第二十一章 一元二次方程 章末测试-2025-2026学年人教版九年级上册数学

二十一章 一元二次方程 章末测试-2025-2026学年九年级上册数学人教版 时间：90分钟，满分：100分 姓名： 班级： 一、选择题（共20分） 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2． 若实数a，b满足 则实数a 的取值范围是(　　). A．a≤-2 B．a≥4 C．a≤-2或a≥4 D．-2≤a≤4 3．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 4．某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．下列方程最适合用配方法求解的是（　　） A． B． C． D． 6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（　　） A．21 B．25 C．21或25 D．20或24 7．方程 的整数解有(　　)组. A．6 B．5 C．4 D．3 8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 9．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．20 B．22 C．24 D．25 10．如果一个函数的图象与直线有交点，我们称这个交点为这个函数的等值点（即横坐标与纵坐标的值相等）．如果二次函数有两个相异的等值点，，且，则c的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共28分） 11．已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为　 　． 12．已知m，n是方程的两个根，则　 　． 13．若m是一元二次方程的根，则的值为　 　 14．已知α、β是方程的两个实数根，则的值为　 　． 15．已知：，是关于的方程的两个实数根，则的值为　 　． 16．2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，则可列方程为　 　． 17．梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”．新疆北部某沙漠2020年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2022年达到25万亩，求这两年的平均增长率 　 　． 三、解答题（共25分） 18．已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5． （1）若k=3，请判断△ABC的形状并说明理由； （2）若△ABC是等腰三角形，求k的值． 19．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x﹣3m＝0的一个根，求m的值及方程的另一个根． 20．已知关于x的方程 的解都是整数，求整数k 的值. 21．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 四、综合题（共27分） 23．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6=0， （1）求证：对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 24．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值. 25．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？ （3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 26．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．D 11． 12． 13．6 14． 15．-1 16． 17．25% 18．（1）解：△ABC是直角三角形. 理由：k=3时，方程为 解得x₁=3，x₂=4，∴AB=3，AC=4. ∴△ABC是直角三角形. （2）解： ∴AB≠AC，∴AB，AC 中有一个为5. 当x=5时，原方程为： 即k2-9k+20=0，解得 当k=4时，原方程为 解得由三角形的三边关系，可知4，5，5能围成等腰三角形，∴k=4符合题意； 当k=5时，原方程为 解得x₁=5，x₂=6，由三角形的三边关系，可知5，5，6能围成等腰三角形，∴k=5符合题意. 综上所述，k的值为4或5. 19．设方程的另一个根为a， 则根据根与系数的关系得：2+a＝﹣（2m﹣1），2a＝﹣3m， 解得：a＝3，m＝﹣2， 即m＝﹣2，方程的另一个根是3． 20．解 当k=4或k=8时，分别求得x=1或x=-2. 当k≠4且k≠8时，原方程可化为[(4-k)x-8][(8-k)x-4]=0， ∵k为整数，且x1，x2均为整数， ∴4-k=±1，±2，4，±8，得k=3，5，2，6，0，-4，12或8-k=±1，±2，-4，得k=7，9，6，10，12. 故当 k 的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数 21．（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 22．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得 10（1+x）2=12.1， 解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； （2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）． ∵平均每人每月最多可投递0.6万件， ∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务 ∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1≈2（人）． 答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员． 23．（1）证明：△=b2﹣4ac=（k+1）2﹣4×1×（﹣6）=（k+1）2+24＞0， ∴对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根 （2）解：把x=2代入方程得：4﹣（k+1）×2﹣6=0，解得k=﹣2， 把k=﹣2代入方程得：x2+x﹣6=0，解得：x1=2，x2=﹣3， ∴k的值为﹣2，方程的另一个根为﹣3 24．（1）解：∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵，，， ∴ 解得：. （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴. 解得 25．（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，把点（25，50）和点（35，30）代入，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则， 解得：，， ∴当天玩具的销售单价是40元或20元； （3）解：根据题意，则， 整理得：； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为800； ∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元． 26．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． ​​​​ （2）解：①由题意得：=-10x+1000； ②依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $