精品解析：天津外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高三上学期第一次月考模拟测试数学试题

天津外大附校2025-2026学年度高三年级第一学期月考模拟测试 一、单选题（共45分） 1. 设集合,则 A. B. C. D. 2. 是的（ ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要的条件 3. 对两个变量，进行回归分析，得到组样本数据，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的回归直线方程必经过样本中心点 B. 相关指数越大，残差的平方和越小，其模型的拟合效果越好 C. 若线性回归方程为，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位 D. 相关系数越接近，变量，相关性越强 4. 在新高考改革中，某校在一次高三模拟考试中使用赋分制对学生的化学成绩（满分分）进行赋分，按照分数从高到低相应等级和所占人数比例分别为：等级（）、等级（）、等级（）、等级（）、等级（）．现从全年级随机抽取了名学生的化学原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 图中值为 B. 该名学生中，一定有的学生化学原始分数在分数分及以上 C. 根据样本分析，估计化学原始成绩分可以在等级处赋分 D. 采用分层抽样的方法从原始成绩在和共抽取人，则需从中抽取人 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，已知平面，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在上的值域为 C. 若，则， D. 将的图象向右平移个单位得的图象 9. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共30分） 10. 已知是虚数单位，复数的虚部为________. 11. 的展开式中的常数项为_______． 12. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2- 4y= 0所截得的弦长为__________. 13. 甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为__________；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为__________． 14. 已知，，为圆：上三点，且，，若点在优弧上，点在直线上，满足，则______，______． 15. 若函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 三、解答题（共75分） 16. 在△ABC中，内角的对边分别是，，，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 17. 在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）直线与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求（O为坐标原点）面积的最大值． 19. 已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 20. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外大附校2025-2026学年度高三年级第一学期月考模拟测试 一、单选题（共45分） 1. 设集合,则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由已知得，，故，选B． 考点：集合的运算． 2. 是的（ ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要的条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念进行判断即可. 【详解】当时，，不能推出，不满足充分性； 当时，，满足必要性； 故是的必要条件 故选：A. 3. 对两个变量，进行回归分析，得到组样本数据，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的回归直线方程必经过样本中心点 B. 相关指数越大，残差的平方和越小，其模型的拟合效果越好 C. 若线性回归方程为，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位 D. 相关系数越接近，变量，相关性越强 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程，相关系数，相关指数的定义，分别判断选项. 【详解】由定义知回归直线方程必经过样本中心点，故A正确； 由相关指数的定义知，越大模型拟合效果越好，由残差的平方和定义知，残差的平方和越小模型的拟合效果越好，故B正确； C选项是回归直线方程的应用，故C正确； 相关系数的范围为，由定义知越接近，变量，相关性越强，故D错误. 故选：D. 4. 在新高考改革中，某校在一次高三模拟考试中使用赋分制对学生的化学成绩（满分分）进行赋分，按照分数从高到低相应等级和所占人数比例分别为：等级（）、等级（）、等级（）、等级（）、等级（）．现从全年级随机抽取了名学生的化学原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 图中值为 B. 该名学生中，一定有的学生化学原始分数在分数分及以上 C. 根据样本分析，估计化学原始成绩分可以在等级处赋分 D. 采用分层抽样的方法从原始成绩在和共抽取人，则需从中抽取人 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可根据频率分布直方图求出，A错误，然后根据名学生为随机抽取判断出B错误，再然后通过计算得出分以上为等级以及分以上为等级，C正确，最后根据分层抽样的相关性质即可得出D错误. 【详解】A项：，解得，A错误； B项：因为名学生为随机抽取，所以原始分数分布无法完全确定，B错误； C项：等级占，人中有人，等级占，人中有人， 分数段有人，分数段有人， 分数段有人， 因为分数段有人，等级有人，所以有人在分数段， 设分以下分可被分为等级， 则，解得，即分以上为等级， 因为分数段有人，等级与等级共人，所以有人在分数段， 设分以下分可被分为等级， 所以，解得，即分以上为等级，C正确； D项：分数段有人， 分数段有人， 则成绩在和的人数的比例为， 故需从分数段中抽取人，D错误， 故选：C. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化为分段函数，结合指数函数的图象即可进行判断. 【详解】， 由于，当时，，函数在上单调递减，排除AB， 当时，，函数在上单调递增，排除C. 故选：D. 6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是定义在上的偶函数，比较的大小，再由在上单调递增判断. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以 因为， 所以, 又因为在上单调递增， 所以, 即， 故选：C 7. 在三棱锥中，已知平面，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把三棱锥可以补成以为棱的正方体，得到可得正方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，即可求解. 【详解】在中，由，所以，所以, 由平面，则三棱锥可以补成以为棱的正方体， 可得正方体的外接球和三棱锥的外接球为同一个球，如图所示， 设该球的半径为，则，解得， 所以该球的表面积为. 故选：C. 8. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在上的值域为 C. 若，则， D. 将的图象向右平移个单位得的图象 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数化简得，由正弦函数的对称中心可判断A；根据的范围求的值域可判断B；根据正弦函数的周期性可判断C；利用图象的平移变换可判断D，进而可得正确选项. 【详解】， 对于A：令，可得，所以点不是的图象的对称中心，故选项A不正确； 对于B：当时，，， 所以，故选项B不正确； 对于C：的最小正周期为，所以若，则，，故选项C不正确； 对于D：将的图象向右平移个单位得的图象，故选项D正确； 故选：D． 9. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性与双曲线的定义结合题意得，进而，即可求解 【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接， 根据双曲线与直线的对称性，知． 因为，，线段的中点为， 所以， 且， 所以． 根据双曲线的定义，知， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的两条渐近线的斜率之积为， 故选：B． 二、填空题（共30分） 10. 已知是虚数单位，复数的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算求解. 【详解】因为， 所以其虚部为-1， 故答案为： 11. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项. 【详解】展开式通项为：； 令，解得：，展开式中的常数项为. 故答案为：. 12. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2- 4y= 0所截得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出直线方程、圆的标准方程、圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即得解 【详解】设弦长为，过原点且倾斜角为60°的直线方程为 整理圆的方程为：，圆心为，半径 圆心到直线的距离为： 则： 故答案为： 13. 甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为__________；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，先求出基本事件的个数和事件包含的基本事件的个数，再由古典概率公式即可求出第一空的结果；用，，表示从甲箱中随机取出一球是红球、白球、黑球，事件：从乙箱中取出的球是红球，从而有，再利用互斥事件的概率公式及全概率公式即可求出结果. 【详解】因为从甲箱中不放回地依次随机取出个球，共有种取法， 又两次都取到红球，共有种取法，由古典概率公式知，两次都取到红球的概率为， 记事件：表从甲箱中随机取出一球是红球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是白球， 记事件：表从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件：从乙箱中取出的球是红球， 则，， 所以 . 故答案为：；. 14. 已知，，为圆：上三点，且，，若点在优弧上，点在直线上，满足，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由弦长确定，，三点之间的位置关系，然后由平面向量基本定理得到，最后利用平面向量的线性运算和数量积求解即可，也可以利用平面向量的线性运算和勾股定理求解． 【详解】连接，，，∵，，∴．∵，为正三角形，∴，结合题意知，，三点共线，∴线段为圆的直径，∴，．∵点在直线上，∴，则，∴，， ∴． ∵，且，∴，得，由，得，∴，得． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理，考查求向量的模，解题关键是确定的位置，然后结合三角形知识，平面向量的基本定理求解． 15. 若函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把等价转化为易于作图的两个函数，借助图象数形结合即可得解. 【详解】当时，，即0是f(x)的一个零点，要f(x)有三个零点，当且仅当时f(x)有两个零点； 而时，，即的图象与直线有两个不同的交点， 当时，，时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 在同一坐标系内作出函数的图象和动直线y=a，如图所示： 观察图象得：的图象与直线y=a有两个公共点，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及函数零点个数求参数范围问题，作出函数图象，数形结合是解题关键. 三、解答题（共75分） 16. 在△ABC中，内角的对边分别是，，，． （1）求； （2）求； （3）求的值． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理列方程求得. （2）利用正弦定理求得. （3）结合二倍角公式、两角和的正弦公式求得. 【小问1详解】 由余弦定理得，， 解得. 【小问2详解】 由正弦定理得 【小问3详解】 由余弦定理得， ， ， 所以 . 17. 在四棱锥中，底面，，，，，点为棱中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） ∵底面，底面，底面， ∴，，又∵， ∴以为原点，为轴，为y轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， ∴，，，，， ∴，平面平面，∴平面的一个法向量， ∵，∴， 故平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，然后建立空间直角坐标系，写出点的坐标，然后得到线的方向向量，求出面的法向量，证明，即可得证； （2）由（1）可知线的方向向量，求出面的法向量，利用空间向量求得线面角的正弦值； （3）设，然后得到点坐标，分别求出平面和平面的法向量和，由空间向量求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， ∴. 【小问3详解】 由（1）知，设， 则，则， ∵，∴，∴，即， ∴，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， ∵平面平面，∴平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， ∴. 18. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）直线与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求（O为坐标原点）面积的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率可得，结合椭圆方程代入点即可解除，；（2）利用弦长公式计算△AOB​面积，进而求出面积的最大值，本题要注意讨论 的斜率 是否为0． 【小问1详解】 解： 由已知，所以， 因为点 在椭圆上，所以 ，解得 ，． 所以所求椭圆方程为 ． 【小问2详解】 设 ，，因为 的垂直平分线过点 ，所以 的斜率 存在． 当直线 的斜率 时，所以 ，， 所以， 当且仅当 时取" = "，所以 时，， 当直线 的斜率 时，设 ． 联立方程 消去 得 ， 由 得 ① 所以 ，， 所以 ， ， 所以 的中点为 ， 由直线的垂直关系有 ，化简得 ② 由①②得 ，所以 ， 又O 到直线 的距离为 ， ， ， 所以 时，． 由 ，所以 ，解得 ． 即 时，． 综上所述，△AOB​面积的最大值1． 19. 已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 【答案】（1） （2）（i）；； （ii）由题， 数列满足， 即， 则， 所以， 两式相减得 所以， 当时，，所以． 【解析】 【分析】（1）利用的关系消去得到之间的递推关系后求解； （2）（i）利用组合数的性质，利用倒序相加法处理；（ii）先求出的表达式，然后利用放缩法进行证明. 【小问1详解】 由，得， 当时，由，得， 整理得， 又因为，， 又因为 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 （i）， 所以， ， 两式相加可得 故数列的通项公式为； 所以 又 将以上两式相减得 所以． （ⅱ）略 【点睛】关键点睛：求解出通项公式是研究数列其他性质的前提，本题多次考到数列和其前项和的关系，常见的处理方法是消去，得出新的递推关系，从而进行化简整理. 20. 已知函数. （1）若，求函数在上的最值； （2）若，对，求证：； （3）若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】（1）在上的最小值为，最大值为 （2） 法一：若， 令， 则， 令，则， 令，则， 则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 即，则在上单调递增，所以， 所以当时，，即. 法二：若， 故在上单调递增，所以当时，，即. 令， 则， 故在上单调递增，所以， 即当时，，即. （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析的单调性从而得到给定区间上的最值. （2）法一：构造函数，通过依次求导分析得到在上单调递增，从而，即可证明结果； 法二：对求导得到在上单调递增，从而当时，，构造函数，求导并利用求出在上单调递增，所以，即可证明结果. （3）分和进行讨论，当时，设，得到在上恒成立，从而当时，；当时，.对求导并分析单调性可得是函数的极小值点.当时，设，可得存在，使得，从而时，，，对求导可得在上单调递减，从而不是函数的极小值点，最终可得的范围. 【小问1详解】 若， 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 而， 故在上的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意得，，. 当时，不妨设， 因为，故在上恒成立，单调递增. 又，所以当时，； 当时，. 又，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 故是函数的极小值点. 当时，不妨设，故存在，使得， 且当时，，故在上单调递减， 故当时，， 故在上单调递减，故不是函数的极小值点. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $