精品解析：陕西省西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三上学期第二次适应性训练数学试卷

2026届第二次适应性训练 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合中的不等式，再根据集合交运算即可求解. 【详解】， 即且， 即且， 得或， 则， 所以. 故选：. 2. 已知是纯虚数，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简复数，即可根据纯虚数的定义求解. 【详解】由题可得， 因为是纯虚数，所以且，所以， 故选：D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的性质及平方法，求解数量积. 【详解】， 故选：B 4. 下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（ ） A. 146.5 B. 164.8 C. 179.5 D. 197.8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，又因为点在经验回归直线上，得出即可计算求解. 【详解】由表中数据得，因为点在经验回归直线上， 所以，所以. 故选：B. 5. 设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆的切线方程为，由题意可得，利用基本不等式推出，即得，即可得答案. 【详解】设圆的切线方程为，即，且， 由题意知圆的圆心到直线的距离等于2， 故，即得，而， 当且仅当时等号成立，故， 即得，解得， 故，当时取等号， 即的最小值为4， 故选：A 6. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用条件，得到，再由，得，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 得到，所以，由，得到， 所以， 故选：C. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理，所以， 过A作，垂足为G，则，， 所以，所以，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：C 8. 已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据含绝对值的函数、基本初等函数的性质作出相关函数的图象再观察函数图象并利用数形结合思想得到参数的取值范围． 【详解】的图象是以为端点的两条射线． 当时，曲线与曲线恰有两个公共点，，如图1． 当时，曲线与曲线的公共点就是曲线与曲线的交点与，如图2． 当时，曲线与曲线只有一个公共点，如图3． 当时，曲线与曲线无公共点，如图4． 综上，的取值范围为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题8分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】借助于长方体模型可说明A,C错误；利用线面垂直的性质，面面平行的判定定理可判断B,D正确. 【详解】 对于A，如图，在长方体中，取直线分别为，平面为平面，显然满足，但是相交直线，故A错误； 对于B，根据线面垂直的性质，垂直于同一个平面的两直线互相平行，可知B正确； 对于C，如上图，取直线为直线，平面为平面，平面为平面，显然满足，但,故C错误； 对于D，根据面面平行的判定方法，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据图象，结合函数的单调性与其导函数正负的关系，先判断两个图象 中哪个是的图象，哪个是的图象，进而列出关于的方程组 求解，再结合特殊点求解参数，由此确定函数和的解析式， 再判断各个选项的正误即可． 【详解】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而． 又，所以，由得， 故，． 选项A：的最小正周期为，故，A正确． 选项B：令，解得， 故函数在上单调递减，B正确． 选项C：由于，， 故的图象不关于点中心对称，故C错误． 选项D：， 其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误． 故选：AB 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点在直线上且（为坐标原点），则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的最小值为6 C. D. 的面积的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用，可判断Q在以为直径的圆上，判断A；设方程为，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，结合焦半径公式可得的表达式，可判断B；结合数量积的坐标表示可求得，判断C；根据求出的面积的表达式，即可判断D. 【详解】对于A，设，由题意知， 因为，故Q在以为直径的圆上，为圆心， 故，A正确； 对于B，由于的斜率不为0，故设其方程为，， 联立，得，， 则， 故， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为6，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，当且仅当时，等号成立， 即的面积的范围为，D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列8，5，2，……的第10项为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知求首项与公差，进而可求得通项公式，可求第10项. 【详解】等差数列8，5，2，……的首项为8，公差为， 所以通项公式为，所以. 故答案为：. 13. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为 “阳爻”和 “阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】每一“爻组”为“阳爻”的概率为，次独立重复试验，“阳爻”恰出现次的概率为. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查独立重复试验概率计算公式，属于基础题. 14. 已知函数.若曲线与曲线有公切线，则实数m的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】∵，则， 设切点坐标，则切线斜率， 故切线方程为，整理得， 又∵，则， 设切点坐标，则切线斜率， 故切线方程为，整理得， 由题意可得，整理得， 构建，则， ∵，可得， 令，解得；令，解得； ∴在上单调递增，在上单调递减，则， 当x趋近于0时，趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大， 可得的值域为，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法定睛：公切线问题的解决方法： 利用导数的几何意义分别求切线方程，根据切线方程之间的关系构建方程(组)或函数求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件. （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关； （2）用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 【答案】（1）能 （2）的分布列为 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）完成联表，计算卡方与临界值比较即可判断相关性； （2）应用二项分布列出概率及分布列，再应用公式求解数学期望即可. 【小问1详解】 列联表如下： 优质品 非优质品 合计 甲生产线 450 150 600 乙生产线 400 200 600 合计 850 350 1200 零假设：产品是否优质与生产线无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否优质与生产线有关. 【小问2详解】 由已知得，甲生产线中产品的优质品率为， 所有可能取值为0，1，2，3，4，. 所以，则，， 故的分布列为 0 1 2 3 4 . 16. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，则周长可求. 【小问1详解】 由，以及正弦定理可得 即， 即， 又在中， 所以， 则在中； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 由余弦定理， 解得， 所以的周长. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图1，取的中点，连接、， 因为为的中点，所以，且， AI 又四边形为菱形，且为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接、交于点，过点在平面内作，垂足为点，利用线面角的定义可知直线与平面所成角为，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，连接、交于点. 因为四边形为菱形，所以，且为、的中点， 又因为，所以， 因为、平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角的平面角，则. 又，，，为的中点， 所以，则为等边三角形， 因为，故也为等边三角形，且， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 则， 设二面角平面角为，则. 因此，二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，当与轴垂直时，． （1）求椭圆的标准方程． （2）过分别作轴的垂线，垂足分别为，记直线与的交点为． （ⅰ）证明：点在定直线上，并求出定直线的方程； （ⅱ）若的面积为，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）依题意知直线与坐标轴不垂直，不妨设直线的方程为， 设，，， 由得， 则，， 故． 依题意，的坐标分别为，， 易知直线的斜率均存在，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立与可得 ， 故点在定直线上，且直线的方程为． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上，即可求解， （2）（ⅰ）设出直线的方程，与的方程联立，得到根与系数的关系，根据点斜式写出直线和直线的方程，联立直线和直线的方程，可得，即可求解，（ⅱ）根据三角形面积公式写出面积的表达式，结合韦达定理代入，即可求解. 【小问1详解】 依题意，，点在椭圆上， 得，又，可得，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）依题意，不妨令，在轴上方， 则（的面积减去的面积即所求） ． 令，得，得．（注意前提条件） 根据椭圆的对称性可得， 故若的面积为，则直线的斜率为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届第二次适应性训练 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是纯虚数，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（ ） A. 146.5 B. 164.8 C. 179.5 D. 197.8 5. 设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 6. 已知是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题8分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点在直线上且（为坐标原点），则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的最小值为6 C. D. 的面积的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列8，5，2，……的第10项为________． 13. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为 “阳爻”和 “阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是______. 14. 已知函数.若曲线与曲线有公切线，则实数m的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件. （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关； （2）用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 16. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点，当与轴垂直时，． （1）求椭圆的标准方程． （2）过分别作轴的垂线，垂足分别为，记直线与的交点为． （ⅰ）证明：点在定直线上，并求出定直线的方程； （ⅱ）若的面积为，求直线的斜率． 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $