精品解析：河南省焦作市城乡一体化示范区宁郭镇张庄初级中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

河南省2025-2026学年第一学期学业评估试卷 八年级数学（北师大版） 1~2章 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 给出一组数，，，，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，掌握无理数的定义，、开方开不尽的数属于无理数等是解题的关键． 根据无理数的定义即可判断． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数． 故选：B． 2. 下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 4，5，6 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，2，3 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数定义分析即可.凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数. 【详解】A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项错误； B、0.3，0.4，0.5，不是整数，故此选项错误； C、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不正确； D、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项正确. 故选D 【点睛】本题考核知识点：勾股数.解题关键点：理解勾股数定义. 3. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数大小的比较．根据正数大于0，负数小于0，两个正数比较大小绝对值大的较大，两个负数比较大小绝对值大的反而小．据此比较四个选项所给的数的大小，即可得出结果． 【详解】， ， ． 而，所以， 最小的是． 故选：A． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 16的算术平方根是 B. 16的平方根是4 C. 64的立方根是8 D. 的立方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根．解题关键是掌握相关定义，并且要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根，立方根，算术平方根的定义即可进行解答． 【详解】解：A. 16的算术平方根是4，所以A的说法是错误的，不符合题意； B. 16的平方根是，所以B的说法是错误的，不符合题意； C. 64的立方根是4，所以C的说法是错误的，不符合题意； D. 的立方根是，所以D的说法是正确的，符合题意． 故选：D． 5. 如图，货车卸货时支架侧面是，其中，已知，，则的长为（ ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可进行解答． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理可得：， 则， 故选：C． 6. 估计的值在（ ） A 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查估计无理数的大小，只要找到被开方数在那两个相邻的平方数之间即可． 通过把被开方数23放在两个相邻的平方数之间，然后同时开平方，即可判断二次根式的范围． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴估计的值在4和5之间． 故选：A． 7. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，若的长为，求的长．设的长为，则以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列方程解应用题，勾股定理，找到等量关系是解决问题的关键．在和 中分别表示，列方程即可． 【详解】解：由题意：在，， 在 中，， ∴可列方程． 故选：B． 8. 下列各式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质以及乘除运算，根据二次根式的性质以及乘除法运算法则逐项计算，进而可得答案． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，抓住鱼竿的长度不变是解题的关键． 在和中，分别用勾股定理求出和，即可求出渔线水平方向移动的距离的值． 【详解】解：在中， ，， ． 根据题意可得， ， 在中， ， ． 鱼线水平方向移动的距离是， 故选：B． 10. 如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是100cm2，则原正方形的边长为（　　） A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可知小猫头部（图中涂色部分）的面积是正方形制作的“七巧板”面积的，依此可求原正方形的面积，再根据算术平方根可求原正方形的边长． 【详解】解：100÷＝400（cm2），＝20（cm）． ∴原正方形的边长为20cm． 故选：C． 【点睛】此题主要考查算术平方根的应用，解题的关键是找到面积的关系. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 求值：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案：． 【点睛】本题考查了立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解题的关键． 12. 比较大小：___________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式分别平方，谁平方的结果大，则谁大，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是________．（忽略塑料管粗细） 【答案】17 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 连接、，首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接、，如图： 在中，， 在中，， ∴， 能完全装进盒子中的塑料管的最大长度为， 故答案为：17． 14. 有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 15. 如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理，结合正方形的面积公式可得，，，，则，进而可求解． 【详解】解：如图，设A、B、C、D、E、F、P、Q为对应正方形的面积，则， 由勾股定理，得，，， ∴， 则第3个图形中所有正方形面积的和是， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）求式子中的值：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，再根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可； （2）利用平方根的概念解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， ， ． 17. 如图的方格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1个单位长度，小亮想在方格中作一个面积为10个平方单位的正方形，且所作正方形的顶点都在格点上． （1）小亮想做的正方形的边长是________个单位长度，请在下图中画出该正方形； （2）在下图数轴上表示实数．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1），见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了根据勾股定理和网格构造无理数，解题的关键是掌握用勾股定理和网格构造无理数的方法和步骤． （1）根据正方形面积得出正方形的边长，再根据勾股定理和网格，构造出边长即可； （2）以原点为圆心、为半径作弧交数轴负方向于点E，点E即为所求． 【小问1详解】 解：根据网格特点，正方形的边长为； ∵， ∴所求的正方形如图所示（画法不唯一）； 【小问2详解】 解：点即为所求． 18. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，注意计算的准确性即可； （1）利用平方差公式即可求解； （2）将原式变形为，即可求解； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ∴原式． 19. 目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 【答案】巡逻车能拦截住违规车辆 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． 设直线与线段交于点．则，利用勾股定理列方程求得，，进而求得违规车辆和巡逻车到达E处的时间，比较大小可得结论． 【详解】解：设直线与线段交于点． 由题意知，，所以违规车辆进入保护区的最短距离是线段的长． 和中，，， 所以，解得（千米）， 因为违规车辆的速度是72千米/小时， 所以（小时）， 千米，（小时） ，所以巡逻车能拦截住违规车辆．（此题解法不唯一，由勾股数5，12，13得出是直角三角形，再利用面积求解亦可） 20. 汴京宋室风筝作为河南省非物质文化遗产，象形类品种丰富．数学兴趣小组在放宋室风筝时想知道风筝放飞的高度，于是做了探究活动，并写了如下活动报告． 活动课题 探究风筝离地面的高度 活动工具 直角三角板、皮尺等 测量数据 兴趣小组在放风筝时测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为8米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米（米）． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）根据测量所得数据，如何计算出风筝离地面的高度？ （2）如果想要风筝沿方向下降9米，则应回收多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）16.5米；（2）7米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用． （1）根据勾股定理求出，进而求出； （2）先根据勾股定理求出下降后风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【详解】解：（1）在中，，米，米， 由勾股定理，得， 米， 所以（米）， 即风筝离地面的高度为16.5米； （2）如图，当风筝沿方向下降9米，（米）， 在中，，米， 由勾股定理，得， 则（米），（米）， 应该回收风筝线7米． 21. 年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜和香菜部分的面积差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； 【小问2详解】 解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 22. 如图，数轴的正半轴上有A，B两点，表示1和的对应点分别为A，B，点C，D在数轴上，点B到点A的距离与点C到点D的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）当D所表示的数为0且C在D的右边时，求出x的值； （2）当D所表示的数为时，求出x的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据D所表示的数为0且C在D的右边即可得到x的值； （2），，分两种情况：①C在D的左边；②C在D的右边，分别列式列式求解即可． 小问1详解】 解：点A，B分别表示1，， ， D所表示的数为0且C在D的右边，设点C所表示的数为x． ； 【小问2详解】 ，， 当D所表示的数为时， ①当C在D的左边，， ②当C在D的右边时，， 或． 【点睛】此题考查了实数与数轴、数轴上两点间的距离、二次根式加减法的应用，分类讨论是解题的关键． 23. 综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． （1）观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； （2）类比探究 善于思考小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； （3）拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3）76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．利用三角形的面积公式来进行表示即可； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【小问1详解】 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：，也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证； 故答案为：；；； 【小问2详解】 证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则， 又， ， 【小问3详解】 如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025-2026学年第一学期学业评估试卷 八年级数学（北师大版） 1~2章 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 给出一组数，，，，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 4，5，6 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，2，3 D. 5，12，13 3. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 4. 下列说法中正确是（ ） A. 16的算术平方根是 B. 16的平方根是4 C. 64的立方根是8 D. 的立方根是 5. 如图，货车卸货时支架侧面是，其中，已知，，则的长为（ ）    A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，若的长为，求的长．设的长为，则以下所列方程正确的是（ ） A B. C. D. 8. 下列各式错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用正方形制作的“七巧板”拼成了一只小猫，若小猫头部（图中涂色部分）的面积是100cm2，则原正方形的边长为（　　） A. 10cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 求值：______． 12. 比较大小：___________（填“”，“”或“”）． 13. 如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是________．（忽略塑料管粗细） 14. 有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是___________． 15. 如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）求式子中的值：． 17. 如图的方格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1个单位长度，小亮想在方格中作一个面积为10个平方单位的正方形，且所作正方形的顶点都在格点上． （1）小亮想做的正方形的边长是________个单位长度，请在下图中画出该正方形； （2）在下图数轴上表示实数．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 20. 汴京宋室风筝作为河南省非物质文化遗产，象形类品种丰富．数学兴趣小组在放宋室风筝时想知道风筝放飞的高度，于是做了探究活动，并写了如下活动报告． 活动课题 探究风筝离地面的高度 活动工具 直角三角板、皮尺等 测量数据 兴趣小组在放风筝时测量了相关数据，并画出了如图所示示意图，测得水平距离的长为8米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米（米）． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）根据测量所得数据，如何计算出风筝离地面的高度？ （2）如果想要风筝沿方向下降9米，则应回收多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 21. 年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜和香菜部分的面积差． 22. 如图，数轴的正半轴上有A，B两点，表示1和的对应点分别为A，B，点C，D在数轴上，点B到点A的距离与点C到点D的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）当D所表示的数为0且C在D的右边时，求出x的值； （2）当D所表示的数为时，求出x的值． 23 综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． （1）观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； （2）类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； （3）拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $