1.2.3 充分条件、必要条件（第一课时）教案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该教案聚焦充分条件、必要条件核心概念，以报刊中“充分”“必要”的生活实例导入，衔接上节课命题知识，通过“如果p，那么q”的命题分析p推出q关系，结合集合包含关系构建从具体到抽象的学习支架。 亮点在于生活情境与数学抽象融合，导入体现用数学眼光观察现实世界，通过命题推理、集合关系分析培养数学思维，结合判定定理性质定理强化数学语言表达，启发式互动教学提升逻辑推理和数学抽象素养，助力学生理解概念，便于教师教学实施。

课题 1.2.3 充分条件、必要条件（第一课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第一册 章节 第一章第二部分第三小节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.理解充分条件的意义，以及判定定理与充分条件的关系. 【重点】【难点】 2.理解必要条件的意义，以及性质定理与必要条件的关系. 【重点】【难点】 核心素养 1.逻辑推理：经历充分条件、必要条件概念的形成过程，体验有具体到一般的思维方法； 2.数学抽象：理解充分条件、必要条件与判定定理、性质定理及其数学概念之间的关系; 3.数学建模: 通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯. 教学方法和手段 。 1.教学方法 启发式教学：通过提出问题或设置情境，引导学生自主思考并探索充分条件、必要条件的含义。这种方法可以激发学生的学习兴趣和主动性，培养他们的思维能力。 2.教学手段 (1)多媒体教学：利用PPT、动画和视频等多媒体资源，展示充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系。 (2)互动教学：鼓励学生提问、讨论和分享自己的见解。教师可以设置一些小组的活动，让学生在互动中学会判断p是q的什么条件。 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置 意图 情景 导入 创设问题情境：“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？ （1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2014年1月23日）； （2）“做到了明确目标、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2014年8月4日）； （3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2015年6月22日）； （4）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日》2015年1月28日）。 过渡：本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件。 通过节选报刊中出现的关键词入手，引导学生积极发表见解，引出本节课题。 知识 精讲 知识点一：充分条件、必要条件 知识点二： 充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系 教师提问：上节课我们学习了关于命题的内容，那么请同学们说说下列语句是命题吗？它们有什么特点？ (1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)如果x>2，那么x>3; (4)如果a>b且c>0，那么ac>bc. 预设答案：以上四个都是命题，且均为“如果p，那么q”的形式。 教师讲解：在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. 若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q,记作p ⇒ q，读作“p推出q”. 若“如果p，那么q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作：p⇏q，此时我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 教师提问：你能将命题(2)(4)用符号表示出来吗？ 学生回答： (2)在直角三角形中，一个角等于30°⇒这个角所对的直角边等于斜边的一半. (4)a>b且c>0⇒ac>bc. 教师总结： 当p⇒q时，称p是q的充分条件，q是p的必要条件； 当p⇏q时，称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 因此，我们可以将其表述为 “如果p,那么q”是真命题 p⇒q p是q的充分条件 q是p的必要条件 这四句表述表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已. 例如：“如果x＝－y，则＝”是真命题，则： x＝－y⇒＝ x＝－y是＝的充分条件 ＝是x＝－y的必要条件 教师引导：也可以用集合的知识理解充分条件与必要条件。 设A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＞－1}，则不难看出，A是B的子集，即A⊆B（如图所示） “如果x≥0，那么x＞－1”是真命题，那么如何用上述形式的表达进行描述？ 学生回答： x≥0⇒x＞－1， x≥0是x＞－1的充分条件， x＞－1是x≥0的必要条件． 教师总结： 一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A⊆B．（如图所示）， 那么p(x)⇒q(x)， 因此也就有p(x)是q(x)的充分条件， q(x)是p(x)的必要条件． B＝{x|q(x)} A＝{x|p(x)} 教师讲解：充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关，那么具体相关在哪里呢？ 例如：“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理．这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数．不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件． 而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理．这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等．不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件． 【例题】下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以说出涉及的充分条件或必要条件： （1）形如y＝a（a是非零常数）的函数是二次函数； （2）菱形的对角线互相垂直． 【答案】（1）∵形如y=a(a是非零常数)的函数⇒这个函数是二次函数， ∴“形如y=a(a是非零常数)的函数 ”是“这个函数是二次函数”的充分条件. ∴此命题可以看成一个判定定理. （2）∵一个四边形是菱形⇒这个四边形的对角线互相垂直， ∴“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件. ∴此命题可以看成菱形的一个性质定理. 引导学生培养转化思想，并明确充分条件、必要条件的含义。鼓励学生多练习，并通过错例，引导学生发现并关注运算问题，养成严谨的学习习惯，提升逻辑推理、数学运算的数学学科素养。 让学生用新学习的数学概念等去理解已经掌握的知识，同时加深对新知识的认识;这也能让学生体会到逻辑在数学知识中的重要地位，引导学生用逻辑的观点观察和分析数学对象。 课堂 检测 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 掌握充分条件、必要条件的含义，理解其数学意义和应用价值。学会运用判定定理、性质定理，能够判断p是q的什么条件，提高解题能力。 课堂 小结 回顾本节知识，总结概括. 概括学习要点，检查学习效果，引导思考和问题解决。 板书设计： 1.2.3 充分条件、必要条件（第一课时） 情景导入 知识精讲 1.充分条件、必要条件的概念 2. 3.充分条件、必要条件的判定定理、性质定理 课堂小结 课堂检测 教学设计反思 高中数学中，充分条件和必要条件是非常重要的概念，通常在逻辑推理和数学证明中经常会涉及到。在数学中，如果我们要证明一个命题成立，有时候我们需要找到一些条件，这些条件称为充分条件和必要条件。 充分条件：如果一个条件是某个结论发生的充分条件，那么这个条件的成立可以保证结论一定成立，但这个条件的成立并不一定是结论发生的必要条件。 必要条件：如果一个条件是某个结论发生的必要条件，那么这个条件的不成立可以保证结论一定不成立，但这个条件的成立并不一定能保证结论一定成立。 在集合论中，充分条件和必要条件的概念也有类似的应用。对于集合之间的关系，我们可以根据集合的包含关系、交集、并集等性质来讨论充分条件和必要条件。 判定定理、性质定理在教学中的反思： 教学方法：在教学中，可以通过实际案例或者问题引导学生理解充分条件和必要条件的概念。通过举例和让学生自己动手证明，可以帮助他们更好地理解这些概念。 强调逻辑思维：判定定理、性质定理的教学可以帮助学生培养逻辑思维能力和数学推理能力。让学生从已知条件中推导结论，培养他们的逻辑推理能力。 联系实际问题：可以通过将判定定理、性质定理与实际问题结合，让学生看到数学在解决实际问题中的应用，从而增加学生对数学的兴趣。 激发学生思考：在教学中可以提出一些开放性问题，让学生自己思考并给出自己的见解，从而培养他们的独立思考能力和解决问题的能力。 总的来说，判定定理、性质定理的教学不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，帮助他们建立扎实的数学基础。 学科网（北京）股份有限公司 $