精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性检测（10月）数学试题

临澧一中2025年下学期高二年级第二次阶段性检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 出卷人：朱双瑞 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，如图，、分别是正方形、的中心.则过点、、的截面是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 梯形 D. 直角三角形 4. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线关于轴的对称直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，有，且点为角的终边上一点，则角（ ） A. B. C. D. 7. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ） A. B. 6 C. D. 8. 在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部对得5分，部分对的得2分，有选错的得0分． 9. 过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角的对边分别为，为边上的中线，，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵中，是的中点，，若平面α过点P，且与平行，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥的体积是该“堑堵”体积的 C. 当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于 D. 当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设三直线；；交于一点，则k的值为______． 13. 若三点，，共线，则______． 14. 已知，动直线过定点，动直线过定点，若与交于点（异于点），则的最大值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角B的大小； （2）若．且，求△ABC的面积． 16. 已知的三个顶点是. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 17. 已知两条直线，求分别满足下列条件的的值： （1）直线过点，并且直线与直线垂直； （2）直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等． 18. 如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为，点F在线段PC上满足，求二面角的余弦值. 19. 如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上． （1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值． 条件①：； 条件②：∠PED＝60°； 条件③：PM＝3ME： 条件④：PE＝3ME． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2025年下学期高二年级第二次阶段性检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 出卷人：朱双瑞 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，再根据方向向量的定义即可得出结果. 【详解】因为，由共线向量可知与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量， 又，所以是直线l的一个方向向量. 故选：B. 2. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知，解得，故，其虚部为， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题. 3. 在正方体中，如图，、分别是正方形、的中心.则过点、、的截面是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 梯形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，可知过点、、三点的截面为，判断该三角形的形状即可得出结论. 【详解】如下图所示，连接、、， 由于、分别为正方形、的中心，则、分别为、的中点， 所以，过点、、三点的截面为，易知为正三角形. 因此，过点、、三点的截面为正三角形. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面形状的判断，作出截面图形是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题. 4. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 5. 直线关于轴的对称直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，则其关于x轴的对称点坐标为.代入原方程即可. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，则其关于x轴的对称点坐标为. 已知直线，对称点在该直线上，所以将换为可得，即. 故选：A. 6. 已知，有，且点为角的终边上一点，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式差角的正弦公式化简，再利用三角函数定义及同角公式、差角的正弦公式求解. 【详解】由，得， 则，由，得，则， 由点为角终边上一点，得， 因此，锐角. 故选：D 7. 已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果. 【详解】直线AB的方程为：，如图所示， 点关于x轴的对称点， 设点关于直线AB的对称点，如图， 则，且中点在直线上， 即联立解得，即， 所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为： ． 故选：C. 【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题． 8. 在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等，点在底面内，且直线与平面所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、、，利用空间向量法求出和的值，然后利用空间向量数量积的运算可求得结果. 【详解】在三棱锥中，棱、、两两垂直且棱长相等， 不妨设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、， 设点，其中、、，设平面的法向量为， ，，则， 取，可得， 因为点在平面内，且，则， 可得， 设直线与平面所成的角为，则， 且，所以，， 所以， . 故选：B. 二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部对得5分，部分对的得2分，有选错的得0分． 9. 过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，则 或.分类讨论，代点计算即可. 【详解】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，即，则或. 当 时，则直线设为，将代入，解得， 此时直线方程为：，即.故A正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故B正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故D正确； 故选：ABD． 10. 在中，角的对边分别为，为边上的中线，，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是直角三角形 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直角三角形的判定A；由中点向量公式及模的意义判断B；利用数量积的运算律及余弦定理求解判断C；由数量积的运算律及余弦定理化简，结合基本不等式判断D. 【详解】对于A，当时，，则是以为斜边的直角三角形，A正确； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，由2，得， 即， 由余弦定理得， 即，则，C错误； 对于D，，，则 ，，当时，，， 即，而，因此， 即，当且仅当时取等号，， 又，则，D正确. 故选：ABD 11. 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵中，是的中点，，若平面α过点P，且与平行，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥的体积是该“堑堵”体积的 C. 当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于 D. 当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用坐标法及线线角的向量求法可判断A，根据锥体的体积公式可判断B，作出平面α截棱柱的截面图形结合条件可得截面的面积判断CD. 【详解】对于A，由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，，，所以B正确； 对于C，如图，，，分别为的中点， 则，，，，， 所以，共面，又，平面，平面， 所以平面， 则四边形为平面α截棱柱的截面图形， 所以四边形是等腰梯形，且高为， 当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，，所以C正确； 对于D，如图，分别为的中点， 则，，，， 所以， 同理可得四边形为平面α截棱柱的截面图形， 由题可知平面，平面， 所以平面，所以平面，又平面， 所以， 故四边形是直角梯形，当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设三直线；；交于一点，则k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】解方程组求出与的交点，代入即可得解. 【详解】联立，解得，即与交于点， 依题意可知，，解得. 故答案为：. 13. 若三点，，共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：由三点共线有，应用斜率两点式列方程，整理即可得；法二：写出直线的截距式方程，根据在直线上代入整理即可得. 【详解】法一：因为，，三点共线，则， 所以，得，即； 法二：因为，，三点共线，则点在直线上， 其中直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线方程，得到，即. 故答案为： 14. 已知，动直线过定点，动直线过定点，若与交于点（异于点），则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据观察两条直线的位置关系，结合不等式，可得结果. 【详解】由题可知： 动直线过定点 动直线过定点 且，可知，所以 ，且 所以 即 当且仅当时取“=” 所以的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查直线过定点问题，还考查了基本不等式应用，属中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角B的大小； （2）若．且，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得，可求角B的大小； （2）由已知条件利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求△ABC的面积. 【小问1详解】 在中，由正弦定理 ，可得， 又由 ，得 即 ， 由，有 可得 又因为，所以 . 【小问2详解】 ．且，， 由余弦定理：， 有，解得， ∴. 16. 已知的三个顶点是. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系得到边上的高所在直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可； （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑即可. 【小问1详解】 由可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，此时直线为，到直线的距离分别为4和2，不符合题意，. 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 17. 已知两条直线，求分别满足下列条件的的值： （1）直线过点，并且直线与直线垂直； （2）直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，解方程组可得答案； （2）由题意得，再结合点到直线的距离公式列方程可求得结果. 【小问1详解】 因为过点，所以， 又因为，所以， 所以， 所以或； 【小问2详解】 因为且的斜率为， 所以的斜率也存在，，即， 故和的方程可分别表示为， 因为原点到与的距离相等， 所以，解得或， 因此或 18. 如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为，点F在线段PC上满足，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由题设，为等边三角形，则， 又四边形ABCD为梯形，，则， 在中，， 所以，即， 平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 故； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得； （2）利用坐标法，根据线面角的向量求法及面面角的向量求法即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若O为BD中点，，则， 平面平面ABCD，平面平面，平面， 则平面， 连接OC，则，且平面， 故， 综上，，，两两垂直， 以为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， 所以，，，， 设且，则， 而平面的一个法向量为，， 所以， 可得，故， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取， 若是平面的一个法向量，则， 取， 所以， 所以二面角的余弦值. 19. 如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上． （1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值． 条件①：； 条件②：∠PED＝60°； 条件③：PM＝3ME： 条件④：PE＝3ME． 【答案】（1） 因PD⊥平面ABC，平面ABC，平面ABC，则， 又由题可知，则如图，建立以D为原点的空间直角坐标系， 则，，，， 设，. 则，，，，. 故. 设平面MBD法向量为， 则，令，可得； 设平面PBC法向量为， 则，可令，可得. 要使平面MBD⊥平面PBC，需满足. 注意到条件①， PD⊥平面ABC，平面ABC，，又由题可知，则条件②， 条件③，条件④. 则当条件①④成立或条件②③成立时，都有，即可以使平面MBD⊥平面PBC （2） 当选择①④时，则BP与平面MBD所成角得正弦值为； 当选择②③时，BP与平面MBD所成角得正弦值为； 【解析】 【分析】（1）如图，建立以D为原点的空间直角坐标系，设，，由平面MBD⊥平面PBC，可得两平面法向量互相垂直，即可得，据此可知可选择①④或②③； （2）由（1）所建立空间直角坐标系及平面MBD法向量，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1），当选择①④时，，，. 则，平面MBD法向量为， 设BP与平面MBD所成角为，则； 当选择②③时，，，. 则，平面MBD法向量， 设BP与平面MBD所成角为，则； . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $