精品解析：广东省广州市培英中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

广州市培英中学心社2026届高三10月月考 数学试卷 组题人：周艾翠：审题人：赵玉香 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 将0，1，2，3，4这5个数组成不同的五位偶数的个数为（ ） A. 24 B. 54 C. 60 D. 72 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. D. 5. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 6. 已知函数．记，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 若角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A. 是钝角 B. 是第二象限角 C. D. 点在第四象限 10. 函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的函数满足．且，若，则下面说法正确的是（ ） A. 函数的图像关于对称 B. C. 函数在上单调递增 D. 若函数的最大值与最小值之和为2，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若函数是奇函数，则__________． 13. 函数的单调递减区间为_________. 14. 若，已知数列中，首项，，，则_____. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值. 16. 为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示： 组别 半月板的健康状况 合计 半月板正常 半月板损伤 长期长跑 40 360 400 非长期长跑 460 140 600 合计 500 500 1000 （1）根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关； （2）若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知． （1）求的通项公式； （2）令，为的前项之积，求证：． 18. 已知函数，. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：. 19. 已知函数在时取得极值，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市培英中学心社2026届高三10月月考 数学试卷 组题人：周艾翠：审题人：赵玉香 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有， 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数的运算直接可得解. 【详解】由， 得， 则， 即， 故选：A. 3. 将0，1，2，3，4这5个数组成不同的五位偶数的个数为（ ） A. 24 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】按个位数是0和不是0分类讨论． 【详解】解：当个位数字是0时，则有（个）， 当个位数字不是0时，则有（个） 故所以所求五位偶数的个数为 故选：C 【点睛】本题考查排列组合的应用，解题时要注意特殊位置与特殊元素优先考虑的原则，对本题五位数而言，有两个特殊位置，末位要是偶数字，首位不能为0，因此要优先考虑．是基础题. 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为. 故选：D 5. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立，故， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A 6. 已知函数．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 7. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件求，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】由题意可知：，因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 8. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 若角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A. 是钝角 B. 是第二象限角 C. D. 点在第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案. 【详解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，B正确， A错误； ，C正确； 由，，则点在第二象限，D错误. 故选：BC. 10. 函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象． 【详解】令，得， ，令，得， 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，，，递减， ，，递增，故D正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递增，时，，递减， 时，，递减，故B正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，时，，递增， 时，，递增，故C错误； 若，，，且时，恒成立， 时，，递增，，，递增， ，，递减，故A错误； 综上，A,C错误，B,D正确． 故选：BD． 11. 已知定义在R上的函数满足．且，若，则下面说法正确的是（ ） A. 函数的图像关于对称 B. C. 函数在上单调递增 D. 若函数的最大值与最小值之和为2，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件和得出函数得对称中心及对称轴，算出函数得周期,得，判断A；根据函数关于中心对称，判断B；根据已知条件，没有证据证明C成立，所以C错误；有函数关于中心对称，所以函数为奇函数判断D. 【详解】解析：因为，所以函数关于中心对称， 因为，所以函数关于轴对称， 所以函数为周期函数，其周期为， 故，所以A正确； 由于函数关于中心对称，所以关于对称， 所以，选项B正确； 由于没有明确的解析式，所以C错误； 因为函数关于中心对称，所以函数为奇函数， 函数的最大值与最小值之和为0，所以的最大值与最小值之和为， 所以函数的最大值与最小值之和为，，选项D正确； 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若函数是奇函数，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出的值，再求分段函数值即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 13. 函数的单调递减区间为_________. 【答案】（右端点可以闭） 【解析】 【分析】求出定义域，确定由，复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求出答案. 【详解】由题意知函数， 令，则， 则即由，复合而成， 由于在上单调递减， 故要求函数的单调递减区间， 即求，的单调递增区间， 而的对称轴为， 则，的单调递增区间为， 则函数的单调递增区间为. 故答案为：（右端点可以闭）. 14. 若，已知数列中，首项，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值. 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变形化简得，根据，令求解即可； （2）由，，所以当时取得最大值. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的最小正周期，对称轴方程为. 【小问2详解】 ，， 当，即时，，取得最大值， 所以在区间上的最大值为，此时. 16. 为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示： 组别 半月板的健康状况 合计 半月板正常 半月板损伤 长期长跑 40 360 400 非长期长跑 460 140 600 合计 500 500 1000 （1）根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关； （2）若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性 （2）的分布列为 1 2 【解析】 【分析】（1）由假设的定义及公式可得； （2）由分层抽样可求出正常与损伤的人数，再根据超几何分布求出概率，列表得到分布列及期望. 【小问1详解】 零假设为：“长期长跑”与“半月板损伤”之间无相关关系， 则， 故零假设不成立，即“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性. 【小问2详解】 由分层随机抽样知识知，半月板正常的有人，半月板损伤的有人， 则的可能取值为, 则， 所以的分布列为 1 2 故. 17. 已知． （1）求的通项公式； （2）令，为的前项之积，求证：． 【答案】（1）； （2） 令函数，求导得， 在上单调递增，，即， 取，则，于是， 由（1）知，, ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，且，由等差数列的定义写出通项公式即可； （2）利用导数证明，进而得到， 可得，累加即可证. 【小问1详解】 由，又由题意知，， 左右同时除以得， 所以，则， 故是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，可得； 【小问2详解】 略 18. 已知函数，. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：. 【答案】（1） 函数在上单调递减，在和上单调递增. （2）证明：由，，得， 因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根， 设为且，因为函数在时的图象关于轴对称， 所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以分别是函数的极大值点和极小值点， 即，， 又，即， 则， 又，则，， 设，， 则，即函数在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可. 【小问1详解】 当时，，， 则， 当或时，； 当时，， 所以函数在上单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 已知函数在时取得极值，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出方程，即可求得答案； （2）将原问题转化为恒成立，令，，利用导数求解函数最值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知的定义域为，， 由于函数在时取得极值，且满足， 故，且， 解得，则， 经验证函数在时取得极小值，适合题意 故； 【小问2详解】 由题意存在实数，使得成立， 即恒成立； 令，，则， 令，则在上恒成立， 故在单调递增， 又， 故存在唯一的使得，即， 则当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得，故整数的最小值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $