精品解析：辽宁省铁岭市开原市2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

辽宁省铁岭市开原市2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是 A. B. C. D. 4. 已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ） A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 6. 如图，数轴上点A对应的数是1，点C对应的数是3，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 7. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、8，则正方形D的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6 10. 如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 比较大小：6_____7．（填“＞”，“＝”，“＜”号） 12. 若，三边长分别是，，，则是______三角形． 13. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是___________． 14. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 15. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，是一个半圆形桥洞横截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，为中点，，且于点，交半圆于点，已测得． （1）求半径； （2）根据需要，水面要以每小时的速度下降则经过多长时间才能将水排干？ 19. 观察如图1所示图形，每个小正方形的边长为1． （1）则图中阴影部分的面积是_____________，边长是_____________，并在数轴上（图2）准确地作出表示阴影正方形边长的点. （2）已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的算术平方根． 20. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________； （2）如图，在中，已知，，． ①的面积为____________________； ②作于点D，求的长． 21. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 22. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． （3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省铁岭市开原市2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义选择即可. 【详解】、是最简二次根式，故本选项正确； 、不是最简二次根式，故本选项错误； 、不是最简二次根式，故本选项错误； 、不是最简二次根式，故本选项错误. 故选. 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式，二次根式的乘除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 3. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 已知，那么下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据小数点的运动规律，被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位． 【详解】解：被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位， ∴A、B错误； ，D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根以及小数点的移动规律，理解被开方数的小数点每向左或右移动两位，算术平方根的小数点就相应的向左或右移动一位是关键． 5. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ） A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 6. 如图，数轴上点A对应的数是1，点C对应的数是3，BC⊥AC，垂足为C，且BC=1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长，则AD=AB，就可以求出点D表示的数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴点D表示的数是． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，用数轴表示实数，解题的关键是掌握用数轴上的点表示实数． 7. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，无理数，根据流程图依次计算即可． 【详解】解：输入的时，取算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是无理数，输出； 故选：D． 8. 九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据宽为尺，则高为尺，对角线为尺，由勾股定理即可列式求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：宽为尺，则高为尺，门的对角线长尺， ∴由勾股定理可得，， 故选：A ． 9. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、8，则正方形D的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形D的面积为，首先根据长方形E的长是宽的2倍，得出长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍，长方形E的宽的平方为，然后结合图形，利用勾股定理得到关于x的一元一次方程，解这个方程求出x的值，即可求解． 【详解】解：设正方形D的面积为， ∵长方形E的长是宽的2倍， ∴长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍， ∵正方形A、B、C、D的面积依次为5、23、8、x， ∴根据图形得：， 解得：， ∴正方形D的面积为1， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法． 10. 如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点作于，点、在上，且，利用三角函数的定义求出，利用勾股定理求出、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，点、在上，且， 由题意可知：，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响， ∴， 同理可得：， ∴， ∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，， ∴点处受噪音影响的时间为． 故选：B． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 比较大小：6_____7．（填“＞”，“＝”，“＜”号） 【答案】 【解析】 【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：6，7， ∵180＞147， ∴67， 故答案为：＞． 【点睛】此题考查二次根式的乘法运算：两个二次根式相乘等于把被开方数相乘，根指数不变；熟记运算法则是解题关键． 12. 若，三边长分别是，，，则是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，利用较短两边的平方和等于较长边的平方即可得到三角形是直角三角形． 【详解】∵ ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 13. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， 则这个正数是， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题关键． 14. 如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．如图，过A作于D，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于D， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴绳长为； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设的垂直平分线交于点，交直线于点，根据题意分两种情况点在矩形内部时，点在矩形外部（下方）时，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：设的垂直平分线交于点，交直线于点，  ∵ 四边形是矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴，， 由折叠的性质可知：，， 设，则， 分两种情况讨论： 情况一：当点在矩形内部时， 在中，， ， 在中， 由勾股定理得：即 ， 解得， ∴； 情况二：当点在矩形外部（下方）时， 在中，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法将原式变形，进而合并同类项，进而把已知代入求出答案． 【详解】解：原式 ， 把代入，得， 原式 ． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，多项式乘单项式以及二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键． 18. 如图，是一个半圆形桥洞横截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，为中点，，且于点，交半圆于点，已测得． （1）求半径； （2）根据需要，水面要以每小时的速度下降则经过多长时间才能将水排干？ 【答案】（1） （2）10小时 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设半圆的半径是，在直角三角形中利用勾股定理解题即可； （2）根据的长度和下降速度即可计算时间． 【小问1详解】 解：设半圆的半径是 为中点，, ， 在中，， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：，， ， 水面要以每小时的速度下降， 需要的时间为：（小时）， 经过10小时才能将水排干． 19. 观察如图1所示图形，每个小正方形的边长为1． （1）则图中阴影部分的面积是_____________，边长是_____________，并在数轴上（图2）准确地作出表示阴影正方形边长的点. （2）已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的算术平方根． 【答案】（1），， 在数轴上表示如图所示，下图为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小以及平方根、算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据勾股定理求出阴影部分的边长的平方即可，进而求出边长； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：设阴影部分正方形的边长为，由网格构造直角三角形可得， ， ∴， ∴阴影部分的面积为，边长是， 【小问2详解】 解：， 的整数部分为3， 的小数部分为， 即， 又， 的整数部分是3， 即， 当时， ， 的算术平方根为． 20. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________； （2）如图，在中，已知，，． ①的面积为____________________； ②作于点D，求的长． 【答案】（1） （2）①84；②9 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义的理解，勾股定理， （1）根据秦九韶公式代入计算即可； （2）①根据海伦公式计算即可； ②根据面积相等求出，然后根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：由秦九韶公式，得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据海伦公式，得， ∴； 故答案为：84． ②根据题意，得， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得． 21. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 22. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． （3）【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 【答案】（1）①，；② （2）20 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理得应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由勾股定理计算即可得解；②连接，由①得：，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （2）设，，，，则，由勾股定理可得，，从而得出，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，则，，，，从而得出，利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号），再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得：， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图1， 则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为，即的最小值为； 【小问2详解】 解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为20，即的最小值为20． 【小问3详解】 解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，作图如下： 则，，，， ， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ， 的最小值为， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $