的角平分线，于点，于点． （1）求证：； （2）已知，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2） 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线性质得到，证明，则； （2）由（1）可知．根据，，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知． ∵，， ∴． 22. 如图，交于点H，连． （1）求证：； （2）求；（用含α的式子表示） （3）求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴； （2） （3） 证明：过点C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形内角和定理， 对于（1），根据“边角边”即可证明； 对于（2），由，可得，进而求得答案； 对于（3），作，，根据，可得，进而得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点O， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 略 23. 【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 【答案】（1）40 （2）90 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． （1）根据“三分线”的定义即可得到答案； （2）根据是“邻三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【小问1详解】 解：∵是的“三分线”， ∴， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：90； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． （1）若，，则___________°，___________°； （2）若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； （3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】（1），； （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． 【小问3详解】 解：设， 由（）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $