精品解析：陕西省西安市西咸新区2025-2026学年九年级上学期质量监测数学试题

九年级教学质量监测 数学 ▶上册第一章～第二章第4节◀ 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 3. 如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 判定矩形为正方形，可添加的条件是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角相等 D. 对角线相等 5. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 6. 如图，的顶点与的中点均在数轴上，，且C，D两点在数轴上对应的数分别为，3，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，线段平移后得到线段，点A，的对应点分别为点，，若四边形是菱形，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A. 若方程的两个根是和，则 B. 若，则方程有一个根是 C. 若是方程的一个根，则一定有成立 D. 若，且方程有实数根，则 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，正方形的对角线相交于点，的度数是________． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 11. 如图，E，F是矩形的边上两点，连接，，且，若，，则的长为______． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 13. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题，其大意如下：有一个矩形门框，它的高比宽多6.8尺，对角线长10尺，问它的高与宽各是多少？设门框的高为x尺，则可列方程：___________ 14. 如图，在菱形中，，E是对角线上一点，G是线段的延长线上一点，且，连接．若，，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，在菱形中，，分别是，的中点，连接，若，求菱形的周长． 17. 佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ （1）上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） （2）写出正确的解答过程． 18. 将—个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置于正方形木框中，在对角线上，求的度数． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请用尺规作图法在△ABC外求作一点D，使得四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，根据小颖与某软件的对话，请你给出正确的答案． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 22. 已知一元二次方程的右边被墨水污染． （1）若方程的一个解为，求“”的值． （2）若“”表示3x，求x的值． 23. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，求的长． 24. 如图，四边形是正方形，点E在正方形的外部，是等边三角形，连接，，，与交于点F，再连接． （1）求的度数． （2）求证：垂直平分． 25. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是． 第2个方程：，方程的两个根分别是． 第3个方程：，方程的两个根分别是． 第4个方程：，方程的两个根分别是． …… （1）请按照此规律写出一元二次方程的两个根，分别是___________． （2）定义：如果关于的一元二次方程满足．那么我们称这样的方程为“归零方程” ①一元二次方程 （填“是”或“不是”）“归零方程”； ②试说明“归零方程”有实数根． （3）已知关于的方程是“归零方程”，且是这个“归零方程”的一个根，求的值． 26. 如图，在矩形中，，，为矩形的对角线，点M，N分别在，的边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为点，点C的对应点为点，连接，，． （1）如图1，若点A，在的同侧． ①求证：． ②当时，求四边形的面积． （2）如图2，当点，都落在矩形的对称轴上时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学质量监测 数学 ▶上册第一章～第二章第4节◀ 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，表示形式，掌握其定义及表示方法是关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程”及形式“”判定即可． 【详解】解：A、不是方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、不是整式，不符合题意； 故选：C ． 2. 已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k−6＝0成立，解得k＝-1． 故选B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题的关键是把方程的解代入进行求解. 3. 如图，四边形分别是菱形与正方形．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．由为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵为正方形与菱形的对角线， ∴． ∵， ∴． ∵菱形中，， ∴． ∴． 故选：B． 4. 判定矩形为正方形，可添加的条件是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角相等 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形加判定菱形的条件可判定正方形，菱形加判定矩形的条件可判定正方形，据此即可求解；掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：对角线互相垂直的矩形是正方形； 故选：B． 5. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式．先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含一次项，即含x的一次项的系数为0，可得关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将化为一般形式，得， ∵关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项， ∴， 解得：． 故选：C． 6. 如图，的顶点与的中点均在数轴上，，且C，D两点在数轴上对应的数分别为，3，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据数轴的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 【详解】解：∵两点在数轴上对应的数分别为，3， ∴， ∵在中，，点为的中点， ∴， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，线段平移后得到线段，点A，的对应点分别为点，，若四边形是菱形，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理、点的坐标，熟练掌握菱形和平移的性质是解题关键．先画出图形（见解析），先求出，，点在轴正半轴上，再利用勾股定理可得，则，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵，， ∴，，轴， 由平移的性质得：，， ∵四边形是菱形，且点在轴正半轴上， ∴点在轴正半轴上，， 又∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：C． 8. 对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A. 若方程的两个根是和，则 B. 若，则方程有一个根是 C. 若是方程的一个根，则一定有成立 D. 若，且方程有实数根，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的与系数的关系，解一元二次方程以及根的判别式． 根据根的与系数的关系可判断A，根据一元二次方程的解法可判断B，根据一元二次方程的根可判断C，根据根的判别式可判断D，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵方程的两个根是和， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，， ∴方程有一个根是，原选项说法正确，不符合题意； 、∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，原选项说法不一定正确，符合题意； 、∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，正方形的对角线相交于点，的度数是________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，熟悉掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形对角线相互垂直的特点求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 11. 