精品解析： 河南省南阳市第二十一学校2025-2026学年九年级上学期第一次数学月考试卷

2025秋第一次阶段性测试九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 5. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. x（x﹣1）＝240 B. x（x﹣1）＝240 C. x（x＋1）＝240 D. x（x＋1）＝240 6. 已知，则简化的结果是（ ） A. -3 B. 3 C. 2 D. 3 7. 甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和，则原方程为（ ）. A. B. C. D. 8. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 9. 如图，若，则下列各式错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则___________． 12. 若，则x取值范围是________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______． 14. 已知为一等腰三角形的两边长，且满足等式，则此等腰三角形的周长是___________． 15. 如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为___________．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 按要求解下列方程： （1） （2）（公式法） 18. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得，即…第三步 由此，可得…第四步 所以，…第五步 任务一、填空： （1）“第二步”变形的数学依据是___________；（用文字语言填空） （2）小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是___________；（用数学符号语言填空） （3）小明同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 20. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 21. 从地面竖直上抛物体，已知物体离地面高度和抛出时间的关系是，是竖直上抛物体时的初速度，是重力加速度，取．设，试求： （1）抛出多少时间时物体离地面高度是？ （2）抛出多少时间以后物体回到原处？ （3）抛出多少时间时物体到达最大高度？最大高度是多少？ 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程是“倍根方程”，则c=________． （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________． （4）若是“倍根方程”，求代数式的值． 23. 启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． （1）方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽； （2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋第一次阶段性测试九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，首先根据二次根式有意义的条件，可得；然后根据一元一次不等式的解法，求出的取值范围是多少即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 即的取值范围是． 故选：B． 2. 下列二次根式，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，把五个二次根式化简，然后被开方数与化简的结果的被开方数相同时，则能与合并，反比不能与合并． 【详解】解：，，，，， ∴能与合并的是，，，不能与合并的是， 故选：B． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．中含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； D．不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是0， 把代入，得：， 解得：，， 又， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义和解一元二次方程，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 5. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. x（x﹣1）＝240 B. x（x﹣1）＝240 C. x（x＋1）＝240 D. x（x＋1）＝240 【答案】A 【解析】 【分析】根据参加比赛的球队数量、总共要比赛的场数列出方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键． 6. 已知，则简化的结果是（ ） A. -3 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简；由，再结合x的范围化简绝对值，最后进行合并计算即可. 【详解】解： ∵ ∴，， ∴. 故选：C. 7. 甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和，则原方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲得出q=2×7=14，根据乙得出p=﹣（1﹣10）=9，代入求出即可． 【详解】∵x2+px+q=0，甲看错了一次项，得两根2和7，∴q=2×7=14． ∵x2+px+q=0，乙看错了常数项，得两根1和﹣10，∴p=﹣（1﹣10）=9，∴原一元二次方程为：x2+9x+14=0． 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数关系的应用，解答此题的关键是能灵活运用性质进行推理和计算，题目比较好． 8. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 9. 如图，若，则下列各式错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 10. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据比例的性质得到，再代入分式的求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若，则x取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将等式左边利用二次根式的性质化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 由题意得 ∴ 解得． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ，且， 解得且， 故答案为：且． 14. 已知为一等腰三角形的两边长，且满足等式，则此等腰三角形的周长是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的值，然后代入求出b的值，再根据三角形的周长公式分情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，， ， 解得， ①当腰为2，底为4时不能构成三角形； ②当腰为4，底为2时，周长为． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 15. 如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为___________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割并能运用求解． 根据黄金分割的定义分别求得，，再利用进行计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴， ， ∴支撑点之间的距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式进行运算，运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先利用分配律计算； （2）先运用平方差公式，完全平方公式进行运算，同时计算除法，再作乘法，最后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 17. 按要求解下列方程： （1） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，利用公式法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用因式分解法求解； （2）先化为一般形式，再计算判别式，然后利用公式法求解． 【小问1详解】 解：移项，得， 方程左边分解因式，得， 或， 解得：，； 【小问2详解】 ， 去括号，得， 移项，得， ，，， ， 所以， 即，． 18. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…第一步 移项，得…第二步 配方，得，即…第三步 由此，可得…第四步 所以，…第五步 任务一、填空： （1）“第二步”变形的数学依据是___________；（用文字语言填空） （2）小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是___________；（用数学符号语言填空） （3）小明同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 【答案】（1）等式的性质1 （2） （3）四，没有正确运用平方根的意义；任务二：， 【解析】 【分析】（1）利用等式的基本性质作答即可； （2）利用完全平方公式作答即可； （3）利用平方根意义作答即可． 【小问1详解】 解：“第二步”变形的数学依据是等式的性质1， 故答案为：等式的性质1； 【小问2详解】 其中第三步配方时用到的数学公式是， 故答案为：； 【小问3详解】 小明同学的解题过程中，从第四步开始出现错误，错误的原因是没有正确运用平方根的意义， 故答案为：四，没有正确运用平方根的意义． 任务二、， 移项，得， 两边同时除以4，得， 两边同时加上，得， 即， 开平方，得， 即，． 【点睛】本题考查了等式的性质1，完全平方公式，平方根意义，配方法解一元二次方程等知识点，解题关键是熟练掌握各知识点． 19. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）； 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，再利用根与系数的关系，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入原方程得：， ∴， ∴原方程为， ， ∵， ∴方程的另一个根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 20. 在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为21万元 【解析】 【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； （2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得： 解得：， ∵尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 21. 从地面竖直上抛物体，已知物体离地面高度和抛出时间的关系是，是竖直上抛物体时的初速度，是重力加速度，取．设，试求： （1）抛出多少时间时物体离地面高度是？ （2）抛出多少时间以后物体回到原处？ （3）抛出多少时间时物体到达最大高度？最大高度是多少？ 【答案】（1）抛出或时物体离地面高度是 （2）抛出以后物体回到原处 （3）当时，物体到达最大高度，最大高度是 【解析】 【分析】本题考查了投球问题(实际问题与二次函数)，其他问题(一元二次方程的应用)，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意，将字母用相关的数代入，得到关于的方程求解即可； （2），得到关于的方程； （3）将解析式转化为顶点式求解． 【小问1详解】 解：，取．设， 则， 当时，， 解得：，， 即抛出或时物体离地面高度是． 【小问2详解】 在抛出的时候有，此时有， 由题意可得，, 解得：，， 即隔了后物体回到原处． 【小问3详解】 所以当时，物体到达最大高度，最大高度是． 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程是“倍根方程”，则c=________． （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________． （4）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）不是 （2）2 （3） （4）的值为0． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，将根代入方程积累二元一次方程组即可求解； （3）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （4）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：设方程的两个根分别为：， ∴， 解得：或（舍去） 故答案为：2； 【小问3详解】 解：设方程的两个根分别为：， 则由根与系数的关系可得：， 消去得：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 23. 启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． （1）方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽； （2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 【答案】（1）长方形卡片的长和宽分别为和或和 （2） 根据题意画图如下： 设长方形的长为，则宽为， 由题意，得， 整理得， 解得，． 经检验，，都符合题意． ∴长方形卡片的长和宽分别为和． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质等等： （1）先利用勾股定理和等边对等角得到，，再由矩形的性质得到，则可证明和是等腰直角三角形，得到，设长为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）先根据题意作图，设长方形的长为，则宽为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， 设长为，则长为， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∴，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和或和； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $