第26讲空间直线、平面的垂直课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦空间垂直关系核心考点，依据高考评价体系梳理线线、线面、面面垂直的定义及判定性质定理，通过考点精析明确线面垂直证明占45%、面面垂直判定占30%的高频考向，归纳出证明题、位置关系判断题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题演练+方法建模”，如结合2025年广州模拟题例1，用逻辑推理素养拆解线面垂直证明的“线线垂直→线面垂直”转化思路，通过归纳总结提炼判定定理与性质定理的转化技巧。助力学生掌握答题逻辑，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第26讲　空间直线、平面的垂直 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．直线与直线垂直 (1)已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．记作a⊥b. (3)当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是______________． 0°≤α≤90° 返回导航 2026年广东省学考数学 2．直线与平面垂直 (1)直线与平面所成的角 ①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角． ②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为__________． 90°和0° 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 3.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)判定定理和性质定理 项目 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直   l⊂β，l⊥α⇒α⊥β 返回导航 2026年广东省学考数学 项目 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 两个平面互相垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直   β⊥α，α∩β＝a，l⊂β，l⊥a⇒l⊥α 返回导航 2026年广东省学考数学 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 考点一　直线与平面垂直的判定和性质 如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB.AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，CD＝2AB，E为PC中点．求证：   (1)PA⊥BC； 返回导航 2026年广东省学考数学 证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB. 所以PA⊥平面ABCD， 因为BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC. 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)BE⊥平面PDC. 返回导航 2026年广东省学考数学 所以四边形ABEF是平行四边形，所以BE∥AF， 因为AP＝AD，F为PD的中点， 所以AF⊥PD，所以BE⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD， 因为AB∥CD，∠DAB＝90°，所以AD⊥CD， 返回导航 2026年广东省学考数学 又AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD， 因为AF⊂平面PAD， 所以CD⊥AF， 因为BE∥AF，所以CD⊥BE， 又BE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PDC，所以BE⊥平面PDC. 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①利用判定定理；②利用垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④利用面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　平面与平面垂直的判定与性质 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．求证： (1)PE⊥BC； 证明：因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD， 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC. 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)平面PAB⊥平面PCD. 证明：因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD. 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)证明平面和平面垂直的方法：①利用面面垂直的定义；②利用面面垂直的判定定理． (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 1．(2024·广东学考模拟)若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β B．l∥α，α⊥β⇒l⊂β C．α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β D．l∥α，α⊥β⇒l⊥β √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：对A，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能相交也可能平行，故A选项不正确；对B，D，若l∥α，α⊥β，则可能有l∥β，故B，D选项不正确；对C，若α⊥γ，β∥γ，则必有α⊥β，故C选项正确．故选C. 返回导航 2026年广东省学考数学 2．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 解析：根据面面垂直的判定定理，可知若l⊂α，l⊥β，则α⊥β成立，满足充分性；反之，若α⊥β，l⊂α，则l与β的位置关系不确定，即不满足必要性．所以“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．故选A. 返回导航 2026年广东省学考数学 3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　)   A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直 C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：连接B1D1(图略). 因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥DD1， 又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D， DD1，BD⊂平面BDD1B1， 所以AC⊥平面BDD1B1， 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是(　　)   A．BC1 B．A1D C．AC D．BC √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：连接BD(图略).由平行关系可确定B1D1的垂线即为BD的垂线，由此可确定结果． 因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 因为B1D1∥BD，所以AC⊥B1D1. 故选C. 返回导航 2026年广东省学考数学 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设M为棱BC的中点，则下列说法正确的是(　　) A．A1M⊥BD B．A1M∥平面CC1D1D C．A1M⊥AB1 D．A1M⊥平面ABC1D1 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：若A1M⊥BD，由A1A⊥平面ABCD，AM为A1M在底面ABCD上的射影，由三垂线定理的逆定理可得BD⊥AM，但BD⊥AC，显然矛盾，故A错误； 若A1M∥平面CC1D1D，又A1M⊂平面A1D1CB，且平面CC1D1D∩平面A1D1CB＝D1C，所以D1C∥A1M，但D1C∥A1B，显然矛盾，故B错误；由A1B⊥AB1，A1B为A1M在平面A1B1BA上的射影，可得A1M⊥AB1，故C正确；若A1M⊥平面ABC1D1，则A1M⊥AB，又A1A⊥平面ABCD，AM为A1M在底面ABCD上的射影，可得AM⊥AB，显然不成立，故D错误．故选C. 返回导航 2026年广东省学考数学 6．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________． 4 解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，得BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形． 返回导航 2026年广东省学考数学 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E为棱PB的中点．证明： (1)AE⊥平面PBC； 返回导航 2026年广东省学考数学 证明：因为PA＝AB，且E为PB的中点，所以AE⊥PB.因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC， 在正方形ABCD中，AB⊥BC，又因为AB，PA⊂平面PAB，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，又因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE， 因为BC，PB⊂平面PBC，PB∩BC＝B，　 所以AE⊥平面PBC. 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)平面PAD⊥平面PCD. 证明：因为PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，所以PA⊥CD，AD⊥CD，又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，因为CD⊂平面PCD， 所以平面PAD⊥平面PCD. 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？请说明理由． 解：当P为AM的中点时， MC∥平面PBD. 理由如下：如图，连接AC，BD交于点O，连接PB，PD. 因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点． 连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP. 又因为MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD. 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)判定与性质 图形 条件 结论 a⊥b，b⊆α(b为α内的任意一条直线) a⊥α a⊥m，a⊥n，m，n⊆α，m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α b⊥α a⊥α，b⊂α a⊥b a⊥α，b⊥α a∥b 证明：取PD中点F，连接EF，AF， 在△PCD中，E，F分别为PC，PD的中点， 所以EF∥CD，EF＝ eq \f(1,2) CD， 又AB∥CD，AB＝ eq \f(1,2) CD， 所以AB綉EF， 因为OM⊂平面BDD1B1， 所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2， 则OM＝ eq \r(1＋2) ＝ eq \r(3) ，MN＝ eq \r(1＋1) ＝ eq \r(2) ，ON＝ eq \r(1＋4) ＝ eq \r(5) ， 所以OM2＋MN2＝ON2， 所以OM⊥MN. 故选A. 8．如图，矩形ABCD所在平面与半圆eq \o(CD,\s\up25(︵))所在平面垂直，M是eq \o(CD,\s\up25(︵))上异于C，D的点． (1)证明：DM⊥平面BMC； 证明：由题意知，平面CMD⊥平面ABCD， 平面CMD∩平面ABCD＝CD. 因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM. 因为M为eq \o(CD,\s\up25(︵))上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC. $