精品解析：山西省运城市稷山县东方致远双语学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段检测（一） 九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 用配方法解方程，配方后得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项-99移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x2-2x-99=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=99 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=100 配方得（x-1）2=100． 故选D． 【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 2. 已知（x2+2x﹣3）0＝x2﹣3x+3，则x的值为（　　） A. 2 B. ﹣1或﹣2 C. 1或2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用零指数幂的意义得到x2+2x﹣3≠0且（x2+2x﹣3）0＝1，则x2﹣3x+3＝1，然后解关于x的方程可得到满足条件的x的值． 【详解】根据题意得x2﹣3x+3＝1， 整理得x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝2，x2＝1， 而x2+2x﹣3≠0， 所以x＝2． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知零指数幂及一元二次方程的解法. 3. 如图，在正方形中，与相交于点．嘉嘉作，，在正方形外，，交于点；淇淇作，，在正方形外，，交于点，两人的作法中，能使四边形是正方形的是（ ） A. 只有嘉嘉 B. 只有淇淇 C. 嘉嘉和淇淇 D. 以上均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法先判定四边形DOCP是平行四边形，再根据正方形的判定方法即可判断． 【详解】∵四边形是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC＝90，OD＝OC， 嘉嘉的： ∵，， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴四边形DOCP是平行四边形， ∵∠DOC＝90，OD＝OC， ∴四边形DOCP是正方形，嘉嘉的作法正确； 淇淇的： ∵，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴四边形DOCP是平行四边形， ∵∠DOC＝90，OD＝OC， ∴四边形DOCP是正方形，淇淇的作法也正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 4. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，，时 的中点，则的周长是（ ） A. 9 B. 18 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得求得、的长，则可求得 的长，由直角三角形的性质可求得，则可求得答案． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ， 为 的中点， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 5. 在解方程时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，说法正确的是（　　） 甲 乙 A. 两人都正确 B. 甲正确，乙不正确 C. 甲不正确，乙正确 D. 两人都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程的步骤，掌握其步骤是解题的关键． 根据配方法的基本步骤，分别验证甲和乙的解题过程是否正确．甲保持二次项系数并调整方程后进行配方，而乙通过将二次项系数化为1后进行配方，两种方法均符合配方法的原理． 【详解】解：甲的解法： 原方程变形为， 两边乘以3，得， 配方，得，即， 步骤正确，结果符合配方法要求； 乙的解法： 原方程变形为， 两边除以3，得， 配方，得，即， 步骤正确，结果符合配方法要求， 综上，两人均正确应用配方法， 故答案为：A． 6. 如图，公园里有一段长20米的墙 ，工人师傅计划利用墙 和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙 的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（ ） A. 由题意得 B. x的取值范围是 C. 只有一种围法 D. 只有两种围法 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．由题意可得平行于墙的一边长为米，即可建立一元二次方程求解． 【详解】解：∵垂直于墙的一边长为米， ∴平行于墙的一边长为米， 则：，故A错误； ∵， 解得：，故B错误； 对于方程，化简得：， 解方程得：， ， ∵ ∴ ， 故只有一种围法，故C正确、D错误； 故选：C． 7. 随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价 元，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设这款文创产品每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，根据题意得： ， 故选：C． 8. 下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 每条对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 根据矩形和菱形的性质逐项分析即可． 【详解】A．每条对角线平分一组对角是菱形具有，但矩形不具有的性质，故该选项不符合题意； B．对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项不符合题意； C．对角线相等是矩形的性质，菱形不具有，故该选项符合题意； D．对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不符合题意． 故选：C． 9. 如图，在正方形中．O是对角线、的交点．过点O作，分别交 、于点E，F．若 ，，则（　　） A. 2 B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由三角形的全等的性质，求得，进而在中，利用勾股定理求得 值即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴ ， 在和中， ，， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，ABCD是矩形，AC、BD相较于O，AE垂直平分BO，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB，由勾股定理求出OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB=AO， ∴OA=AB=OB=2OE， ∵AE=2， ∴OA2−OE2＝(2)2，即4OE2-OE2=12， ∴OE=2， ∴OD=OB=2OE=4； 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ∴． 故答案为：． 12. 在中，点，分别为 ， 的中点，与交于点O，已知四边形的周长为4，的周长为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质．证明 是的中位线，是的中位线得，，可证四边形是平行四边形，求出，进而可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点，分别为 ， 的中点， ∴， ∴ 是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为： ． 13. 请在横线上写一个常数，使得关于的方程_______．有两个相等的实数根． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于 的方程，求出 的值即可． 【详解】解：， 故答案为：9． 14. 如图，在矩形中，M为边上一点，连接过点D作于E，若，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据矩形性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，进而得到，设，则，，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，则， 设， ∵， ∴，， 在中，由得 ，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解答的关键． 15. 如图，在正方形中，点和点分别是，边上的点，且，连接 ．若 ，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将 绕点顺时针旋转得到，先证明点、 、在同一条直线上，再证明，得，则，因为，所以，则，根据勾股定理得，解方程求出符合题意的的值即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 将 绕点顺时针旋转得到，则，，， ， ， 点、 、在同一条直线上， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程． （2）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学：两边同时除以，得 ，则 ． 乙同学：移项，得，提取公因式，得， 则 或 ，解得． ①解一元二次方程的基本思想是___________（填“降次”或“消元”）； ②请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①降次；②都错误； 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）根据公式代入求解一元二次方程即可． （2）①根据解一元二次方程的基本思路判断即可； ②移项并提取公因式，注意提取公因式时要变号，由此解方程即可． 【详解】解：（1），变形得， 其中，， ． （2）①解一元二次方程的基本思想是降次， 都是将二次方程，通过各种方法，转化为一次方程来处理； 故答案为：降次； ②都错误． 正确的解答过程如下：移项，得， 提取公因式，得， 则 或 ， 解得． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可； （2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ，即， 整理得：， 解得：； 【小问2详解】 该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ，即， 整理得： ，即， 解得：（舍去）或， 则的值为1． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 18. 如图，在矩形中，的平分线交于点， 于点， 于点，与 交于点． （1）求证：四边形 是正方形； （2）若，求证： ． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， 四边形 是矩形， 平分， ， 四边形 是正方形； （2） 证明：平分， ， 在 和中，， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，掌握全等三角形是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得 ，由全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 图①和图②均是的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列 图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图①中画一个周长为的菱形（不是正方形）； （2）在图②中画出有一个锐角为， 面积为9的平行四边形（画出一种即可）． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想画出边长为的菱形即可； （2）利用数形结合的思想画出底为3，高为3的两个直角三角形，由等腰直角三角形性质即可得到有一个角为的平行四边形． 【小问1详解】 解：如图所示： 菱形即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 平行四边形即为所求． 【点睛】本题考查复杂作图类题目，涉及勾股定理、网格中求线段长、平行四边形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握网格中由勾股定理求线段长、平行四边形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形性质，数形结合进行求解是解决问题的关键． 20. 新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到1000辆，预计明年会增长到1210辆． （1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率； （2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？ 【答案】（1）10%；（2）80万元 【解析】 【分析】（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，根据“去年新能源汽车总量已达到1000辆，预计明年会增长到1210辆”列出方程并解答； （2）根据（1）中的增长率可以得到：1000×增长率×0.8． 【详解】（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为，由题意得 解得：，（舍） 因此，. 所以，今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为10%． （2）1000×10%×0.8=80（万元）. 所以，财政部门今年需要准备80万元补贴资金． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21. 请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当 时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】设，则原方程可变形为，求出a的值，再将还原，求出x的值即可． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解； 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解． 所以原方程的解是． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤． 22. 如图，在中，点是的中点，点是线段 的延长线上的一点，连接 ，过点作CD∥AB，与线段 的延长线交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，： ①当四边形 是矩形时，求的长； ②当______时，四边形 是菱形．（请直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可证明； （2）①首先得出，再利用矩形的性质得出，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BE的长；②根据菱形的性质，四边形相等和对角线互相垂直平分，结合,在Rt中用勾股定理即可求出BE的长． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴, ∵CD∥AB， ∴, 在 和中： ∵ ∴， ∴CD=BE, 又∵CD∥BE， ∴四边形是平行四边形； （2）①∵四边形 是矩形， ∴, ∵, ∴, 在Rt 中， ∵, ∴, ∴; ②若四边形 是菱形，BC⊥DE,且互相平分， 则 ∵, ∴, 又∵BC⊥DE， ∴为直角三角形， ∴, ∴设EF=x，BE=2x, 在Rt中， , ， 解得， ∴, 故填：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，30°所对的直角边是斜边的一半，解题关键是熟练掌握相关知识点． 23. （1）如图，已知矩形 ，，，动点从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点同时从点出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发_____时，点P和点Q之间的距离是； （2）当运动时间为时，，两点的距离为多少？当运动时间为 时，，两点的距离为多少？ （3）若点沿着移动，点，分别从A，同时出发，点移动到点 停止时，点随点的停止而停止移动，求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）或；（2）；；（3）经过或时，的面积为 【解析】 【分析】（1）过点作于，得到，利用勾股定理得到方程，故可求解； （2）根据运动时间求出，利用勾股定理即可求解； （3）分当点在上时，当点在上时和当点在上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设运动时间为秒时，如图，过点作于， 由运动知，， ∵点和点之间的距离是 ， ∴， 解得， ∴或． 故答案为：或． （2）时，由运动知， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ∴当时，两点的距离为； 当时，由运动知， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理得， 两点的距离为．    （3）点从点移动到 点所花的时间为， 当点在上时，， 解得：． 当点在上时，， 解得：或（舍）． 当点在上时，， 解得：（不符合题意舍去）， 综上所述，经过或时，的面积为． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段检测（一） 九年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 用配方法解方程，配方后得（ ） A. B. C. D. 2. 已知（x2+2x﹣3）0＝x2﹣3x+3，则x的值为（　　） A. 2 B. ﹣1或﹣2 C. 1或2 D. 1 3. 如图，在正方形中，与相交于点．嘉嘉作，，在正方形外，，交于点；淇淇作，，在正方形外，，交于点，两人的作法中，能使四边形是正方形的是（ ） A. 只有嘉嘉 B. 只有淇淇 C. 嘉嘉和淇淇 D. 以上均不正确 4. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，，时的中点，则的周长是（ ） A. 9 B. 18 C. 8 D. 16 5. 在解方程时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，说法正确的是（　　） 甲 乙 A. 两人都正确 B. 甲正确，乙不正确 C. 甲不正确，乙正确 D. 两人都不正确 6. 如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（ ） A. 由题意得 B. x的取值范围是 C. 只有一种围法 D. 只有两种围法 7. 随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价 元，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 每条对角线平分一组对角 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 9. 如图，在正方形中．O是对角线、的交点．过点O作，分别交、于点E，F．若 ，，则（　　） A. 2 B. C. 4 D. 2 10. 如图，ABCD是矩形，AC、BD相较于O，AE垂直平分BO，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为___________． 12. 在中，点，分别为 ， 的中点，与交于点O，已知四边形的周长为4，的周长为_______． 13. 请在横线上写一个常数，使得关于的方程_______．有两个相等的实数根． 14. 如图，在矩形中，M为边上一点，连接过点D作于E，若，，则的长为________． 15. 如图，在正方形中，点和点分别是，边上的点，且，连接．若 ，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程． （2）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学：两边同时除以，得 ，则 ． 乙同学：移项，得，提取公因式，得， 则 或 ，解得． ①解一元二次方程的基本思想是___________（填“降次”或“消元”）； ②请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18. 如图，在矩形中，的平分线交于点， 于点， 于点，与交于点． （1）求证：四边形 是正方形； （2）若，求证： ． 19. 图①和图②均是的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列 图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图①中画一个周长为的菱形（不是正方形）； （2）在图②中画出有一个锐角为， 面积为9的平行四边形（画出一种即可）． 20. 新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到1000辆，预计明年会增长到1210辆． （1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率； （2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？ 21. 请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当 时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 22. 如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一点，连接，过点作CD∥AB，与线段的延长线交于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，： ①当四边形 是矩形时，求的长； ②当______时，四边形 是菱形．（请直接写出答案） 23. （1）如图，已知矩形 ，，，动点从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点同时从点出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发_____时，点P和点Q之间的距离是； （2）当运动时间为时，，两点的距离为多少？当运动时间为 时，，两点的距离为多少？ （3）若点沿着移动，点，分别从A，同时出发，点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，求经过多长时间的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $