第22章 二次函数--面积专题练习　2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

2025年九年级数学（上）二次函数--面积专题 1.如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),B(-3,0). (1)求此二次函数的解析式： (2)将(1)中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数 的解析式和顶点坐标； (3)点C,D为(2)中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P,使 △CDP的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由. B 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C(0,3).A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0).点P是抛物线上一个动点， 且在直线BC的上方， (1)求这个二次函数的表达式： (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐 标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形 面积的最大值. 试卷第1页，共3页 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1,0), B(0,2),抛物线y=)x2+bx-2的图象经过C点 2 (1)求抛物线的解析式： (2)平移该抛物线的对称轴所在直线L.当L移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等 的两部分？ (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出 P点坐标；若不存在，说明理由. B 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A-1,0),B3,0,C0,3. (1)求抛物线的表达式： (2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标； 6)若点M是线段OC上的一动点，连接AM,求AM+2CM的最小值. VA 图1 图2 试卷第1页，共3页 5.如图，抛物线y=-x2+bx+C与x轴相交于A、B两点，与V轴相交于点C,且点B 与点C的坐标分别为B6,0)、C(0,6,点M是抛物线的顶点. (1)求二次函数的关系式： (2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D.设点P的横坐标为n, △PCD的面积为S. ①求S与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围； YA ②求S的最大值. B 6.已知抛物线L:y=ar2-x-2与x轴相交于A、B两点（点B在点A的左侧D,点4 的坐标是(4,0)，与y轴相交于点C. (1)求抛物线L的函数表达式. (2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L,L与x轴相交于A'、B两点（点B在点 A'的左侧)，与y轴相交于点C',要使S△MgC=2S△ABC,求所有满足条件的抛物线L的 函数表达式. 试卷第1页，共3页 7.如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过点A-1,0)、B0,3),C(3,0),顶点为D; (1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)如图2，若点P2,3)在抛物线上，点Q是直线AP上方抛物线上一动点，连接AQ, PQ,当△APQ的面积最大时，求点Q的坐标及面积的最大值： y D B B 图1 图2 8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物 线y=-。r2+br+c经过4，B两点且与x箱的负半轴交于点C,D为抛物线上的一个 动点，连接BC,BD,AD. (1)求该抛物线的解析式： (2)当点D在直线AB上方时，求△ABD面积的最大值； (3)当点D在V轴右侧时： ①连接CD,当△BCD的面积是△OBC面积的一半时，直接写出点D的坐标 ②设E(1,m)是抛物线对称轴上一动点，当A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形 时，求出所有符合条件的m的值， 试卷第1页，共3页 9.如图(1)，已知抛物线过点B-1,0,C(0,3),OA=OC,连接AC,点M是抛物线 AC段上的一个动点，设点M的横坐标为t,△ACM的面积为S. (1)求抛物线的解析式： (2)求S关于t的函数关系式，并求出点M到直线AC的最大距离： (3)如图(2)，当CM∥x轴时，点P是抛物线上不与M重合的点，且∠CAP=∠CAM.求 点P的坐标 BO BO 图(1) 图(2) 10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3),M是抛物线上的一个动点. (1)求该二次函数的解析式. (2)若点M在直线BC的下方，则当点M运动到什么位置时，△MBC的面积最大？并求出 △MBC的面积的最大值. (3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M,使以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0过点2，-5，交x轴于 点A-3,0)和点B,交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点，连接PA,PC,求△PAC面积最大值及此 时点P的坐标； (3)将原抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线y'与x轴的负半 轴交于点M,点N为平移后的新抛物线上一动点，当∠NMB=∠CAB,请直接写出所有 符合条件的点N的坐标. 备用图 12.如图1，抛物线y=ax2+bx-4a经过A-1,0)、C0,4两点，与x轴交于点B. (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若抛物线的对称轴EF(E为抛物线顶点)与直线BC相交于点F,M为直线 BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N,以E,F,M,N为顶点的四边 形能否为平行四边形？若能，求点M的坐标；若不能，请说明理由. V 图1 图2 图3 试卷第1页，共3页 2025年九年级数学（上）二次函数--面积专题 参考答案 1.(1)将点A1,0),B(-3,0)代入y=x2+bx+c 1+b+c=0 b=2 得， 9-3b+c=01 解得， c=-3' .二次函数的解析式为y=x2+2x-3: (2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 由平移规律得平移后的解析式为y=（x+2)2-1, 顶点为-2，-1； (3)当y=0时，（x+2)2-1=0, 解得：x=-3,x2=-1, C(-3,0),D(-1,0), ∴.CD=2. S=CD-4 1 y=4, :顶点为-2，-1)， 点P在x轴的上方，纵坐标为4， (x+2)-1=4, 解得，x=-2+V5或x2=-2-V5, P(-2+V5,4或(-2-5,4) 2.(1)解：将B、C两点坐标代入y=-x2+bx+c, 答案第1页，共2页 -9+3b+c=0 b=2 得 解得 c=3 c=31 .y=-x2+2x+3; (2)解：设lac:y=kx+b, 将C(0,3),(3,0)代入， [b=3 k=-1 解得 3k+b=0 1b=3 故lBc:y=-x+3, .y=-x2+2x+3, b 2 对称轴x=一 =1, 2a2×(-1) 设点Q1,y), 由题意可知，点A和点B关于x=1对称， 当点QL,y)在1BC:y=-x+3上时，△OAC的周长最小， 此时点Q(1,2), (3)解：过点P作V轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设点P的横坐 标为x,则0<x<3,P(x,-x2+2x+3), 由(2)得lgcy=-x+3, 则Q点的坐标为(x,-x+3), PQ=-x2+3x, S-CF+QPOF 4x3+5+3x 答案第1页，共2页 3（一3+中 .75 8 3 当x=二时，四边形ABPC的面积最大， 2 315、 此时P点的坐标为（二，），四边形ABPC的面积最大为 75 2 4 8 B 3.(1)解：过C作CK⊥x轴于K,如图： ,∠BAC=90°=∠BOA=∠AKC, ∴.∠BAO=90°-∠CAK=∠ACK, AB=AC, ∴△AOB≌△CKA(AAS, ∴.OA=CK,OB=AK, A1,0,B0,2), ∴.OA=CK=1,OB=AK=2, ..OK =3 .C(3,1, 把C3,1代入y=r2+br-2得： 2 0-2=1. 9 解得b=-1 121 .抛物线的解析式为y=二x2-二x-2: 22 答案第1页，共2页 (2)解：设抛物线的对称轴所在直线L交 BC 于 $$P _ { 1 } ，$$ ，交A O，此时直线L恰好将 △ABC 的面积分为相等的两部分，如图： 设直线L为 x=m ， y 由4(1，0)，B(0，2)可得 $$A B = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt 5 ，$$ $$\therefore S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } \times \left( \sqrt 5 \right) ^ { 2 } = \frac { 5 } { 2 } ，$$ B $$P _ { 1 }$$ Q CE 设直线AC为 $$y = a _ { 1 } x + b _ { 1 } ，$$ A 将 A(1，0)，C(3，1) 代入 $$y = a _ { 1 } x + b _ { 1 } ，$$ 得 $$\left\{ \begin{array}{l} a _ { 1 } + b _ { 1 } = 0 \\ 3 a _ { 1 } + b _ { 1 } = 1 \end{array} \right.$$ $$a _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$$ 解得 $$b _ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 }$$ ∴ 直线AC解析式为 $$y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } ，$$ $$\therefore Q \left( m ， \frac { 1 } { 2 } m - \frac { 1 } { 2 } \right) ，$$ 设直线 BC 为 $$y = a _ { 2 } x + b _ { 2 } ，$$ 将 B(0，2)，C(3，1) 代入 $$y = a _ { 2 } x + b _ { 2 } ，$$ 得 $$\left\{ 3 a _ { 2 } + b _ { 2 } = 1$$ 解得 $$a _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 }$$ $$b _ { 2 } = 2$$ $$b _ { 2 } = 2$$ ∴ 直线 BC 解析式为 $$y = - \frac { 1 } { 3 } x + 2 ，$$ $$\therefore P _ { 1 } \left( m ， - \frac { 1 } { 3 } m + 2 \right) ，$$ $$\therefore P _ { 1 } Q = \left( - \frac { 1 } { 3 } m + 2 \right) - \left( \frac { 1 } { 2 } m - \frac { 1 } { 2 } \right) = - \frac { 5 } { 6 } m + \frac { 5 } { 2 } ，$$ 答案第1页，共2页