精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

2025-2026学年度（上）初三学年9月份综合素养展示 数学学科 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每种书体都有着鲜明的艺术特征．下面文字属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合． 故选A． 【点睛】根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可． 3. 如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 4. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分腰长为和两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，此时周长为； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，此时，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 6. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. 在中，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 的三个外角的度数之比是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理，三角形外角和定理．判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后统计符合条件的个数． 【详解】解：A、不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； B、最大的内角为，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、若，此时，又，则，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、三个外角的度数分别为，则三个内角的度数分别为，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 【答案】D 【解析】 【分析】先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再求出AB即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º， ∴∠B=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理）， ∴AC=（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， 又∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=90º， ∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理）， ∴AD=（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， ∴AC=6， 又∴AC=， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 8. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的判定条件（确定唯一三角形的依据），解题的关键是掌握“、、、、可确定唯一三角形，而$SSA$（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形”这一核心规则． 先明确每个选项给出的条件类型（角与边的位置关系）；再根据三角形判定定理判断：若条件为、、、或直角三角形的，则能画出唯一三角形；若为，则不能；最后筛选出符合“不能画出唯一三角形”的选项． 【详解】解：根据三角形判定定理、、、、可确定唯一三角形，不能）分析各选项： A、已知，，，其中是与的夹边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； B、已知，，，其中是的对边，是的邻边，符合条件，无法确定唯一，此选项符合题意； C、已知，，，其中是与的夹角，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； D、已知，，，其中是斜边，是直角边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意． 故选：B． 9. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 10. 如图，等腰中，，，于点D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识点． 对每个结论利用相关的性质定理进行证明逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴为等腰的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴M为的中点，即M为的斜边的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴，， 而，故③错误； 综上所述，结论①②④正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知点与点关于x轴对称，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于x轴，y轴对称的点的坐标特点． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵已知点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，与关于直线对称，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ，， ， 故答案为：． 13. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 14. 如图，已知，且点分别与点对应，，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质及线段的和差，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． 先根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和即可得出，然后将对应线段的长度代入计算即可得出答案． 【详解】 ， ，， 故答案为：6． 15. 如图，是等边中边上的点，，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据是等边三角形，可得：，，根据可证，根据全等三角形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中，， ， ，， 是等边三角形， ． 故答案为：． 16. 如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 17. 如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其证明方法是解题的关键． 根据题意可证 ，可得 ，再根据 ，由此即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 故答案为：2． 18. 如图，中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，两点，作直线交于点P；分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线交于点Q．连接，，若，则______°． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和三角形内角和定理．先根据垂直平分线的性质得到线段相等，再根据等腰三角形的性质得到角相等，最后结合三角形内角和定理求解的度数即可． 【详解】解：由作法得垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：36． 19. 已知，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为直线BC上一点，BP=AB，则∠APB的度数为___________ . 【答案】15°或75° 【解析】 【分析】由P为直线BC上一点，BP=AB，有两种情况：①若P在CB延长线上时，利用等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再利用外角性质即可求出∠APB；②如P在BC上时，两次利用等腰三角形的性质即可求出∠APB. 【详解】如图所示，由P为直线BC上一点，BP=AB，有两种情况： ①若P在CB延长线上，即P1的位置时， ∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC） =30° 又∵AB=BP1 ∴∠BP1A=∠BAP1 ∵∠ABC是△BP1A的外角 ∴∠ABC=∠BP1A＋∠BAP1 ∴∠AP1B=15° ②如P在BC上，即P2的位置时， ∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC） =30° 又∵AB=BP2 ∴∠BP2A=∠BAP2=（180°－∠ABC） =75° 综上所述：∠APB=15°或75° 故答案为15°或75°. 【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质：等边对等角和三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和.利用BP=AB进行分类讨论是此题需注意的地方. 20. 已知：如图，在中，点D在边上，连接，，以B为圆心，长为半径画弧，交于点E，且满足，若，则______． 【答案】39 【解析】 【分析】先根据题意作出对应的辅助线，延长至点G，过点B作交延长线于点G，过点A作交于点F，根据，设，利用角的等量关系得出，从而证明，得到，再设，在含的直角三角形中得出的距离为，最后利用三角形面积公式列出方程解出x的值，随即求得的值． 【详解】解：如图，延长至点G，过点B作交延长线于点G，过点A作交于点F， ∵以B为圆心，长为半径画弧，交于点E， ∴， 又∵，， ∴， 设，则， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设,则， 在中，由可知：， 则， ∵， ∴， 整理得：，解得：，（负值舍去）， ∴． 故答案为：39． 【点睛】本题考查了解含的直角三角形，全等三角形的判定与性质及利用三角形面积公式求底和高． 三、解答题（21-25题，每题8分：26-27题，每题10分．共60分） 21. （1）如图1，点C在的边上．利用直尺和圆规过点C作射线的平行线．（保留作图痕迹） （2）如图2，在中，，在边上求作一点P，使点P到边和边的距离相等．（保留作图痕迹） 【答案】 （1）如图所示即为所求： （2）如图所示点P即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图的知识点． （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点；再以C为圆心，同样长为半径画弧，交于一点；以该点为圆心，以交、于两点的距离的长为半径画弧，两弧相交于一点；过点C和该点作射线，则射线即为所求； （2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的长为半径画弧，两弧在内部相交于一点；连接点B与该点，并延长该射线交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：（1）略 （2）略 22. 如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△是一个格点三角形．在每张图中画出一个与△成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影． 【答案】 如图： 【解析】 【分析】根据网格结构分别确定不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可. 【详解】略 【点睛】本题考查了利用轴对称图形的定义设计图案，熟知概念是解题的关键. 23. 如图所示，已知点C是的中点，，且．求证：． 【答案】 证明：点C是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，即可得出结论． 【详解】略 24. 如图，垂足为D，且，．若，求的度数．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．根据三线合一得出，证，推出即可． 【详解】解：，，， ， 在和中， ， ∴， ∴． 25. 如图，在和中，，，且，且在同一直线上，连接． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】 （1）证明：∵，，且 ∴， 即 在和中 ∴（SAS） ∴ （2）70° 【解析】 【分析】（1）证明（SAS），即可得到． （2）由等腰三角形的性质得出，=，利用全等三角形的性质得，，得出即可得解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 由（1）得 ∴ ∵， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是寻找全等三角形解决问题． 26. 问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．求证：； 探究延伸：如图2，在四边形中，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 拓展应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角．试求此时甲舰艇E和乙舰艇F之间的距离． 【答案】问题背景： 证明：如图，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，, 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 探究延伸： 解：上述结论仍然成立，理由： 如图，延长到点H，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴． 拓展应用：210海里 【解析】 【分析】问题背景：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论：； 探究延伸：延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论：； 拓展应用：连接，延长交的延长线于点G，根据题意可转化为在四边形中，，，，的两边分别交，于点E，F，求的长，再根据，即可得到两舰艇之间的距离． 【详解】解：问题背景：略 探究延伸：略 拓展应用： 如图，连接，延长交的延长线于点G， ∵舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处， ∴， ∵指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为， ∴， ∴， 由题意得，在四边形中，，，，， 根据探究延伸的结论可得：， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 即此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． 27. 已知，中，，． （1）如图1，______． （2）如图2，点D在边上，连接并延长至点H，连接、，在上取点N、的延长线上取点M，连接，交于点G，若，，求证； （3）在（2）的条件下，如图3，连接，分别交、于E、F，连接，若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，过点H作交延长线于T， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）36 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，据此求解即可； （2）过点H作交延长线于T，则；导角证明，得到，再证明，即可证明； （3）过点C作于R，过点H作，交延长线于S，证明，得到，证明，得到；延长到P，使得，连接，设，则，可求出，证明，得到，则，据此根据线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作于R，过点H作，交延长线于S， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，延长到P，使得，连接， 设，则， 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）初三学年9月份综合素养展示 数学学科 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每种书体都有着鲜明的艺术特征．下面文字属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 6. 下列条件不能确定是直角三角形的是（ ） A. 在中，都是锐角 B. 的三个内角的度数之比是 C. 在中， D. 的三个外角的度数之比是 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（ ） A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 8. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰中，，，于点D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，的延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知点与点关于x轴对称，则______． 12. 如图，与关于直线对称，，，则的度数为______． 13. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 14. 如图，已知，且点分别与点对应，，，则___________． 15. 如图，是等边中边上的点，，，若，则的长为______． 16. 如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 17. 如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则______． 18. 如图，中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，两点，作直线交于点P；分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线交于点Q．连接，，若，则______°． 19. 已知，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为直线BC上一点，BP=AB，则∠APB的度数为___________ . 20. 已知：如图，在中，点D在边上，连接，，以B为圆心，长为半径画弧，交于点E，且满足，若，则______． 三、解答题（21-25题，每题8分：26-27题，每题10分．共60分） 21. （1）如图1，点C在的边上．利用直尺和圆规过点C作射线的平行线．（保留作图痕迹） （2）如图2，在中，，在边上求作一点P，使点P到边和边的距离相等．（保留作图痕迹） 22. 如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△是一个格点三角形．在每张图中画出一个与△成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影． 23. 如图所示，已知点C是的中点，，且．求证：． 24. 如图，垂足为D，且，．若，求的度数．     25. 如图，在和中，，，且，且在同一直线上，连接． （1）求证：． （2）若，求的度数． 26. 问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．求证：； 探究延伸：如图2，在四边形中，，，，绕B点旋转．它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 拓展应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角．试求此时甲舰艇E和乙舰艇F之间的距离． 27. 已知，中，，． （1）如图1，______． （2）如图2，点D在边上，连接并延长至点H，连接、，在上取点N、的延长线上取点M，连接，交于点G，若，，求证； （3）在（2）的条件下，如图3，连接，分别交、于E、F，连接，若，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $