第29讲随机事件与概率课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦概率模块核心考点，涵盖样本空间、随机事件、古典概型及概率性质等高考必备内容。依据高考评价体系，通过必备知识梳理、考点精析与综合提升三模块，明确古典概型计算、事件关系辨析等高频考点权重，归纳典型题型，实现备考针对性与实用性统一。 课件亮点在于“真题引领+技巧突破”，融入2022广东学考、2023高考真题实例，如古典概型中“样本点列举法”解题技巧，培养学生推理能力与数据观念。通过考点归纳、例题精讲与综合提升，助力突破概率计算等难点，为教师提供系统复习框架，有效提升学生应试得分率。

第29讲　随机事件与概率 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．样本空间和随机事件 (1)样本空间的定义： 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间(sample space).一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)随机事件：随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．样本空间Ω的子集称为随机事件简称事件，只包含一个样本点的事件称为基本事件(elementary event).随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生． (3)必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件． (4)不可能事件的定义：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件． 返回导航 2026年广东省学考数学 2．事件的关系和运算知识要点 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B或B⊇A 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 返回导航 2026年广东省学考数学 3.古典概型 (1)古典概型：具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个． ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)概率公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 _______________________． 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 返回导航 2026年广东省学考数学 4．概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 返回导航 2026年广东省学考数学 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么_________________，_________________． 性质5　__________________________________． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有__________________________________． P(B)＝1－P(A) P(A)＝1－P(B) 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B) 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 考点一　随机事件和事件之间的关系 (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为(　　) A．正面，反面 B．{正面，反面} C.{(正面，正面)，(反面，正面)，(反面，反面)} D．{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)} √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序， 则此试验的样本空间Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}． 故选D. 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是(　　) A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选C. 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“一种报纸也不订”．判断下列说法正确的是(　　) A．A与C是互斥而非对立事件 B．C与D是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与D是对立事件 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：事件C为“至多订一种报纸”包含“只订一种报纸”和“一种报纸也不订”两个事件， 则事件C与事件A，事件B，事件D均有公共部分，即能同时发生，故选项A，B，C均错误， 事件B与事件D有且仅有一个发生，是对立事件，故选项D正确． 故选D. 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其和事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系． 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　古典概型 (1)(2022·广东学考)从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为________． 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________． 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　求解古典概型问题的一般思路 (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果). (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性． (3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率． 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)从中任取一球，求得到的不是“红球或绿球”的概率． 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法： (1)将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和． (2)先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率．这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化． 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 1．抛掷两枚均匀的骰子，记录正面朝上的点数，则下列选项中的两个事件互斥但不对立的是(　　) A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之和为9” B．事件“点数之和为偶数”与事件“点数之和为奇数” C．事件“点数之和为6”与事件“点数之和为9” D．事件“点数之和不小于9”与事件“点数之和小于等于8” √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：抛掷两枚均匀的骰子，记录正面朝上的点数，对于A，事件“点数之和为奇数”与事件“点数之和为9”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，事件“点数之和为偶数”与事件“点数之和为奇数”既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故B错误；对于C，事件“点数之和为6”与事件“点数之和为9”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故C正确；对于D，事件“点数之和不小于9”与事件“点数之和小于等于8”既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故D错误．故选C. 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 3．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥但不对立的事件是(　　) A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球 C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，对于A，恰好有一个白球与都是红球不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故A正确；对于B，至多有一个白球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，至多有一个白球与都是白球不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误；对于D，至多有一个白球与至多一个红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选A. 返回导航 2026年广东省学考数学 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 5．掷一枚质地均匀的骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是________． 返回导航 2026年广东省学考数学 6．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a， P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是________． 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 7．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下骰子朝上的点数．若用x表示第一次抛掷出的点数，用y表示第二次抛掷出的点数，用(x，y)表示这个试验的一个样本点． (1)记A＝“两次点数之和大于9”，B＝“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率； 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若xy为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 返回导航 2026年广东省学考数学 8．某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满1 000元，可参与抽奖，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球．小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金20元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金10元；若抽到其余编号的小球，则不中奖．现某顾客依次有放回的抽奖两次．求： (1)该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率； 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)该顾客两次抽奖后获得奖金之和为20元的概率． 返回导航 2026年广东省学考数学 P(A)＝ eq \f(k,n) ＝ eq \f(n（A）,n（Ω）) eq \f(2,3) 解析：将甲、乙、丙3名同学记为a，b，c，从3名同学中选2名同学可能的情况有3种，即(a，b)，(a，c)，(b，c)，甲、乙两人恰有一人被选中的情况有(a，c)，(b，c)2种，故甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为 eq \f(2,3) . eq \f(5,6) 解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名， 所有可能的结果组成的12个样本点为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2). 因为“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)， 所以“A1和B1不全被选中”有10个样本点，概率为 eq \f(10,12) ＝ eq \f(5,6) . 考点三　概率基本性质的应用 袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，得到红球的概率是 eq \f(1,3) ，得到黑球或黄球的概率是 eq \f(5,12) ，得到黄球或绿球的概率也是 eq \f(5,12) . (1)分别求得到黑球、黄球、绿球的概率； 解：从12个球中任取一个，记事件A＝“得到红球”，事件B＝“得到黑球”，事件C＝“得到黄球”，事件D＝“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥， 由题意有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B∪C）＝\f(5,12)，,P（C∪D）＝\f(5,12)，,P（A∪B∪C∪D）＝1，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B）＋P（C）＝\f(5,12)，,P（C）＋P（D）＝\f(5,12)，,P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1，)) 解得P(A)＝ eq \f(1,3) ，P(B)＝ eq \f(1,4) ，P(C)＝ eq \f(1,6) ，P(D)＝ eq \f(1,4) ， 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为 eq \f(1,4) ， eq \f(1,6) ， eq \f(1,4) . 解：事件“得到红球或绿球”可表示为事件“A∪D”， 由(1)及互斥事件概率加法公式得， P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,4) ＝ eq \f(7,12) ， 故得到的不是“红球或绿球”的概率 P＝1－P(A∪D)＝1－ eq \f(7,12) ＝ eq \f(5,12) . 2．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为(　　) A． eq \f(1,5) 　　　　　　　　 B． eq \f(2,5) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3) 解析：从写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种情况， 其中抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4种情况，所以概率为 eq \f(4,10) ＝ eq \f(2,5) .故选B. 4．3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(2,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,4) 解析：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有23－2＝8－2＝6种情况， 所以所求概率为 eq \f(6,8) ＝ eq \f(3,4) .故选D. eq \f(2,3) 解析：因为试验发生包含的事件是掷一个骰子出现的点数，共有6种结果， 而满足条件的事件是出现偶数点或出现不小于4的点数，有2，4，5，6共有4种结果，所以出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是 eq \f(4,6) ＝ eq \f(2,3) . eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3))) 解析：由题意可知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P（A）<1，,0<P（B）<1，,P（A）＋P（B）≤1，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<a<2，,\f(5,4)<a<\f(3,2)，,a≤\f(4,3)，)) 所以 eq \f(5,4) <a≤ eq \f(4,3) . 解：依题意，先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有36个样本点，其中事件A＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即事件A包含6个样本点，所以事件A的概率为P(A)＝ eq \f(6,36) ＝ eq \f(1,6) .事件B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)}，即事件B包含11个样本点，所以事件B的概率为P(B)＝ eq \f(11,36) .　 解：不公平．理由如下：设事件C＝“xy为偶数”，事件D＝{(x，y)|x∈{1，3，5}，y∈{2，4，6}}，事件E＝{(x，y)|x∈{2，4，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}}，可得P(D)＝ eq \f(9,36) ，P(E)＝ eq \f(18,36) .因为事件D与事件E互斥，且C＝D∪E，所以P(C)＝P(D)＋P(E)＝ eq \f(9,36) ＋ eq \f(18,36) ＝ eq \f(27,36) ＝ eq \f(3,4) .因此甲获胜的概率为 eq \f(3,4) ，乙获胜的概率为1－ eq \f(3,4) ＝ eq \f(1,4) ，而 eq \f(3,4) > eq \f(1,4) ，故这种游戏规则不公平． 解：该顾客有放回的抽奖两次的所有的情况如下： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共有25种， 两次都没有中奖的情况有(1，1)，(1，5)，(5，1)，(5，5)，共4种， 所以两次都没有中奖的概率为P＝ eq \f(4,25) . 解：两次抽奖奖金之和为20元的情况有： ①第一次获奖20元，第二次没有获奖，其结果有(3，1)，(3，5)，故概率P1＝ eq \f(2,25) ， ②两次获奖10元，其结果有(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)，故概率P2＝ eq \f(4,25) ， ③第一次没有中奖，第二次获奖20元，其结果有(1，3)，(5，3)，故概率P3＝ eq \f(2,25) ， 所以所求概率P＝P1＋P2＋P3＝ eq \f(8,25) . $