如图，E，F是矩形的边上两点，连接，，且，若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，根据题意得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题，其大意如下：有一个矩形门框，它的高比宽多6.8尺，对角线长10尺，问它的高与宽各是多少？设门框的高为x尺，则可列方程：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【详解】解：依题意得：门框的高为x尺， ∵高比宽多6.8尺， ∴宽为尺， 门为矩形， 高的平方宽的平方对角线的平方， 即． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，E是对角线上一点，G是线段的延长线上一点，且，连接．若，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，先证出是等边三角形，则可得，再根据直角三角形的性质和勾股定理可得，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， 故答案为：7． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：， ， 或， 所以方程的解为． 16. 如图，在菱形中，，分别是，的中点，连接，若，求菱形的周长． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据菱形的性质求解即可得． 【详解】解：∵，分别是，的中点，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长为． 17. 佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ （1）上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 解：移项得：， 配方得：，即， 开平方，得． 解得，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法解，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； 【小问2详解】 略 18. 将—个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置于正方形木框中，在对角线上，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，三角形外角的性质，平角的定义等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键； 根据正方形的性质求出，根据三角形外角性质求出，最后根据平角定义求解即可． 【详解】解：∵直角三角尺有一个角是， ∴， ∵木框是正方形， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请用尺规作图法在△ABC外求作一点D，使得四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，点即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查作图复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图，根据小颖与某软件的对话，请你给出正确的答案． 【答案】这个数是1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 设这个数是，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 答：这个数是1． 21. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：x2-（2k+1）x+k2+k=0， a=1，b=-（2k+1），c= k2+k， ∵Δ=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0， ∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根． 【详解】略 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 22. 已知一元二次方程的右边被墨水污染． （1）若方程的一个解为，求“”的值． （2）若“”表示3x，求x的值． 【答案】（1）3 （2）. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解，解一元二次方程的方法． （1）把代入，求出即可； （2）根据题意，可得方程为，解出方程即可． 【小问1详解】 解：由条件可知， “”的值为3． 【小问2详解】 解：由题意知方程为， ． ， ， ， ． 23. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明四边形是菱形， ， ． ， ． ， ， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，根据得到，再根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得到，再由勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， 在中，， 四边形是矩形， ． 24. 如图，四边形是正方形，点E在正方形的外部，是等边三角形，连接，，，与交于点F，再连接． （1）求的度数． （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质即可得； （2）参考（1）的方法，先求出，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段垂直平分线的判定即可得证． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 25. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是． 第2个方程：，方程的两个根分别是． 第3个方程：，方程的两个根分别是． 第4个方程：，方程的两个根分别是． …… （1）请按照此规律写出一元二次方程的两个根，分别是___________． （2）定义：如果关于的一元二次方程满足．那么我们称这样的方程为“归零方程” ①一元二次方程 （填“是”或“不是”）“归零方程”； ②试说明“归零方程”有实数根． （3）已知关于的方程是“归零方程”，且是这个“归零方程”的一个根，求的值． 【答案】（1） （2）①是， ②解：， ， ， “归零方程”有实数根． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的规律，“归零方程”的定义，理解新定义以及解二次方程是解题的关键． （1）根据规律直接写出结果即可； （2）①观察即可； ②由“归零方程”的定义，可得，代入判别式并化简，证明其非负即可说明； （3）利用“归零方程”的定义和已知条件，联立关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 根据题意，得到方程的根为， 的根为， 故答案为：； 【小问2详解】 ①，一元二次方程是“归零方程”， 故答案为：是； ②略 【小问3详解】 是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 26. 如图，在矩形中，，，为矩形的对角线，点M，N分别在，的边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为点，点C的对应点为点，连接，，． （1）如图1，若点A，在的同侧． ①求证：． ②当时，求四边形的面积． （2）如图2，当点，都落在矩形的对称轴上时，求线段的长． 【答案】（1） ①证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，分别沿，折叠得到，， ∴，，，， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中 ， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质和三角形全等的判定SAS，证明，得到，再根据折叠的性质推出，最后利用三角形全等的判定SAS即可证得； ②先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证明四边形为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，证得平行四边形为菱形，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （2）由折叠和矩形的性质得到，，再利用勾股定理求得，同理可得，最后根据，代入数值即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示标记点 ①略 ②由①知，， ∴， ∵，分别沿，折叠得到，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 【小问2详解】 解：∵，分别沿，折叠得到，，且折叠后点，都落在矩形的对称轴上， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， 同理可得，， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了折叠的基本性质，矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质及其菱形的面积，三角形全等的判定和性质和勾股定理等，熟练掌握这些知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $