精品解析：辽宁省沈阳市第一三四中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

学校沈阳市第一三四中学教育集团2025—2026学年度上学期 八年级数学学科10月份核心素养学情调研 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数，，，，5中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数即无理数判断即可． 【详解】解：3.14，，5是有理数，，是无理数，故无理数有2个； 故选：B． 2. 下列四组数中，勾股数是（　　） A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以它们是勾股数，故本选项符合题意； B、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； C、因为不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意； D、因为，但，，不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D． 【详解】解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意； ，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则进行计算即可判断求解，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、和不能合并，该选项错误，不合题意； 故选：． 5. 传统文化中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“炮”位于点 ，则“兵”位于点 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了用坐标表示位置．建立平面直角坐标系，即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系如下： 则“兵”位于点， 故选：A 6. 如题图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点表示的数，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：由图可知两条直角边的长为2和1，根据勾股定理得： ， 点表示的数为， 故选：B． 7. 若，，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限的符号特征以及不等式的简单应用，运用了逻辑推理的思想．解题关键是根据判断出x、y异号，再结合确定x、y的正负，易错点是对象限符号特征记忆不清，导致判断错误． 已知，根据乘法法则“异号得负”，可知x和y符号不同．再由，移项得到，由此可推出y为正、x为负．最后根据平面直角坐标系中第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正的特征，判断出点在第二象限． 【详解】， ∴x与 y 异号． 又，即， ∴ y为正，x为负． 在第二象限． 故选：B． 8. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的计算得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的知识，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键． 9. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送 (水平距离)时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用秋千静止与推送后的状态找出直角三角形是解题的关键．由秋千绳索、水平移动距离和秋千垂直移动距离构成了直角三角形，通过设未知数，从而得到的代数式，最后利用勾股定理建立方程来求解秋千绳索的长度． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中， ，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故选：C． 10. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1 B. 2021 C. 2020 D. 2019 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到2-x≥0且x-2≥0，从而确定出x，y的值，然后代入求解即可. 【详解】解：∵2-x≥0且x-2≥0， ∴x=2，y=5， ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟知二次根式有意义被开方数非负是解题关键. 13. 已知点，若点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据在轴上点的坐标特征，横坐标为0，得到，求出a的值，得出的值，即可得出点的坐标，掌握“在轴上点的横坐标为0”是解题的关键． 【详解】解：∵点，若点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理；分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，如图 ， 设， ，， ， ， 由折叠性质得：， ， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图 过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为1或 故答案为：1或． 三、解答题：共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟记二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案； （2）先算零指数幂、化简二次根式、负整指数幂、化简绝对值进而计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为-3；是的整数部分； （1）求和的值； （2）式子的值 ； （3）可判断是 数（填“有理”或“无理”）． 【答案】（1），；（2）34；（3）有理 【解析】 【分析】（1）根据平方根性质，得，通过求解一元一次方程，得的值，根据乘方的性质，计算得；根据立方根的性质，得，通过求解方程即可得到答案； （2）结合题意，根据算术平方根、实数大小比较的性质，得；再根据代数式的性质计算，即可得到答案； （3）结合题意，根据算术平方根和实数分类的性质分析，即可得到答案. 【详解】（1）根据题意，得 ∴ ∴ ∵的立方根为-3 ∴ ∴； （2）∵是的整数部分，且，即 ∴ ∴ 故答案为：34； （3） ∴是有理数 故答案为：有理． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程、乘方、算术平方根、代数式、实数的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、一元一次方程、代数式、实数分类的性质，从而完成求解． 18. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问霞长几何. 注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题： （1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； （2）求芦苇的长度. 【答案】（1）5，1；（2）芦苇的长度为13尺. 【解析】 【分析】（1）直接利用题意结合图形得出各线段长； （2）利用勾股定理得出AG的长进而得出答案． 【详解】(1)线段AF的长为5尺，线段EF的长为1尺； 故答案为5，1； (2)设芦苇的长度x尺， 则图中AG=x，GF=x−1，AF=5， 在Rt△AGF中,∠AFC=90∘， 由勾股定理得 AF+FG=AG. 所以 5+(x−1) =x， 解得 x=13， 答：芦苇的长度为13尺. 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于得出AG的长. 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出以、、三点为顶点的； （2）求的面积； （3）边上的高是_____． 【答案】（1） 即为所求： （2）的面积为4 （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的绘制、三角形面积的计算（补形法）以及两点间距离公式和三角形面积公式的综合应用，运用了数形结合和转化的思想．解题关键是熟练掌握坐标与图形的关系，灵活运用补形法求三角形面积，以及利用两点间距离公式和三角形面积公式求解高，易错点是补形时对周围三角形的判断和计算易出错，且在运用公式时容易混淆公式中的参数． （1）根据已知点的坐标在平面直角坐标系中描点连线即可画出三角形； （2）通过构造矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积； （3），先利用两点间距离公式求出的长度，再根据三角形面积公式，结合（2）中求出的面积，建立方程求解边上的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； ； ； ． ． 【小问3详解】 ，， ． 设边上的高为h，由， ， 解得． 故答案为：． 20. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）________ ； ________． （2）化简：． （3）若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值是解题的关键． （）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解； （）仿照题例求解即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 21. 同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI    （1）直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 【答案】（1），； （2） 证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用， （1）运用勾股定理可得的值，根据，代入求值即可； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，矩形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得即可求解． 【小问1详解】 解：根据勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 22. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求线段的长． （2）为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，，再根据勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于t的等式，解之即可； （3）分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【小问1详解】 解：出发2秒后，，， ∴； 【小问2详解】 解：当是等腰三角形时，只存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：分类讨论：①当时，如图， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴, ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， 解得：； ③当时，过点C作于点E，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 综上可知当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 23. 综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】 （3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 【答案】（1），； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点，使，连接，证明，得，又，有，故，从而，即得； （3）延长至点，使，连接，证明，得，由，平分，得，而，有，可得，故，因，故，可得，又，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：（1）如图中，延长至点，使， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2） 略 （3）延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等边对等角，等角对等边，角平分线的定义，三角形面积，三角形三边关系等知识，解题的关键是读懂题意，掌握“倍长中线法”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校沈阳市第一三四中学教育集团2025—2026学年度上学期 八年级数学学科10月份核心素养学情调研 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数，，，，5中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列四组数中，勾股数是（　　） A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. D. ，， 3. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 传统文化中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味性强，成为极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点，“炮”位于点 ，则“兵”位于点 （ ） A. B. C. D. 6. 如题图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送 (水平距离)时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是（ ）． A. B. C. D. 10. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1 B. 2021 C. 2020 D. 2019 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是____． 12. 已知，则________． 13. 已知点，若点在轴上，则点的坐标为______． 14. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ___________． 15. 如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为__________． 三、解答题：共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为-3；是的整数部分； （1）求和的值； （2）式子的值 ； （3）可判断是 数（填“有理”或“无理”）． 18. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问霞长几何. 注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题： （1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； （2）求芦苇的长度. 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出以、、三点为顶点的； （2）求的面积； （3）边上的高是_____． 20. 小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为：，，，，，． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： （1）________ ； ________． （2）化简：． （3）若，请按照小丽的方法求的值． 21. 同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ AI    （1）直接填空：如图①，若，则 ；若，则直角三角形的面积是 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 22. 如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求线段的长． （2）为何值时，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 23. 综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】 （3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $