精品解析：陕西旬邑县底庙镇初级中学2025-2026学年度第一学期第一次素养达标练习九年级数学

2025—2026学年度第一学期第一次素养达标练习 九年级数学北师大版 满分120分，考试用时100分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形、菱形和正方形的性质，根据矩形、菱形和正方形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：矩形、菱形和正方形都具有的性质是对角线互相平分， 故选：． 2. 如图，菱形ABCD的对角线，，则该菱形的面积为（ ） A. 50 B. 25 C. D. 12.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半即可求得答案． 【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10， ∴S菱形ABCD=AC•BD=×5×10=25， 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半是解题的关键． 3. 如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质易证是等边三角形，即可得解． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 是等边三角形， ． 4. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB边的中线，若AB=8，则CD的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析:根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半可得，故答案选C． 考点：直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 5. 如果一个四边形的两条对角线相等且互相平分，那么这个四边形是（　　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，即可求解． 【详解】解：∵一个四边形的两条对角线相等且互相平分， ∴这个四边形是矩形， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知是的中位线，则有，根据正方形的周长求边长，进而可求的长． 【详解】解：由题意知是的中位线 ∴ ∵正方形ABCD的周长为8 ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，中位线的性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质． 7. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ） A. 22.5° B. 25° C. 23° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45°； △ACE中，AC=AE， 则：∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°； ∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°． 【点睛】考点：正方形的性质． 8. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ） A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED． 【详解】解：如图所示： ∵AE//BF， ∴∠EAB=∠ABF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD，∠ABC=90°， ∴∠ABF+27°=90°， ∴∠ABF=63°， ∴∠EAB=63°， ∵AB//CD， ∴∠AED=∠EAB=63°． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 9. 如图，四边形是矩形，O，B，D三点的坐标分别是，对角线交点为E，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作轴于点F，证明 是的中位线，再结合题意解得点E的坐标即可． 【详解】解：过点E作轴于点F， 四边形是矩形， 即点E是BD的中点， 轴， 是的中位线， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与象限、中位线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知正方形的一条对角线长为cm，则该正方形的边长为__________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条角平分线即为对角线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可得正方形的周长. 【详解】解：∵正方形的对角线长为2, 设正方形的边长为x, ∴2x²=(2)² 解得：x=2 ∴正方形的边长为：2 故答案为2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确正方形的对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形. 12. 如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：_______，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由矩形与折叠可得，，再利用勾股定理求解． 【详解】解：矩形，，， ，， 折叠， ， 在中，． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 15. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出相关线段长，利用勾股定理逆定理判定，再结合即可得出结论． 【详解】解：在矩形中，， 在矩形中，，分别是，的中点，， 是的中位线，即， 在中，是BE的中点，， 是斜边上的中线，即， ， 在中，是EC的中点，， 是斜边上的中线，即， ， 在中，，，，即， 是直角三角形，且， 过作于，如图所示： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形面积，涉及到中位线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理逆定理、三角形等面积法等知识，熟练掌握相关性质，准确作出辅助线表示是解决问题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE． 【答案】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠A=∠C， ∵在△ABF和△CBE中， , ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF=∠CBE． 【解析】 【详解】试题分析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A＝∠C，再证明ΔABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论． 试题解析：略 考点：菱形的性质． 17. 如图，在中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．求证：． 【答案】证明：， ， 四边形为正方形， ， ， ． 【解析】 【分析】先根据平行四边形证明，再根据正方形的性质证明，最后根据线段之间的数量关系，即可求证． 【详解】略 18. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点O，．求与的长． 【答案】． 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，，再结合由勾股定理求出即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ∴，， 又∵， ， ∴与的长分别为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在矩形中，对角线与交于点，，．求证：． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形， 对角线和相等且互相平分， ， 是菱形， ． 【解析】 【分析】先证四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可证，从而可证是菱形，即可求证． 【详解】略 20. 如图，在中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴平行四边形是矩形； （2）10． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理的逆定理： （1）利用勾股定理的逆定理证明即可证明结论； （2）根据矩形对角线相等即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． 21. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． 【答案】 （1）证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB=∠CBD， 又∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， 同理：AB=BC，∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是菱形，BD=6， ∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3， ∵∠ADB=30°， ∴cos∠ADB=， ∴AD=． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在中，于，于，为的中点． （1）若，，求的周长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）21 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据平角的定义和三角形的内角和得到结论． 【小问1详解】 解：∵于，于， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23. 已知在线段AB上有一点C（点C不与A、B重合且AC＞BC），分别以AC、BC为边作正方形ACED和正方形BCFG，其中点F在边CE上，连接AG． （1）如图1，若AC=7，BC=5，则AG=______； （2）如图2，若点C是线段AB的三等分点，连接AE、EG，求证：△AEG是直角三角形． 【答案】（1）13；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出∠B=90°，BG=BC=5，则AB=AC+BC=12，由勾股定理即可得出结果； （2）设BC=a，由正方形的性质和点C是线段AB的三等分点得出AC=CE=2BC=2CF=2a，BC=BG=FG=CF=EF=a，∠B=∠ACE=∠EFG=∠EFG=90°，由勾股定理得出AE2=AC2+CE2=8a2，AG2=AB2+BG2=10a2，EG2=EF2+FG2=2a2，证得AG2=AE2+EG2，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形BCFG是正方形， ∴∠B=90°，BG=BC=5， ∵AB=AC+BC=7+5=12， ∴AG===13， 故答案为：13； （2）证明：设BC=a， ∵四边形ACED和四边形BCFG都是正方形，点C是线段AB的三等分点， ∴AC=CE=2BC=2CF=2a，BC=BG=FG=CF=EF=a，∠B=∠ACE=∠EFG=∠EFG=90°， ∴AE2=AC2+CE2=8a2， AB=3BC=3a， AG2=AB2+BG2=9a2+a2=10a2， EG2=EF2+FG2=a2+a2=2a2， ∴AE2+EG2=8a2+2a2=10a2， ∴AG2=AE2+EG2， ∴△AEG是直角三角形． 【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质与勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第一次素养达标练习 九年级数学北师大版 满分120分，考试用时100分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 2. 如图，菱形ABCD的对角线，，则该菱形的面积为（ ） A. 50 B. 25 C. D. 12.5 3. 如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 4. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB边的中线，若AB=8，则CD的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 如果一个四边形的两条对角线相等且互相平分，那么这个四边形是（　　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 6. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ） A. 22.5° B. 25° C. 23° D. 20° 8. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ） A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 9. 如图，四边形是矩形，O，B，D三点的坐标分别是，对角线交点为E，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知正方形的一条对角线长为cm，则该正方形的边长为__________cm． 12. 如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：_______，可使它成为正方形． 13. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 14. 如图，在正方形的外侧，作等边，则__________度． 15. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，矩形的面积为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE． 17. 如图，在中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．求证：． 18. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点O，．求与的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在矩形中，对角线与交于点，，．求证：． 20. 如图，在中，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的长． 21. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，在中，于，于，为的中点． （1）若，，求的周长； （2）若，，求的度数． 23. 已知在线段AB上有一点C（点C不与A、B重合且AC＞BC），分别以AC、BC为边作正方形ACED和正方形BCFG，其中点F在边CE上，连接AG． （1）如图1，若AC=7，BC=5，则AG=______； （2）如图2，若点C是线段AB的三等分点，连接AE、EG，求证：△AEG是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $