精品解析：广东省深圳市深圳实验承翰学校2025-2026学年八年级上学期9月学科素养评价数学试卷

2024-2025学年第一学期9月学科素养评价 八年级 数学学科 （试卷满分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列的各数中，无理数是（    ） A. 3.141526 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（     ） A. 0的平方根与算术平方根都是0 B. 的算术平方根是 C. 的平方根是 D. 的平方根是 3. 直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 25 D. 4. 下列各组数中，哪一组是勾股数（ ） A. 1，2，4 B. 1，3，5 C. 3，4，7 D. 5，12，13 5. 点关于轴对称的点坐标是（ ）． A. B. C. D. 6. 使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ） A. B. C. D. 无法计算 8. 如图， 在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（ ）处． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 若与互为相反数，则______． 10. 比较大小：_____3． 11. 一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树_______米才是安全的． 12. 如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为________． 13. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的十位数字等于百位和个位数字的差的绝对值，则称N是“差等中项数”，例如：三位数413，∵，∴413是“差等中项数”．把一个差等中项数N的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把N的百位数字的3倍，十位数字的2倍和个位数字之和记为．例如：，．已知三位数A是“差等中项数”，是整数，则满足条件的所有A的个数是 _____． 三、解答题（共61分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） 15. 已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）的面积为_________；（不写过程，填空） （3）在y轴上找一点P，使的长最短（不写作法，保留作图痕迹） 16. （1）秋千在平衡位置时，下端A距地面，当秋千荡到的位置时，下端距平衡时的水平距离为，距地面，求秋千的长度．    （2）如图，已知一块四边形的草地，其中，，，，，求这块草地的面积． 17. 如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． （1）求证：； （2）求的长． 18. 【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“否”）真等腰直角四边形； （2）【性质应用】：如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ； （3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； （4）【拓展提高】：如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线 是这个四边形的等腰直角线．若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期9月学科素养评价 八年级 数学学科 （试卷满分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列的各数中，无理数是（    ） A. 3.141526 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式． 由于无限不循环小数为无理数，所以根据无理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、3.141526是有限小数，不是无理数，故不符合题意； B、开不尽，是无理数，故符合题意； C、不是无理数，故不符合题意； D、是分数，不是无理数，故不符合题意． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（     ） A. 0的平方根与算术平方根都是0 B. 的算术平方根是 C. 的平方根是 D. 的平方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义及运算，根据平方根的定义逐项验证即可得到答案，熟记平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，符合题意； B、由平方根定义，被开方数非负，故的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； C、，则的平方根是，故的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、由平方根定义，被开方数非负，故的平方根是，说法错误，不符合题意； 故选：A． 3. 直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若，，则b的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的简单计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，列出式了，求解即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∵，， ∴， 故选：B． 4. 下列各组数中，哪一组是勾股数（ ） A. 1，2，4 B. 1，3，5 C. 3，4，7 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股数的定义“可以构成一个直角三角形三边的一组正整数”即可求解． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D ． 5. 点关于轴对称的点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点坐标是， 故选： ． 6. 使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得到，即可得到答案. 【详解】解：在中，，若， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为：， 故选：B 8. 如图， 在平面直角坐标系中，，，，，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2022秒瓢虫在（ ）处． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律探索，由题意得出，，即长方形的周长为，再结合，判断即可得出答案，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长， ∵， ∴第2022秒瓢虫在的中点处， ∴第2022秒瓢虫在处， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 若与互为相反数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用非负数的性质确定a、b的值即可解决问题． 【详解】解：若与互为相反数， ， ，， ，， ， 故答案为3． 【点睛】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质． 10. 比较大小：_____3． 【答案】＜ 【解析】 【分析】因为两个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大． 【详解】解：∵＝5，32＝9，5＜9， 又∵＞0，3＞0， ∴＜3． 故答案为：＜ 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用平方法将两个数都转化为有理数是解决此题的关键． 11. 一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树_______米才是安全的． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：如图， 即为大树折断处减去小孩的高， 则，， 在中，． 故小孩至少离开大树4米之外才是安全的， 故答案为：4． 12. 如图，所有涂色四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面积分别为，，，则正方形的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解题关键．设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为，根据勾股定理可得，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设正方形，，，的边长分别为，中间正方形的边长为， 根据题意，可得， ∵所有三角形都是直角三角形， ∴， ∴， 即正方形的面积为18． 故答案为：18． 13. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N的十位数字等于百位和个位数字的差的绝对值，则称N是“差等中项数”，例如：三位数413，∵，∴413是“差等中项数”．把一个差等中项数N的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把N的百位数字的3倍，十位数字的2倍和个位数字之和记为．例如：，．已知三位数A是“差等中项数”，是整数，则满足条件的所有A的个数是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】由是“差等中项数”，设，，，， 则，可知，，则，可知是整数，可得，则，再令，，进行讨论求解即可 【详解】解：∵是“差等中项数”，设，，，， 则， ∴，， 则， ∵是整数， ∴是整数， 又∵， ∴，则， 当时，，则，可得（舍去）或，则； 当时，，则，可得（舍去）或，则； 当时，，则，可得或，则或； 满足条件的所有有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了算术平方根，二元一次方程的应用，新定义运算，理解新定义，求得是解题的关键． 三、解答题（共61分） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）6 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、完全平方公式、平方差公式以及零指数幂运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先根据绝对值、二次根式的性质、负整数指数幂以及零指数幂运算法则进行计算，然后相加减即可． （2）首先根据二次根式的性质和运算法则进行计算，然后相加减即可； （3）首先根据二次根式的性质和运算法则进行计算，然后相加减即可； （4）首先根据完全平方公式、平方差公式以及二次根式的性质进行计算，然后相加减即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 15. 已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）的面积为_________；（不写过程，填空） （3）在y轴上找一点P，使的长最短（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）如图，即为所求； （2） （3） 如图，点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称： （1）根据轴对称的性质，作图即可； （2）分割法求出三角形的面积即可； （3）将军饮马模型确定点的位置即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为 【小问3详解】 略 16. （1）秋千在平衡位置时，下端A距地面，当秋千荡到的位置时，下端距平衡时的水平距离为，距地面，求秋千的长度．    （2）如图，已知一块四边形的草地，其中，，，，，求这块草地的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）设，则根据勾股定理计算即可； （2）连接，由的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；可以得到四边形由和构成，则容易求解． 【详解】解：（1）设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 答：秋千的长度为． （2）连接AC， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴这块草地的面积为． 17. 如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是长方形， ，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点， ，， 在和中， ， ， ，； （2）2.4． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，； （2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 即， ， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 18. 【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【概念理解】：如图①，若，，，则四边形 （填“是”或“否”）真等腰直角四边形； （2）【性质应用】：如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时， ； （3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； （4）【拓展提高】：如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线 是这个四边形的等腰直角线．若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，求的长． 【答案】（1）是 （2）或 （3） 由题意知：和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，从而是等腰直角三角形，又因为是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知是等腰三角形，当时，由勾股定理渴求得；当时，由勾股定理渴求得； （3）利用证明，得； （4）当时，作交直线于点H，证明四边形是凹四边形，不合题意舍去；当时，构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题． 【小问1详解】 ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线， ∴是等腰三角形， 当时， 由勾股定理得：， 当时，由勾股定理得：， 综上：或； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由题意知：是等腰直角三角形， 当时，如图，作交直线于点H， ，， ， ，即点H在线段上， ， ， 四边形是凹四边形，不合题意舍去； 当时，如图，同理可得，， 由（3）同理得， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ，由勾股定理得 ， ， 综上：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $