精品解析：黑龙江省哈尔滨市工业大学附属中学2025-2026学年八年级上学期9月考数学试题

2025-2026学年度初三（上）9月份基础检测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）． A.         B.     C.     D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3a﹣2a=1 B. a2+a5=a7 C. a2•a4=a6 D. （ab）3=ab3 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 计算(-3x)(2x2-5x-1)的结果是（ ） A. -6x3-15x2-3x B. -6x3+15x2+3x C. -6x3+15x2 D. -6x3+15x2-1 5. 若等腰三角形的周长为，一边长，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 6. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 9. 如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②长方形的对角线的交点是它的重心；③到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；④关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 计算：________． 12. 若，则的值为_____． 13. 如图，，，，_____． 14. 如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为______． 15. 如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为___________． 16. 如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是________米． 17. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 18. 如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是________． 19. 在 中，，是边 上的高，，则 的度数为_____________． 20. 如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是_____（填序号）． ①平分；②；③；④． 三、解答题（21题6分，22-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值：；其中，． 22. （1）解方程组 （2）解不等式组 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：_____； （3）在轴上找一点，连接、，使得周长最小，则点的坐标为_____．（保留作图痕迹） 24. 如图1，在中，，与都为的角平分线，与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，请直接写出图中所有的全等三角形． 25. 某商场用22000元同时购进两种型号背包各400个，购进型号背包30个所用钱数比购进型号背包15个所用钱数多300元． （1）求两种型号背包的进货单价各为多少元？ （2）若商场把两种型号背包均按每个50元定价进行零售，同时为了扩大销售，拿出一部分背包按零售价的7折进行批发销售．若全部售完后，总获利不低于10500元，则商场用于批发的背包数量最多为多少个？ 26. 如图1，中，，，点、分别在、边上，连接，． （1）求证：； （2）如图2，点在的延长线上，连接、，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，点在线段上，连接、，若，，，求的面积． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴，点在第二象限，且，是方程组的解，于点，连接，． （1）直接写出点坐标_____； （2）点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点运动的时间为秒，的面积为，当时，用含有的式子表示；（不要求写出的取值范围） （3）在（2）的条件下，当点在线段上时，过点作的平行线交的延长线于点，连接，若，时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初三（上）9月份基础检测数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）． A.         B.     C.     D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】由题知A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. 3a﹣2a=1 B. a2+a5=a7 C. a2•a4=a6 D. （ab）3=ab3 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：解：A、系数相加字母部分不变，故A错误； B、不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故B错误； C、底数不变指数相加，故C正确； D、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；故D错误； 考点：1、幂的乘方与积的乘方；2、合并同类项；3、同底数幂的乘法． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选A． 4. 计算(-3x)(2x2-5x-1)的结果是（ ） A. -6x3-15x2-3x B. -6x3+15x2+3x C. -6x3+15x2 D. -6x3+15x2-1 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据单项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 5. 若等腰三角形的周长为，一边长，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形和三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论思想的应用和三角形的三边关系． 首先对等腰三角形的腰分情况分析，其次验证三角形的三边关系，确定能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：若是腰长，则底边为， ∴三角形的三边分别为， ∵， ∴此情况成立， 若是底边，则三角形的腰长， ∴三角形的三边分别为， ∵， ∴此情况成立， 故选C． 6. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出长的取值范围，进而可得长的取值范围． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，再根据题意可得，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在含的中，， ∴． 故选B． 9. 如图，在中，点是边、的垂直平分线的交点，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质证明，结合等边对等角的性质证明，再利用三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点D为边的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中， ， ∴． 故选C． 10. 下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②长方形的对角线的交点是它的重心；③到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；④关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，长方形的性质和角平分线的性质，熟悉相关的性质定理是解决本题的关键． 根据长方形的性质，轴对称，等腰三角形的性质和角平分线的性质判断即可． 【详解】解：①、等腰三角形底边上的高、中线及顶角的角平分线重合，但其他位置（如腰上的高、中线、角平分线）不一定重合，未限定条件，故错误； ②、长方形的重心是几何中心，即对角线交点，正确； ③、根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点必在角平分线上，正确； ④、轴对称图形的对称点连线被对称轴垂直平分，符合定义，正确； 综上所述，正确的个数为3． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，解题关键是理解单项式乘以单项式法则． 直接利用单项式乘以单项式法则求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，则的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算和同底数幂相乘，准确的计算是解决本题的关键． 先算乘方，再算同底数幂的乘法，最后列式计算即可． 【详解】解： ∴ 解得． 故答案为：4． 13. 如图，，，，_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据全等三角形的性质可得进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 14. 如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意可得：被除式，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：被除式， 故答案为：． 15. 如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】证明和，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 16. 如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 17. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 18. 如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．利用角平分线的性质，找到点M到的距离，从而确定的最小值． 【详解】解：过点M作于点F． ∵点M是平分线上一点，，， ∴ ∵垂线段最短， ∴线段的最小值是 故答案为： 19. 在 中，，是边 上的高，，则 的度数为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，①如图，当顶角为锐角三角形时：，②如图，当顶角为钝角三角形时：，再结合等腰三角形的性质可得答案．注意分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：， ∵， ∴； ②如图，当顶角为钝角三角形时： ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 20. 如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是_____（填序号）． ①平分；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质等知识，掌握相关知识并熟练运用是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质得到，进而得到，再即可判断①，假设，进一步得到，与题意矛盾，可判断②，由题意可证和得到和，可判断③，由，，得到，，进而得到，可判断④． 【详解】解：过点D作于点N，如下图， 平分，平分， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分，故①符合题意； 假设， ， ， 平分、平分， ，， ， 又是的的外角， ， 假设不成立，故②不符合题意； 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故③符合题意； ，， ，， ， ， ， ， ，故④符合题意； 综上所述，说法①③④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（21题6分，22-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求值：；其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减、整式的乘法和化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先提公因式，再合并括号内的同类项进而即可化简，最后把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 将，代入得 ． 22. （1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据代入消元法即可解题； （2）根据不等式组的解法即可解题． 【详解】解：（1） 由①得：③， 由②得：， ∴④， 代入③得：， ， ， ， 代入④得：， ∴原方程组的解为：； （2） 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ∴不等式组的解集为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：_____； （3）在轴上找一点，连接、，使得周长最小，则点的坐标为_____．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 连接如下图所示： （2） （3），点P即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题和一次函数的应用，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）由（1）即可解答； （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再设的解析式为，将点和点C代入求出解析式，进而即可得到点P坐标． 【小问1详解】 解：，，关于y轴对称对应点分别为，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，∵点A和点关于y轴对称， ∴连接交y轴于点P， 由对称可知，， ∴的周长为， ∵两点之间线段最短， ∴当点P为与y轴的交点时，的周长最小， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴此时点P的坐标为． 故答案为：． 24. 如图1，在中，，与都为的角平分线，与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，请直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】（1） 证明：∵与都为的角平分线 ∴， ∵， ∴， 在中， ； ∴ ∴． （2），，，， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边， （1）先证明，根据证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）先根据等角对等边证明，进而可得，再根据证明，，， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与都为的角平分线 ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴即， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 综上所述，所有的全等三角形有，，，，． 25. 某商场用22000元同时购进两种型号背包各400个，购进型号背包30个所用钱数比购进型号背包15个所用钱数多300元． （1）求两种型号背包的进货单价各为多少元？ （2）若商场把两种型号背包均按每个50元定价进行零售，同时为了扩大销售，拿出一部分背包按零售价的7折进行批发销售．若全部售完后，总获利不低于10500元，则商场用于批发的背包数量最多为多少个？ 【答案】（1）25元、30元 （2）500个 【解析】 【分析】（1）设A、B两种型号背包的进货单价各为x元、y元，根据用22000元同时购进A、B两种型号背包各400个，购进A型背包30个比购进B型背包15个多用300元，列方程组求解； （2）设商场用于批发的背包数量为a个，根据总获利不低于10500元，列不等式，求出最大整数解． 【小问1详解】 设两种型号背包的进货单价各为元、元， 由题意得：， 解得：， 答：两种型号背包的进货单价各为25元、30元． 【小问2详解】 设商场用于批发的背包数量为个， 由题意得，，解得： 答：商场用于批发的背包数量为500个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． 26. 如图1，中，，，点、分别在、边上，连接，． （1）求证：； （2）如图2，点在的延长线上，连接、，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，点在线段上，连接、，若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得，结合，利用三角形内角和定理求证即可； （2）证明是等腰直角三角形，再证即可； （3）过点作于点，证和是等腰直角三角形，是等腰三角形，根据三线合一，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作于点，如图所示， 由（2）得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．恰当作出辅助线并找出图中特殊的三角形是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴，点在第二象限，且，是方程组的解，于点，连接，． （1）直接写出点坐标_____； （2）点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点运动的时间为秒，的面积为，当时，用含有的式子表示；（不要求写出的取值范围） （3）在（2）的条件下，当点在线段上时，过点作的平行线交的延长线于点，连接，若，时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，解二元一次方程组，全等三角形的应用，解题的关键是根据已知半角关系，利用等腰三角形构造相等的角． （1）利用加减消元法解二元一次方程组求出a，b的值即可得出点B的坐标． （2）由题意知，，然后根据，表示的面积即可． （3）延长到，使，连接，构造，进而证明，可得，再根据可得．从而可得，作，垂足为，可得，，证明即可得出，由此求出，进而得出点的坐标． 【小问1详解】 解： 解得：， ∴ 【小问2详解】 设点的坐标为，其中， ∵， ， ∴，解得：（不合题意舍去）；， ∴点， ∵， ∴， ∴ 即 【小问3详解】 延长到，使，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 作，垂足为， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $