精品解析：重庆市铁路中学2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考试题

铁路中学教育集团2025－2026学年上期九年级第一学月测试 数学试题 （全卷一共25个题，共150分；考试时间120分钟） 一、选择题： 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断如下 A．该选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B． 该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C． 该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D． 该选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 在“双减政策”的推动下，实外初三学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每天作业平均时长，经过两学期降低后到了平均每天作业时长为，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】把x=m代入，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即：， ∴===2018， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及代数式求值，掌握方程的解的定义，是解题的关键． 4. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，就可以得出，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论． 【详解】线段绕点顺时针旋转得到线段， ，． 作轴于，轴于， ． ， ， ． 在和△中， ， ， ∴，． ∵， ，， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助线并证得是解决问题的关键． 5. 已知点与点是关于原点O的对称点，则的值为( ) A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标的中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：B． 6. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减， 关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移的规律． 根据题意易得平移前抛物线的顶点式，根据顶点式及平移的规律可得新抛物线的解析式 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为： 即， 故选：D． 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，结合题意得出抛物线开口向上，再将点求得关于对称轴对称的点，利用增减性即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的对称轴是直线， ∵当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ∵， ∴， ∴， 故①错误； ②由图象可知：当时，， ∴， 故②错误； ③由对称知，当时，函数值大于0，即， 故③正确； ④抛物线与x轴有两个交点，则， ∴， 故④错误； ⑤当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是：③⑤，共有2个． 故选：A． 9. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得到，推出为直角三角形，利用的面积等于，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，得到三角形全等是解题的关键．本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题． 10. 对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，，则 ④满足的整数解共有8个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可； ③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可． 【详解】①当时，若，则 ∴或者，故①错误； ②等式化简后为 ∴（舍去）或 ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，即 ∴，故②正确； ③若，，则两个方程相加得：， ∴ ∴ ，故③错误； ④整理得： ∴ ∵整数解 ∴，，， ∴，， ，， ，，，，， ∴ 整数解共9对，故④错误； 综上所述，结论正确的有②； 故选：A． 【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程． 二、填空题 11. 方程 的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故答案为：， 12. 二次函数的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式是，顶点坐标是，把二次函数转化为，可得：二次函数的顶点坐标是． 【详解】解：二次函数转化为， 二次函数的顶点坐标是． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是矩形的性质，配方法求二次函数的最值，求得的最小值是解题的关键．先依据配方法确定出函数的最小值，依据矩形的对角线相等可得到，然后确定出的最小值即可. 【详解】， 抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，有最小值， 的最小值为． ∵是矩形的对角线， ∴， 的最小值为． 故答案为：． 14. 设a，b为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. C. 2023 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根的定义得到，再用a表示，得到，所以原式变形为，再根据一元二次方程根与系数的关系得到，利用整体代入法计算，即可求得． 【详解】解∶∵a，b为方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选∶D． 15. 如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是__________．（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的判断和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用旋转的性质和正方形的性质，证明，可判定结论①正确； 利用勾股定理可得，可判定结论②错误； 利用等腰三角形的性质推出，利用勾股定理逆定理可推出，可判定结论③正确； 过点D作交延长线于点E，利用勾股定理可求出，进而可判定结论④错误． 【详解】由旋转可知，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 可以由绕点A逆时针旋转得到， 故结论①正确； 由勾股定理得， 故结论②错误； ，， ， 由得， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故结论③正确； 如图，过点D作交延长线于点E，则， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得， ，， 由勾股定理得， 正方形的面积等于， 故结论④错误； 综上可知，正确的结论是①③． 故答案为：①③． 16. 一个四位数，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数，记，则____；若某个“等和数”的千位与十位上的数字之和为，为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了整式运算的应用，平方差公式，解题的关键是理清思路，理解题意以及熟练掌握平方差公式． （1）根据“等和数”的定义求解即可； （2）设“等和数”n的千位数、百位数分别为、，可得，再根据能够表示为两个连续偶数的平方差，确定出的值、，即可解答． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）设“等和数”的千位、百位分别为、， 则十位数为，个位数为， ， ， ， ， 能表示两个连续偶数的平方差， 可设（为自然数）， ， 即为的奇数倍， 的千位与十位上的数字之和为， ，， ， ， 当最大是，b为， 满足条件的最大“等和数”是， 故答案为：． 三、解答题 17. 选择适当的方法解方程 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据因式分解法进行化简求解即可； （2）根据因式分解法进行化简求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴． 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． （3）点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图：的坐标为； （2） 如图：的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称、旋转作图、三角形的三边关系、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的定义作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）先根据三角形的三边关系推出当、、三点共线时，有最大值，然后利用一次函数的解析式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图： 点为轴上一点，由三角形的三边关系可知， 当、、三点共线时，有， 即，当且仅当、、三点共线时，有最大值； 延长交轴于，此时即为所求； 设， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当最大时，点的坐标为． 19. 已知关于的方程：的一个根是，求的值以及方程的另一个根． 【答案】的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．先设方程的另一根为，利用一元二次方程的根与系数的关系，根据已知根，先求出另一根，再结合两根之和求出的值． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵方程的一个根为， ∴，即， ∵， ∴，解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 20. 列方程解应用题：如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米？ 【答案】、边分别为8米、12米 【解析】 【分析】设米，则米，根据面积为96平方米列一元二次方程，再对求出的解根据实际情况进行取舍． 【详解】解：设米，则米， 由题意得， 解得，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，， 综上可知，、边分别为8米、12米． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程． 21. 在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， 描点，画出函数图象如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用二次函数图象与直线的交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用二次函数的性质求出图象与横轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象； （2）利用二次函数图象和坐标轴的交点确定不等式的解集即可； （3）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：当时，得或， ∵点位于x轴正半轴， ∴； 列表得： 0 1 2 3 3 0 0 3 【小问2详解】 解：由图象得，当时，； 【小问3详解】 解：如图所示， 当时，． 22. 如图，在平行四边形中，，、分别在和的延长线上，且，点为的中点，． （1）求证四边形是平行四边形； （2）求的长度． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∴AB∥DE， ∵点为的中点， ∴DE=CD， ∴DE=AB， ∴四边形ABDE是平行四边形． （2）1． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，再根据中点的定义得出DE=CD，从而得出平行四边形ABDE； （2）根据直角三角形性质得出CE=2CF，再利用勾股定理即可求出CE的长，再利用平行四边形性质即可推出AB的长． 【详解】解：（1） 略 （2）∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°． ∵AB∥CD， ∴∠DCF=∠ABC=60°． ∴∠CEF=30°． ∵， ∴CE=2CF 在Rt△ECF中 ∵ ∴ ∴CF=1， ∴CE=2， ∴CD=1， ∵四边形ABDE是平行四边形 ∴AB=CD=1， 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键． 23. 中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． （1）若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ （2）当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】（1）该套装的销售单价应该定为140元 （2）当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出方程，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）设该套装的售价降低元，根据总利润=（销售单价-成本价）×销售数量，列方程求解，求解即可； （2）依据题意，每周出售该套装所获利润，再结合，从而当时，每周出售该套装所获利润最大，最大利润为42250元； 【小问1详解】 解：设该套装的销售单价降低元，则销售单价为元，每周能销售套， 根据题意，得， ， 解得或（舍去）， ∴（元）， 答：该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为140元； 【小问2详解】 解：设每周的利润为y元，销售单价降低了元，则： ， ， 当时，每周的利润最大，最大利润为42250元， 此时销售单价为元， 答：当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点，的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； 【小问2详解】 当时，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； 【小问3详解】 过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示， ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 25. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． （1）图中与的数量关系是_____． （2）图，将图中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：（2）GE与CE 仍然存在（1）中的数量关系． 理由：如图，连接， ∵将图中的绕着点逆时针旋转， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴GE与CE 仍然存在（1）中的数量关系； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （2）类似（1）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可； （3）分两种情况：当时；当时，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图中与的数量关系是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，如图， ∵，，，， ∴， ， ∴， ∴、、在一条直线上， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∴、、在一条直线上， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铁路中学教育集团2025－2026学年上期九年级第一学月测试 数学试题 （全卷一共25个题，共150分；考试时间120分钟） 一、选择题： 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在“双减政策”的推动下，实外初三学生课后作业时长明显减少．2022年上学期每天作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天作业时长为．设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 4. 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点与点是关于原点O的对称点，则的值为( ) A. 5 B. C. 6 D. 6. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，，则 ④满足的整数解共有8个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 方程 的解是____________． 12. 二次函数的顶点坐标是__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____________ 14. 设a，b为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. C. 2023 D. 15. 如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是__________．（填序号） 16. 一个四位数，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数，记，则____；若某个“等和数”的千位与十位上的数字之和为，为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最大“等和数”是______． 三、解答题 17. 选择适当的方法解方程 （1） （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． （3）点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 19. 已知关于的方程：的一个根是，求的值以及方程的另一个根． 20. 列方程解应用题：如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米？ 21. 在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 22. 如图，在平行四边形中，，、分别在和的延长线上，且，点为的中点，． （1）求证四边形是平行四边形； （2）求的长度． 23. 中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． （1）若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ （2）当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 25. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． （1）图中与的数量关系是_____． （2）图，将图中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $