第28讲用样本估计总体课件-2026年广东省学考数学备考复习

该高中数学高考复习课件聚焦“用样本估计总体”专题，覆盖频率分布直方图绘制与应用、百分位数计算、总体集中趋势与离散程度估计等高考核心考点。对接高考评价体系，分析各考点考查权重，如频率分布直方图及平均数、方差计算占比高，归纳直方图应用、百分位数估计等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“知识系统梳理+高考真题训练+核心素养培养”，融入数学思维与数据观念。以2023广东高考真题为例，解析频率分布直方图中合格率计算的“面积求和法”，指导学生通过“排序—计算—定位”三步突破百分位数估计，帮助学生掌握得分技巧。教师可直接用于专题复习，提升备考效率，助力学生高考冲刺。

第28讲　用样本估计总体 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．频率分布直方图绘制步骤 (1)求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． (2)决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组． 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 2．其他统计图表知识要点 统计图表 主要应用 扇形图 直观描述各类数据占总数的比例 条形图和 直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图 描述数据随时间的变化趋势 返回导航 2026年广东省学考数学 3.百分位数 (1)定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)一组n个数据的第p百分位数计算步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，①若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； ②若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 返回导航 2026年广东省学考数学 4．总体集中趋势的估计 (1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． (2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：一组数据的算术平均数，即________________________． 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 考点一　频率分布直方图的绘制与应用 (1)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进 行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的 分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(　　)  A．6　　　　　B．8 C．12 D．18 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：   ①求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； ②统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分． 返回导航 2026年广东省学考数学 解：①设分数在[70，80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．   ②平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分). 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1. (2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据． 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　总体百分位数的估计 从某中学高一中女生中抽取了27名女生的身高的观测数据(单位：cm)： 163．0　164.0　161.0　157.0　162.0　165.0 158．0　155.0　164.0　162.5　154.0　154.0 164．0　149.0　159.0　161.0　170.0　171.0 155．0　148.0　172.0　162.5　158.0　155.5 157．0　163.0　172.0 估计该中学高一年级女生的第25，50，75百分位数． 返回导航 2026年广东省学考数学 解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得 148．0　149.0　154.0　154.0　155.0　155.0 155．5　157.0　157.0　158.0　158.0　159.0 161．0　161.0　162.0　162.5　162.5　163.0 163．0　164.0　164.0　164.0　165.0　170.0 171．0　172.0　172.0 返回导航 2026年广东省学考数学 由25%×27＝6.75，50%×27＝13.5，75%×27＝20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.据此可以估计该中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161，164. 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　总体百分位数估计需要注意的两个问题 (1)总体百分位估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键． (2)由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值． 返回导航 2026年广东省学考数学 考点三　总体集中趋势的估计 (1)为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高160 cm；从南方抽取了200个男孩，平均身高为150 cm.由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为(　　) A．157 cm B．156 cm C．155 cm D．154 cm √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势． 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 √ 解析：根据平均数、中位数、众数和方差的定义，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，不论是7个有效评分，还是9个原始评分，中间位置的评分不变，所以不变的数字特征为中位数．故选C. 返回导航 2026年广东省学考数学 2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　　) A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 3．甲、乙两人进行射击比赛，每人射击5次，射击成绩如下表：     根据上述数据，下列判断正确的是(　　) A．甲、乙的平均成绩相同，甲的成绩更稳定 B．甲、乙的平均成绩相同，乙的成绩更稳定 C．甲、乙的平均成绩不同，甲的成绩更稳定 D．甲、乙的平均成绩不同，乙的成绩更稳定 √ 甲命中的环数 8 8 9 8 7 乙命中的环数 7 9 10 8 6 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 4．某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数是(　　)     A.8.5 B．9 C．9.5 D．10 √ 件数 7 8 9 10 11 人数 3 6 5 4 2 解析：抽取的工人总数为20，20×60%＝12，那么第60百分位数是所有数据从小到大排序的第12项与第13项数据的平均数，第12项与第13项数据分别为9，9，所以第60百分位数是9.故选B. 返回导航 2026年广东省学考数学 5．下列说法正确的是(　　) A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4 B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方根 C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半 D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频数 √ 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 6．从某企业的某种产品中抽取1 000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在[185，215]内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为________． 0.79 返回导航 2026年广东省学考数学 解析：因为这项指标值在[185，215]内，则这项指标合格， 由频率分布直方图得到这项指标值在[185，215]内的频率为(0.022＋0.033＋0.024)×10＝0.79， 所以估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为0.79. 返回导航 2026年广东省学考数学 7．已知样本9，10，11，m，n的平均数是9，方差是2，则mn＋m＋n＝____________． 71 返回导航 2026年广东省学考数学 返回导航 2026年广东省学考数学 8．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如图所示频率分布直方图．   (1)估计总体400名学生中分数小于70的人数； 返回导航 2026年广东省学考数学 解：根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4. 所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160. 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考． 解：设分数的15%分位数为x，分数小于50的频率为1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2， 所以x∈[50，60)， 则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15， 解得x＝55，则本次考试的及格分数线为55分． 返回导航 2026年广东省学考数学 (4)列频率分布表：计算各小组的频率，第i组的频率是 eq \f(第i组频数,样本容量) . (5)画频率分布直方图：其中横轴表示分组，纵轴表示 eq \f(频率,组距) . eq \f(频率,组距) 实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程 度．_____________________________________ 小长方形的面积＝组距× eq \f(频率,组距) ＝频率． eq \o(x,\s\up16(－)) ＝ eq \f(1,n) (x1＋x2＋…＋xn) 5．总体离散程度的估计 (1)平均距离、方差、标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用 eq \o(x,\s\up16(－)) 表示这组数据的平均数．我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即|xi－ eq \o(x,\s\up16(－)) |(i＝1，2，…，n)作为xi到 eq \o(x,\s\up16(－)) 的“距离”． 可以得到这组数据x1，x2，…，xn到 eq \o(x,\s\up16(－)) 的“平均距离”为 eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n,|) xi－ eq \o(x,\s\up16(－)) |(i＝1，2，…，n)， eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n, ) (xi－ eq \o(x,\s\up16(－)) )2叫做这组数据的方差， \o(x,\s\up16(－)) eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )（xi－）2) 叫做这组数据的标准差． (2)总体的方差、标准差 总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为 eq \o(Y,\s\up16(－)) ，则称S2＝ eq \f(1,N) eq \i\su(i＝1,N, ) (Yi－ eq \o(Y,\s\up16(－)) )2为总体方差，S＝ eq \r(S2) 为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝ eq \f(1,N) eq \i\su(i＝1,k,f) i·(Yi－ eq \o(Y,\s\up16(－)) )2.如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 eq \o(y,\s\up16(－)) ，则称s2＝ eq \f(1,n) eq \i\su(i＝1,n, ) (yi－ eq \o(y,\s\up16(－)) )2为样本方差，s＝ eq \r(s2) 为样本标准差． 解析：志愿者的总人数为 eq \f(20,（0.16＋0.24）×1) ＝50，　 所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12. 解析：根据题意， 估计我国13岁男孩的平均身高大约为 eq \f(160×300＋150×200,300＋200) ＝156(cm)， 故选B. (2)为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为me，众数为mo，平均数为 eq \o(x,\s\up16(－)) ，则me，mo， eq \o(x,\s\up16(－)) 的大小关系是________．(从小到大排序) mo<me< eq \o(x,\s\up16(－)) 解析：由题图可知，30名学生的得分为 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 因为中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，所以me＝ eq \f(5＋6,2) ＝5.5，且5出现次数最多，故mo＝5， 平均数 eq \o(x,\s\up16(－)) ＝ eq \f(1,30) ×(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)＝ eq \f(179,30) ≈5.97，因为5<5.5<5.97，所以mo<me< eq \o(x,\s\up16(－)) . 解析：由题意可知，该小组数学成绩的平均数 eq \f(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75,10) ＝87，成绩按从小到大排列为75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，可得众数为85，中位数 eq \f(85＋85,2) ＝85，因此选C. 解析：甲的平均成绩 eq \o(x,\s\up16(－)) 甲＝ eq \f(8＋8＋9＋8＋7,5) ＝8，乙的平均成绩 eq \o(x,\s\up16(－)) 乙＝ eq \f(7＋9＋10＋8＋6,5) ＝8，甲的成绩方差为S eq \o\al(2,甲) ＝ eq \f(1,5) ×[(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝ eq \f(2,5) ，乙的成绩方差为S eq \o\al(2,乙) ＝ eq \f(1,5) ×[(7－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(6－8)2]＝ eq \f(10,5) ＝2，可知 eq \o(x,\s\up16(－)) 甲＝ eq \o(x,\s\up16(－)) 乙，S eq \o\al(2,甲) <S eq \o\al(2,乙) ，所以甲的平均成绩和乙的平均成绩相同都为8，甲的成绩更稳定． 解析：数据5，4，4，3，5，2的众数是4和5，A不正确； 一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，B不正确； 数据2，3，4，5的平均数为3.5，标准差s1＝ eq \r(\f(1,4)（2×1.52＋2×0.52）) ＝ eq \f(\r(5),2) ， 数据4，6，8，10的平均数为7，标准差s2＝ eq \r(\f(1,4)（2×32＋2×12）) ＝ eq \r(5) ，有s1＝ eq \f(1,2) s2，C正确； 频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频率，D不正确． 故选C. 解析：因为9，10，11，m，n的平均数是9， 所以(9＋10＋11＋m＋n)＝9×5， 即m＋n＝15；① 又因为方差是2， 所以 eq \f(1,5) [(9－9)2＋(10－9)2＋(11－9)2＋(m－9)2＋(n－9)2]＝2， 即(m－9)2＋(n－9)2＝5；② 由①②联立， 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝7，,n＝8，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝8，,n＝7，)) 所以mn＋m＋n＝71. 解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 所以分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400× eq \f(5,100) ＝20. $