精品解析：湖北省襄阳市南漳县实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

湖北省襄阳市南漳县实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. a 2. 将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的两根为，则（ ） A. 7 B. C. 3 D. 4. 若将抛物线图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2＋4x＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y2＞y3＞y1 B. y1＞y2＞y3 C. y2＞y1＞y3 D. y1＞y3＞y2 6. 有一人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 12. 如果抛物线与x轴的一个交点的坐标是，那么与x轴的另一个交点的坐标是______． 13. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 14. 已知二次函数．当时，函数的取值范围___________. 15. 如图，等腰中，D是上一动点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，则周长最小值是_________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 18. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为___________； （2）方程的根为___________； （3）不等式的解集为___________； （4）若方程无解，则的取值范围为___________． 19. 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米． （1）作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系； （2）在（1）的条件下进行下列探究； ①求抛物线的解析式； ②当水面下降多少米时，水面宽为8米？ 20. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． （1）长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 21. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 22. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 23. 启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． （3）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点，与轴交点，连接，若点是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点作于，若，求点的坐标； （3）求面积的最大值及点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省襄阳市南漳县实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. a 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； D、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程． 【详解】 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程的两根为，则（ ） A. 7 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数之间的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选B． 4. 若将抛物线图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，平移规律是：左加右减，上加下减，掌握函数的平移规律是关键； 把抛物线的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到抛物线，进而即可求解 【详解】解：把抛物线的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位， 得到 即 故选B 5. 已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2＋4x＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y2＞y3＞y1 B. y1＞y2＞y3 C. y2＞y1＞y3 D. y1＞y3＞y2 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴及其开口方向得出离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越小，据此求解可得答案． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣2x2＋4x＋c的对称轴为直线x＝1，且抛物线的开口向下， ∴离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越小， ∵点(4，y3)离对称轴的距离最远，点(，y2)离对称轴的距离最近， ∴y2＞y1＞y3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 6. 有一人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程解题的关键． 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键． 8. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与二次函数图象的知识，识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 对于选项A、C，由结合a的正、负性，判断二次函数的图象的开口方向与直线应经过的象限，是否存在矛盾，由此即可作出判断； 对于选项B、D，由二次函数的图象的开口方向和对称轴得到a、b的正负性，判断此时直线是否与y轴的正半轴还是负半轴相交，由此即可作出判断． 【详解】解：A．由二次函数的图象可知，此时直线必经过二、四象限，故A可排除； B．由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，则，此时直线应经过二、三、四象限，故B满足题意； C．由二次函数的图象可知，此时直线必经过一、三象限，故C可排除； D．由二次函数的图象可知，此时直线应经过一、二、三象限，选项D可排除． 故选：B． 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：C． 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：C． 二、填空题 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如果抛物线与x轴的一个交点的坐标是，那么与x轴的另一个交点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线与x轴的一个交点的坐标是，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的图形及其性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 14. 已知二次函数．当时，函数的取值范围___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先将二次函数解析式化为顶点式，根据解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴，以及函数的最大值，再根据函数的对称性即可确定对应的函数的取值范围． 【详解】解：二次函数． 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，且当时，取最大值， 比离对称轴远， 时对应的函数值较小， 当时，， 当时，函数的取值范围． 故答案为： ． 15. 如图，等腰中，D是上一动点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，则周长最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论. 【详解】∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴, ∴,是等腰直角三角形， ∴当取最小值时，的值最小，则周长的值最小，当时, 的值最小, ， ∵是等腰直角三角形,, ∴, ， ∴周长最小值是 故答案为： . 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键. 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法或因式分解法求解可得； （2）先移项，再利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 即， ∴或， 解得，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 18. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为___________； （2）方程的根为___________； （3）不等式的解集为___________； （4）若方程无解，则的取值范围为___________． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，正确利用数形结合得出是解题关键． （1）根据抛物线的对称性可得二次函数的图象与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的两个实数根，即可得解； （2）方程的根即为二次函数取时，对应的值； （3）观察图象，在轴上方的部分总大于，即可确定不等式的解集； （4）方程无解，即二次函数与直线没有交点，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点是， 二次函数的图象与轴的另一个交点是， 方程的两个根为，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：二次函数的图象的顶点是， 即当时，， 方程的根为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：观察图象可知，不等式的解集为； 故答案为：； 【小问4详解】 解：若方程无解，即二次函数与直线没有交点， ， 故答案为：． 19. 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米． （1）作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系； （2）在（1）的条件下进行下列探究； ①求抛物线的解析式； ②当水面下降多少米时，水面宽为8米？ 【答案】（1） 如图， （2）①；②当水面下降米时，水面宽为8米 【解析】 【分析】（1）依据题意，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，即可得解； （2）①根据题意设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，进而可以得解； ②依据题意，根据水面宽为8米，求出此时纵坐标再与作差即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设抛物线的解析式为，由题意点，在抛物线上， 则：， ， 故此抛物线的解析式为：； ②由题意，水面宽米，则， 令，则， ， 答：当水面下降米时，水面宽为8米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式． 20. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． （1）长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】（1）（36-3x） （2）8 （3）当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【解析】 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 ∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； 【小问2详解】 根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； 【小问3详解】 设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 21. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 22. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题． （1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图像上点的坐标特征求得点的横坐标即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴． 令，则， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴， ∴或， ∴或 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，以及三角形面积公式等知识点． 23. 启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． （3）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围． 【答案】（1）； （2）每件文具售价为元，最大利润元； （3）元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式即可； （）由（）得，再结合二次函数的性质即可求求解； （）由（）的关系式，然后得方程，最后结合二次函数的性质即可求的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵每件文具的售价不超过元，且是整数， ∴当时，有最大值，为（元）， 答：每件文具售价为元，最大利润元； 【小问3详解】 解：要使当天销售利润不低于元，即， 令，整理得， 解得：，， ∵， ∴当天销售单价所在的范围是． 24. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点，与轴交点，连接，若点是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点作于，若，求点的坐标； （3）求面积的最大值及点的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3）面积的最大值是，点的坐标是． 【解析】 【分析】（1）把点与点的坐标代入，求出、的值，即可得到抛物线的解析式； （2）由点与点的坐标可知是等腰直角三角形，过点作轴，交抛物线于点，过点作，根据等腰直角三角形的性质，则有，可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系可知，那么当点与点重合时，，符合题意； （3）过点作，设点的坐标是，则点的坐标是，根据，可得：，根据，可得：，根据二次函数的性质求出面积的最大值及点的坐标. 【小问1详解】 解：拋物线与轴交于点，与轴交于点， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示， 拋物线与轴交于点，与轴交点， ， 是等腰直角三角形， ， 过点作轴，交抛物线于点，过点作，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， 轴， 点与点的纵坐标相等都是， 解方程， 可得：，， 点的坐标是， ，， ， ， 当点与点重合时，，符合题意； 点的坐标是； 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作， 设点的坐标是，则点的坐标是， 则有，，， ， ， ， 当时有最大值，最大值是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 面积的最大值是，此时点的坐标是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何的综合，待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $