山东省淄博市张店第九中学（五四制）2025-2026学年上学期10月月考七年级数学试卷

【2025.10.11】初二上数学月考试卷-张店九中 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组线段，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，8cm 3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 4．下列四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 5．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（　　） A．10cm B．19cm或14cm C．11cm D．19cm 6．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 9．如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2 10．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　） A．3.5 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共5小题） 11．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为　 　 ． 13．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠MCD＝　 　 °． 14．如图，△ABC的周长为15cm，根据图中尺规作图的痕迹，直线DE分别与BC、AC交于D、E两点，若AE＝2cm，则△ABD的周长为 　 　 cm． 15．如图，△ABC是等边三角形，AP平分∠BAC，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S．下列四个结论：①S△ABC＝4S△APQ，②AS＝AR，③PQ∥AR，④△BRP≌△QSP，其中正确的是　 　（填序号） ． 三．解答题（共8小题） 16．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路ON、OQ的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 17．如图所示，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．请判断BC和DE的数量关系，并说明理由． 18．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝8m，BF＝2m，求FC的长度． 19．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数． 20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数； （2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长． 21．如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点D在BC上，连接 CE． （1）△ABD≌△ACE吗？请说明理由； （2）若DF⊥AC，点F在线段CE上，且CF＝2，FE＝3，求BC的长． 22．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，当直线EF穿过△ABC的内部且BF＞AE时，请探索线段EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【2025.10.11】初二上数学月考试卷-张店九中 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D D A C C C C 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2．下列各组线段，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，8cm 【解答】解：A、3+2＝5，故选项错误； B、5+6＞10，故正确； C、1+1＜3，故错误； D、4+3＜8，故错误． 故选：B． 3．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 4．下列四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：线段AD是△ABC的高的图是选项D． 故选：D． 5．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（　　） A．10cm B．19cm或14cm C．11cm D．19cm 【解答】解：当等腰三角形的腰长为8，底边长为3时cm， 因为8cm+3cm＞8cm，所以可构成三角形，其周长为8cm+8cm+3cm＝19cm； 当等腰三角形的腰长为3cm，底边长为8时， 因为3cm+3cm＜8cm，所以不能构成三角形． 故它的周长为19cm． 故选：D． 6．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【解答】解：由题意，得：OA＝OA′，∠AOB＝∠A′OB′，OB＝OB′， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴AB＝A′B′； ∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选：A． 7．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 【解答】解：根据折叠可得：AD＝BD， ∵△ADC的周长为17cm，AC＝5cm， ∴AD+DC＝17﹣5＝12（cm）， ∵AD＝BD， ∴BD+CD＝12cm． 即BC＝12cm， 故选：C． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△BAD中，∠B＝30°，AD＝4cm， ∴BD＝2AD＝8cm，∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴DC＝AD＝4cm， ∴BC＝BD+CD＝8+4＝12（cm）， 故选：C． 9．如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2 【解答】解：AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，如图，延长AP交BC于E， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC＝S△PEC， ∴． 故选：C． 10．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵BD⊥AC，AQ＝2，QD＝1.5， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5， 作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′， ∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5， ∴QD＝DQ′＝1.5， ∴CQ′＝BP＝2， ∴AP＝AQ′＝5， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝5， ∴PE+QE的最小值为5． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 　3265　 ． 【解答】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265． 故答案为：3265． 12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为　9　 ． 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN， ∴MN＝ME+EN， 即MN＝BM+CN． ∵BM+CN＝9 ∴MN＝9， 故答案为：9． 13．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠MCD＝　15　 °． 【解答】解：由三角形内角和定理可得： ∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA ＝180°﹣45°﹣75° ＝60°， ∵CM是∠ACB的平分线， ∴， ∴∠CMD＝180°﹣∠AMC ＝180°﹣（1800﹣∠CAB﹣∠ACM） ＝∠CAB+∠ACM ＝45°+30° ＝75°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠CDM＝90°， ∴∠MCD＝90°﹣75°＝15°， 故答案为：15． 14．如图，△ABC的周长为15cm，根据图中尺规作图的痕迹，直线DE分别与BC、AC交于D、E两点，若AE＝2cm，则△ABD的周长为 　11　 cm． 【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段AC， ∴DA＝DC，AE＝EC， ∵AB+BC+AC＝15，AC＝2AE＝4， ∴AB+BC＝11， ∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11． 故答案为：11． 15．如图，△ABC是等边三角形，AP平分∠BAC，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S．下列四个结论：①S△ABC＝4S△APQ，②AS＝AR，③PQ∥AR，④△BRP≌△QSP，其中正确的是　 　（填序号） ． 【解答】解：∵AP平分∠BAC，PR⊥AB，PS⊥AC， ∴PR＝PS， ∵∠PRA＝∠PSA＝90°，∠PAR＝∠PAS， ∴∠APR＝∠APS， ∴AR＝AS， 故②符合题意； ∵△ABC是等边三角形，AP平分∠BAC， ∴AP平分∠BAC，AP⊥BC，PB＝PC， ∴∠BAP＝∠CAP∠BAC＝30°， ∵AQ＝PQ， ∴∠APQ＝∠CAP＝30°， ∴∠APQ＝∠BAP， ∴PQ∥AR， 故③符合题意； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠B＝60°， ∵∠CPQ＝∠APC﹣∠APQ＝90°﹣30°＝60°， ∴∠PQC＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠PQS＝60°，PQ＝QC＝PC， ∴AQ＝QC， ∴S△ACP＝2S△APQ， ∵PB＝PC， ∴S△ABC＝2S△ACP， ∴S△ABC＝4S△APQ， 故①符合题意； ∵∠B＝∠C，∠PRB＝∠PSC＝90°，PB＝PC， ∴△PBR≌△PQS（AAS）， 故④符合题意． ∴正确的有4个． 故答案为：①②③④． 三．解答题（共8小题） 16．作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【解答】解：①以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OQ与MN于点C、D，再分别以C、D为圆心，大于CD 长为半径画弧，交于点J，连接OJ． 即OH为∠QON的角平分线． ②分别以A、B为圆心，大于 长为半径在线段AB两侧画弧，交于F、I两点，连接FI交OH于E． 即E点为发射塔所在位置． 同理，∠NOP的角平分线与AB垂直平分线的交点E′为发射塔所在位置． 17．如图所示，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．请判断BC和DE的数量关系，并说明理由． 【解答】解：BC＝DE， 理由：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠CAB＝∠EAD， 在△CAB和△EAD中， ， ∴△CAB≌△EAD（SAS）， ∴BC＝DE． 18．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC， ∵BE＝10m，BF＝3m， ∴FC＝10﹣3﹣3＝4m． 19．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数． 【解答】证明：（1）∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE． 在△EDC中， ∵EC＝ED，∠1＝40°， ∴∠C＝∠EDC＝70°， ∴∠BDE＝∠C＝70°． 20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E． （1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数； （2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∵DM是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠ABC＝30°， 同理，EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ACB＝40°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°； （2）连接OA，OB，OC， ∵△ADE的周长7cm ∴AD+DE+EA＝7（cm）， ∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）； ∵△OBC的周长为15， ∴OB+OC+BC＝15， ∵BC＝7， ∴OB+OC＝8， ∵OM垂直平分AB， ∴OA＝OB， 同理，OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC＝4（cm）． 21．如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点D在BC上，连接 CE． （1）△ABD≌△ACE吗？请说明理由； （2）若DF⊥AC，点F在线段CE上，且CF＝2，FE＝3，求BC的长． 【解答】（1）证明：△ABD≌△ACE， 理由：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠EAC， ∵在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠B＝∠ACE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠ACE， ∵在△CGD和△CGF中，， ∴△CGD≌△CGF，（ASA） ∴CF＝CD， ∴BC＝BD+CD＝CE+CF＝CF+EF+CF＝7． 22．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，当直线EF穿过△ABC的内部且BF＞AE时，请探索线段EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ECA+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥EF，BF⊥EF， ∴∠AEF＝∠BFC＝90°， ∴∠ECA+∠EAC＝90°， ∴∠FCB＝∠EAC， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∵EF＝EC+CF， ∴EF＝AE+BF； （2）解：EF＝BF﹣AE，理由如下： ∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， 又∵∠AEC＝∠CFB＝90°，AC＝BC， ∴△CAE≌△BCF（AAS）， ∴CE＝BF，AE＝CF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE， 即EF＝BF﹣AE； （3）解：由（2）得EF＝BF﹣AE且BF＝3AE， ∴CE＝3AE， ∵CF＝AE， ∴EF＝2AE， ∵EF＝4， ∴AE＝CF＝2， ∴BF＝6， ∴△BFC的面积CF•BF2×6＝6． 23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）在点M、N运动过程中，能否得到以A、B、C其中一个点为顶点，以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【解答】解：（1）（1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合， 由题意得，t+12＝2t， 解得：t＝12； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1， AM＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN，即t＝12﹣2t， 解得，t＝4， ∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形AMN； （3）由（2）得，点M、N运动4秒后，可得到等边三角形AMN，即△AMN是以MN为底边的等腰三角形， 当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底的等腰三角形， 当t＝8秒时，△BMN为以MN为底的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B＝60°， 在△ACM和△ABN中， ∴△ACM≌△ABN（AAS） ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y， 由题意得，y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16． 如图3，当BM＝BN＝2t时，过点B作BH⊥AC于H， ∵∠C＝60°，BC＝3， ∴CHBC＝6，BHBC＝6， 在Rt△MBH中，BM2＝BH2+MH2，即（2t）2＝（6）2+（6﹣t）2， 解得：t＝22（负值舍去）， 综上所述，以MN为底边的等腰三角形时，M、N运动的时间为4秒或8秒或16秒或22． 第2页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $