辽宁省沈阳市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学模拟试卷

2025-2026学年度辽宁省沈阳市九上期中考试数学模拟试卷 第1部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣3x+y＝0 B． C．2x2﹣5x＝0 D．x（x2﹣4x）＝3 2．如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连结BE，F为BE的中点，若DF＝2，则AE的长为（　　） A．5 B． C．4 D．3 3．平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，朝上的一面可能会出现：①都是正面；②一正一反；③都是反面．则两枚硬币出现一正一反结果的概率为（　　） A． B． C． D．1 5．下列四条线段a，b，c，d中，不是成比例线段的是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝8 B． C．a＝2，b＝4，c＝5，d＝15 D． 6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的点B，C，E在同一条直线上，点M为AF的中点，连接DM，CM，CF，若DM＝a，则下列线段的长一定能用a的代数式表示的是（　　） A．CF B．DG C．AF D．CM 7．新年将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（　　） A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980﹣1 8．将一个直角三角板和无刻度的直尺按如图所示放置，使三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．45° D．30° 9．若反比例函数的图象经过点（3，5），则这个函数图象一定经过点（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5） 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC中，已知A（4，0），∠OAB＝120°，对角线AC、BO交点为D．将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2023次后．点D的坐标是（　　） A． B． C． D． 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　 ． 12．若非0实数x，y满足，则值为 　 　 ． 13．以正方形ABCD中AD为斜边，构造等腰Rt△ADE，∠AED＝90°，AE＝DE，连接BE，，则线段BE的长度为 　 　 ． 14．某班学生分组做抛掷同一型号的一枚图钉的试验，大量重复试验的结果统计如下表： 累计试验次数 100 200 300 400 500 顶尖朝上次数 55 109 161 217 269 顶尖朝上频率 0.550 0.545 0.537 0.542 0.538 估计掷一枚这样的图钉落地后顶尖朝上的概率为 　 　 .（精确到0.01） 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，对角线BO、AC交于点D，点A（6，0），∠AOC＝60°，反比例函数的图象经过点D，则k的值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 17．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）． （1）先将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）若△ABC内有一点P（a，b），经过（1）的平移后的对应点记为P1，则点P1的坐标为　 　 ； （3）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2． 18．（8分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品，九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师采取的调查方式是 　 　 （填“普查”成“抽样调查”）．王老师所调查的4个班征集到作品共 　 　 件，其中B班征集到作品 　 　 件； （2）请把图2补充完整； （3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生、2名作者是女生，现在要在其中选两人去参加学校总结表彰座谈会．求恰好选中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程） 19．（8分）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 20．（8分）已知▱ABCD，E为CD延长线上一点，BE与AC交于点G，与AD交于F点，若BG＝3，FG＝2，求EF的长． 21．（8分）小明家所在社区原有一块长方形绿地，为美化社区环境对绿地进行改造． （1）若这块绿地的长比宽多2m，且将长和宽都增加2m后，绿地面积增加24m2，求绿地原来的长和宽； （2）若将这块绿地的长减少4m，宽增加4m后得到一个正方形绿地，它的面积是原来面积的2倍，求改造后的绿地面积． 22．（12分）在九年级上册第23章图形的相似时，学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】小明想了两种证明定理的方法： （1）延长DE至点F，使EF＝DE，连结CF． （2）过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F． 请从小明的两种证明方法中选择一种证明三角形中位线定理． 【定理应用】如图②，在△ABC中，延长BC到D，使CD＝BC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E，求的值． 【能力提升】如图③，在△ABC中，点D在AC上，且AB＝CD．点E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长交BA的延长线于点G，连结DG．若AB＝7，AC＝17，，则△ADG的面积为 　 　 ． 23．（13分）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若∠PQR＝∠PRQ，则直线PQ与直线PR称为“等腰三角线”；反之，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，则∠PQR＝∠PRQ． （1）如图1，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（2，5）、（﹣3，0），求直线PR的解析式； （2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n（0＜n＜m），直线BC、AC分别与x轴于点D、E； ①求证：直线AC与直线BC为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F；连接EF，当∠EFD＝∠DCA时，求出线段DE+EF的值（用含n的代数式表示）． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C C B C A D A 二．填空题（共5小题） 11．a． 12．． 13．或． 14．0.54． 15．． 三．解答题（共8小题） 16．解：（1）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝7， （x﹣2）2＝7， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+2x）＝0， x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0， 所以x1＝3，x2＝1． 17．解：（1）△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到△A1B1C1，如图1即为所求； （2）∵将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到△A1B1C1， ∴△ABC内有一点P（a，b），经过（1）的平移后的对应点P1的坐标为（a+2，b+5）， 故答案为：（a+2，b+5）； （3）如图2，△A2B2C2即为所求． 18．解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查， 所调查的4个班征集到作品数为：512（件）， B班征集到作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2＝3（件）， 故答案为：抽样调查，12，3； （2）把图2补充完整如下： （3）列表如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有12种， ∴恰好选中一男一女的概率为． 19．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人， ∵去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感， ∴， 解得：x＝7，x＝﹣9（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）第三轮感染的人数＝128×7＝896（人）， ∴第三轮感染后，患流感的总人数为：896+128＝1024（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 20．解：∵▱ABCD， ∴AF∥BC，AB∥CE，AD＝BC， ∵AF∥BC， ∴△AFG∽△CBG， ∴， ∵AD＝BC， ∴，即：， ∵AB∥CE， ∴△AFB∽△DFE， ∴， ∴，即， 解得：EF＝2.5． 21．解：（1）设绿地原来的长为x m，则绿地原来的宽为（x﹣2）m， 根据题意得：（x+2）（x﹣2+2）﹣x（x﹣2）＝24， 整理得：4x＝24， 解得：x＝6， ∴x﹣2＝6﹣2＝4（m）． 答：绿地原来的长为6m，宽为4m； （2）设改造后的绿地的边长为y m，则绿地原来的长为（y+4）m，宽为（y﹣4）m， 根据题意得：y2＝2（y+4）（y﹣4）， 整理得：y2＝32． 答：改造后的绿地的面积为32m2． 22．解：【定理证明】当选择方法（1）时，如图， 延长DE至点F，使EF＝DE，连结CF， ∵点E为AC中点， ∴AE＝CE， ∵∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴CF＝AD，∠F＝∠ADE， ∴CF∥AD，即CF∥BD， ∵点D为AB中点， ∴AD＝BD， ∴CF＝BD， ∴四边形BDFC为平行四边形， ∴DE∥BC，DF＝BC， ∵DE＝EF， ∴DEDFBC， ∴DE∥BC，DEBC； 当选择方法（2）时，如图， 过点C作AB的平行线交DE的延长线于点F， ∴∠F＝∠ADE， ∵点E为AC中点， ∴AE＝CE， ∵∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF（AAS）， ∴DE＝EF，CF＝AD， ∵点D为AB中点， ∴AD＝BD， ∴CF＝BD， ∴四边形BDFC为平行四边形， ∴DE∥BC，DF＝BC， ∴DEDFBC， ∴DE∥BC，DEBC； 【定理应用】如图， 取DF中点，连接CG， ∵点C为BD中点， ∴CG为△BDF的中位线， ∴CGBF，CG∥AB， ∵点F为AB中点， ∴AF＝BF，CGAF，即AF：CG＝2：1， ∴2， ∴； 【能力提升】如图， 连接BD，取BD中点M，连接ME，MF，作AN⊥GF于N， ∵点F为AD中点， ∴MF为△ABD中位线， ∴MF∥AB，MFAB， ∵点E为AD中点， ∴ME为△CBD中位线， ∴ME∥AC，MECD， ∵AB＝CD， ∴ME＝MF， ∴∠MEF＝∠MFE， ∵ME∥AC， ∴∠MEF＝∠EFC＝∠AFG， ∵MF∥AB， ∴∠MFE＝∠AGF， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴AG＝AF， ∴GN＝FN， ∵tan∠EFC＝tan∠AFG， ∴设AN＝4x，FN＝3x， ∵AC＝17，CD＝AB＝7， ∴AD＝10，AF＝5， ∴（4x）2+（3x）2＝52， ∴x＝1， ∴NF＝3，AN＝4， GF＝6， ∴S△AGFGF•AN6×4＝12， ∵AD＝2AF， ∴S△ADG＝2×12＝24． 23．（1）解：如图1，过点P作x轴的垂线PE， ∵直线PQ与直线PR为“等腰三角线”， ∴∠PQR＝∠PRQ， ∵PE⊥QR， ∴QE＝ER＝2﹣（﹣3）＝5， ∴OR＝ER+OE＝2+5＝7， ∴R（7，0）， 设直线PR的解析式为y＝kx+b，把P、R代入得： ， 解得：， ∴PR的解析式为y＝﹣x+7； （2）①证明：如图2， ∵直线yx与双曲线y交于点A、B，联立得： ， 解得：或， ∴A（2，）、B（﹣2，）； ∵C的横坐标n，且在双曲线y的图象上， ∴C的坐标为C（n，）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B、C代入得： ， 解得：， ∴BC的解析式为yx， ∴当y＝0 时，x＝n﹣2，即D（n﹣2，0）； ∴设直线AC的解析式为y＝ex+f，将A、C代入得： ， 解得：， ∴AC的解析式为yx， ∴当y＝0时，x＝n+2，即E（n+2，0）， 过点C作x轴的垂线CM， ∴MD＝n﹣（n﹣2）＝2，ME＝n+2﹣n＝2， ∴MD＝ME， ∴CM垂直平分DE， ∴DC＝EC， ∴∠CDE＝∠CED， ∴直线AC与直线BC为“等腰三角线”； ②解：设CM交EF于点N，如图3， ∵直线AC与直线BC为“等腰三角线”， ∴CM平分∠DCE，CM垂直平分DE， ∵DF⊥x轴， ∴DF∥CM轴， ∴∠FDC＝∠DCM＝∠ECM， ∴△DFE∽△MNE， ∴， ∴DE+EF＝2（EM+EN）， ∵∠EFD＝∠DCA， ∴∠FDC＝∠CEF， ∴∠FDC＝∠DCM＝∠ECM＝∠CEF，即∠MCE＝∠CEF， ∴CN＝NE， 在Rt△MNE中，由勾股定理得： EN2＝22+（EN）2， 解得：EN＝2n， ∴DE+EF＝2（EM+EN）＝2（2+2n）＝4+4n． 学科网（北京）股份有限公司 $