精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

玉溪一中2025-2026学年上学期高一年级第一次月考 数学学科试卷 命题人：2028届数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 若关于的不等式解集为，则下列结论错误的是（ ） A. 的解集为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 8. 若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”的充分不必要条件是“” D. “为整数”是“为整数”的充要条件 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则有最大值1 B. 若，则有最小值2 C. 若正实数满足，则的最小值是9 D. 若正实数满足，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则实数的值为____________________. 13. 不等式的解集为______. 14. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合， （1）若时，求， （2）若，求的取值范围. 16. 已知不等式 （1）若不等式的解集为或，求实数的值； （2）若，解该不等式. 17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 18. 对实数，用表示“不大于的最大整数”，用表示“不小于的最小整数”．例如． （1）若，求的值． （2）若，求的取值范围． （3）记，是否存在实数，使得？若存在，求的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 设为实数，集合. （1）若，求； （2）若，求满足的条件； （3）设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025-2026学年上学期高一年级第一次月考 数学学科试卷 命题人：2028届数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集、交集的概念即可得解. 【详解】已知全集，集合，，则. 故选：D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析可知阴影部分区域所表示的集合为，利用补集和交集的定义可求得结果. 【分析】因为全集，集合或，， 在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素，则，， 因此阴影部分区域所表示的集合为 . 故选：C. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断. 【详解】由可知，或，，此时， 即“”“”； 但当时，取，，此时， 即“” “”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 在上定义运算⊙：，则满足的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算新定义化简不等式得一元二次不等式，解之即得. 【详解】因， 则， 即得，解得. 故选：B. 6. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C. 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得， 则，，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 7. 若关于的不等式解集为，则下列结论错误的是（ ） A. 的解集为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，为方程的两根，由韦达定理得到两根之和，两根之积，得到不等式，求出解集；B选项，配方求出最小值；CD选项，变形得到，由基本不等式求出最大值，得到答案. 【详解】A选项，由题意得为方程的两根， 故， ，解得，A正确； B选项，， 当且仅当时，等号成立，B正确； CD选项，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，C正确，D错误. 故选：D 8. 若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】为真命题，由根的判别式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】为真命题， 故需满足，解得， 故使命题p为假命题的实数的取值范围为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由元素与集合关系可判断选项正误； B由空集定义可判断选项正误； C由N定义可判断选项正误； D由Q定于可判断选项正误. 【详解】选项A：因为a是集合中的元素，所以，所以选项A错误； 选项B：因为是任何集合的子集，所以，所以选项B错误； 选项C：因为N中含有元素0，1，而且还有其他元素，所以，所以选项C正确； 选项D：因为是无理数，而Q是有理数集，所以，所以选项D错误； 故选：ABD． 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”的充分不必要条件是“” D. “为整数”是“为整数”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐一判断. 【详解】则有，反之，时满足，但不满足， 故“”是“”的必要不充分条件，A正确； 等价于且，则“”是“”的充分不必要条件，B错误； 若，则，反之不成立，则“”的充分不必要条件是“”，C正确； “为整数”则“为整数”；当时为整数， 故“为整数”是“为整数”的充分不必要条件 ，D错误. 故选：AC 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则有最大值1 B. 若，则有最小值2 C. 若正实数满足，则的最小值是9 D. 若正实数满足，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB由基本不等式即可判断，对于C，由条件得到，由乘1法可判断，对于D，由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A，当时，， 当时，，当且仅当时，取等号，正确； 对于B，，， 当即时，取等号，结合，故等号不成立，错误； 对于C，由得， 所以， 当且仅当取等号，正确； 对于D，由得：， 所以.， 当且仅当时取等号，正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则实数的值为____________________. 【答案】0或 【解析】 【分析】由题意得或，求解并验证即可. 【详解】由， 可得：或， 即或或， 当时，，，，符合； 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时， ，，且，符合； 所以实数a的值为0或， 故答案为：0或 13. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式变形为，然后转化为，求解即可. 【详解】，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图像分类讨论即可. 【详解】若在恒成立，即在恒成立， 设，则该二次函数开口向上，对称轴为， 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合， （1）若时，求， （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集、补集和并集的概念可求出结果； （2）由得，再分类讨论是否为空集，根据子集关系列式可求出结果. 【小问1详解】 ∵，， ∴当时，则，所以， 或，又， 所以或. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴当时，则有，即，满足题意； 当时，则有，即， 可得，解得：. 综上所述，的范围为或. 16. 已知不等式 （1）若不等式的解集为或，求实数的值； （2）若，解该不等式. 【答案】（1）； （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 【解析】 【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，根据韦达定理列方程即可求解； （2）若，不等式为，分别讨论、、、、解不等式即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以和是方程的两个根， 由根与系数关系得，解得； （2）当时，不等式为， 当时，不等式为，可得：； 当时，不等式可化为， 方程的两根为，， 当时，可得：； 当时， ①当时，即时，可得：或； ②当即时，可得：； ③当，即时，可得或； 综上： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）100百辆，最大利润为1800万元． 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系； （2）分和,再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可. 【小问1详解】 ∵ ∴当时，， 当时，． 故 【小问2详解】 由（1）得 当时，， ∴； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故． ∵，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元． 18. 对实数，用表示“不大于的最大整数”，用表示“不小于的最小整数”．例如． （1）若，求的值． （2）若，求的取值范围． （3）记，是否存在实数，使得？若存在，求的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）分类讨论是否为整数，结合题意运算求解即可； （2）分类讨论是否为整数，结合题意运算求解即可； （3）分类讨论是否为整数，整理可得， 结合整数的奇偶性分析可知可知中只有1个整数，且整数只能或，进而讨论求解即可. 【小问1详解】 若，则， 可得，解得； 若，则， 可得，解得，不合题意； 综上所述：. 【小问2详解】 若，则， 可得，解得，不合题意； 若，则， 可得，解得，可得； 综上所述：的取值范围为. 【小问3详解】 若，则，可得； 若，则， 可得； 综上所述：. 可知当且仅当时，为偶数，否则为奇数， 且2025为奇数，可知中只有1个整数或只有3个整数， 若为整数，则均为整数； 若为整数，则必为整数； 在不为整数的前提下，不可能同时为整数，不可能同时为整数； 据此可知中只有1个整数，且整数只能或， 可设， （i）若为整数，则， ①若，则，，， 可得， 解得，不合题意； ②若，则，，， 可得， 解得，不合题意； （ⅱ）若为整数，则， ①若，则，，， 可得，解得； ②若，则，，， 可得， 解得，不合题意； 综上所述：，， 所以存在实数，使得，此时. 19. 设为实数，集合. （1）若，求； （2）若，求满足的条件； （3）设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【答案】（1）； （2）或 （3），，，. 【解析】 【分析】（1）代入，分解因式解方程可得； （2）由是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可； （3）先分析方程的一次项系数及方程二次项系数均不为，再分，，且三类情况讨论即可. 【小问1详解】 若， 则方程为， 即，解得或. ； 【小问2详解】 由题意知，. ，是方程的根， 即，解得. 由，集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个根， ①若是方程的根， 则，且，解得； ②若不是方程的根， 则方程无实数根， 则； 综上所述，或. 【小问3详解】 ，， 若，， ， 则，又，， 所以有，解得. 验证：当时，， 不满足集合恰有两个元素，故； 若， 由， ， 则，，又，则，又， 所以，即. 由，则,即,解得. 验证：当时， 也不满足集合恰有两个元素，故； 由上可知，且.则， 且方程与有相同的判别式， 即两方程根的个数相同. 由集合均恰有两个元素，则. ， 因为，则是方程或的根. 由，且，则是方程或的根. ①当时，是方程的根，，则， 又，则，由， 则是方程的根，则. （i）若，联立解得. 验证：当，，时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两个不相等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， 则是方程的根，则，即 （i）若，联立解得. 验证：当，，时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根. 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则有，解得. 验证：当且，，时，有. 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对有，，，. 【点睛】关键点分析：本题的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $