广东省广州市番禺区象贤中学2025-2026学年高三上学期10月测试数学试卷

象贤中学高三数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的共轭复数为，且满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 6 D. 3. 已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. “，，，，成等差数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 正数分别为函数的零点，则（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为15 B. 各项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第4项 D. 有理项的系数和为16 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. C. 在区间上单调 D. 为奇函数 11. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在一次文艺演出中有3个舞蹈类，4个歌曲类共7个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有______种， 13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，与椭圆C的一个交点为，若，，则C的离心率为_____. 14. 已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中． （1）写出，，并求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 16. 如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点. （1）证明：； （2）若，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. （1）若，，求接收的信号为0的概率； （2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 18. 已知曲线. （1）证明：曲线关于轴对称； （2）求直线与曲线的交点个数，并求出所有交点的横坐标； （3）若直线与曲线有三个不同的交点，且，求的最小值. 19. 已知函数是函数的导函数，且． （1）求； （2）若在区间内单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，证明：． 象贤中学高三数学测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】144 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1），， （2） 解法一：． ， ， 两式相减可得： 所以． 因为，所以. 解法二：． 令，则． 所以 ． 因为，所以． 【16题答案】 【答案】（1） 连接，因为是线段的中点，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）当时，选用三次传输方案；当时，选用哪种传输方案都可以；当时，选用单次传输方案. 理由如下： 记三次传输，发送1，依次收到0，1，1为，依次收到1，0，1为， 依次收到1，1，0为，依次收到1，1，1为，且事件相互互斥. 对于三次传输，记发送1，译码为1为事件， 记单次传输发送1，译码为1为事件，则. 因为，所以. 当时，有，即，此时选用三次传输方案. 当时，有，即，选用哪种传输方案都可以. 当时，有，即，此时选用单次传输方案. 【18题答案】 【答案】（1） 设是曲线上任意一点，则有， 容易知道，即点关于轴的对称点也在曲线上. 所以曲线关于轴对称. （2）3；横坐标分别为 （3）5 【19题答案】 【答案】（1）； （2）； （3） 设， 又，则，所以在区间上单调递增． ，，即， ，使，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又， ，此时且， ∴， 又，，则， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $