专题10 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册

专题10 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴专练 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 例1．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值； （3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标． 【详解】（1）∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， ∴二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ∴， ∴； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t， 令抛物线解析式的，得到， 解得，， ∴A的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴点Q的坐标为， ∴ ， ∴当时，有最大值， ∴面积的最大值为； （3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设N点坐标为， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式】如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为． (1)求、两点的坐标及直线的函数表达式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在个这样的点，分别是，，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法． （1）因为抛物线与轴相交，所以可令，解出、的坐标．再根据点在抛物线上，点的横坐标为，代入抛物线中即可得出点的坐标．再根据两点式方程即可解出的函数表达式； （2）根据点在上可设出点的坐标．点坐标可根据已知的抛物线求得．因为都在垂直于轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：令， 解得：或， ∴， 将C点的横坐标代入 得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的函数解析式是； （2）设点的横坐标为， 则的坐标分别为：，， ∵点在点的上方，， 当时，的最大值； 则的面积的最大值是：； （3）存在4个这样的点F，分别是，，，， ①如图，连接点与抛物线和轴的交点，那么轴，此时， ∴点的坐标是； ②如图，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； ③如图，此时两点的纵坐标互为相反数，因此点的纵坐标为，代入抛物线中即可得出G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入后可得出直线的解析式为， 令，则， 因此直线与轴的交点的坐标为； ④如图，同③可求出F的坐标为． 总之，符合条件的F点共有4个分别是，，，． 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 例2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 【变式】如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)10； (3)存在，； (4)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）将点和代入，解得，即可得解； （2）令，得，，又可知，再利用三角形的面积公式求； （3）由已知可得的面积为8，求出直线的解析式为，过P点作轴，交于点M，设，则，则，求出，则； （4）设，当当时时，过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ，证明，得到，则，所以；当时，与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 证明，则有，求得，则，可求． 【详解】（1）的图象过点和， ， 解得 抛物线的解析式的解析式为 （2）令，则，解得或， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ∵四边形的面积为18， ∴的面积为8， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 过P点作x轴，交于点M， 设，则， ， ∴， ∴； （4）存在，或． 理由如下： 设，当时，如图1， ∵矩形是以为边， ∴， 过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ∵， ， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵矩形是以为边， ∴， 设与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 过点Q作轴交G点，过K作轴交E点， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴ 综上，或； 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 例3．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点 ，点是直线上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿轴翻折，得到四边形，若四边形 为菱形，请求出此时点的坐标； (3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积. 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)P点的坐标为 ，四边形的面积的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，与面积的综合问题，菱形的性质，综合性较强，熟练正确知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标； （3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：将点B和点C的坐标代入 ， 得 ， 解得 ， ． ∴ 该二次函数的表达式为 ； （2）解：若四边形是菱形，则点P在线段的垂直平分线上；如图，连接，则，垂足为E， ∵， ∴ ， ∴ 点P的纵坐标等于 ． ∴ ， 解得 ， （不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为； （3）解：过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F， 设，由题意可设设直线的表达式为 ， 则代入得：， 解得 . ∴直线的表达式为 ． ∴Q点的坐标为， ∴， 当， 解得， ∴， ∴， ∴ = = ， ∴ 当时，四边形的面积最大， 此时P点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 【变式】如图，抛物线与x轴交于点和点．与y轴交于点C，连接，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线交于点N．当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①存在，点E的坐标为或；②3 【分析】（1）把A、B的坐标代入抛物线，可求得a，b的值，即可得函数表达式； （2）①设点D的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解； ②设点D的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为,由点D的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得m，求出点D，点M的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式； （2）①存在： ∵抛物线的函数解析式交y轴于C， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图， 当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图， 当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； ②设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵直线的函数表达式为，直线， ∴设直线l的解析式为， ∵点D的坐标， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得： ， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∴点M的坐标为， ∴， 答：的长为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质，三角形的面积是解题的关键． 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 例4．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，点的坐标为或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式． （2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）将，代入中， 得， 解得： 抛物线的函数表达式为． （2）由题意和可得， ， 可设直线的函数表达式为：， 将代入得：， ， 直线的函数表达式为. 设（），分两种情况： ①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）. 则， 故的纵坐标与的纵坐标相等为， 将代入中，可得的横坐标为， 则点E的坐标为， ，即， 解得（，要舍）或， 点的坐标为． ②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H， ，， 易得， 则， 则的纵坐标为， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得或2（，要舍）， 点的坐标为． 综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或． 【变式】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点． (1)求a，b的值． (2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E， ①当直线经过点D时，求的长； ②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）①根据抛物线得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而推出点的坐标，即可解题； ②设点P的坐标为，进而得到点的坐标为，结合正方形性质得到点的坐标为，根据点F在抛物线上，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得； （2）解：①由（1）知，抛物线解析式为， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， 当直线经过点D时， 有，则， ； ②设点P的坐标为， 轴， 点的坐标为， ， 在的左侧作正方形，且点F在抛物线上， ， 点的坐标为， 且， 整理得， 解得或， 动点P不与点O，B重合， ， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，正方形性质，二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点． (1)求该抛物线的解析式： (2)若，请求出点的坐标； (3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设点的纵坐标为，由可得，求出，即可求解； （3）分两种情况讨论：当为正方形的对角线时，当为正方形的边时，即可求解． 【详解】（1）解：将、分别代入， 得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； （2），， ， 在抛物线中，令，则， ， 设点的纵坐标为， ， ， 即， 解得：， 当时，，解得：或， 点的坐标为 或， 当时，，方程无实数根， 综上所述，点的坐标为 或； （3），， ， 是等腰直角三角形， ， 若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，则为等腰直角三角形， 当为正方形的对角线时，即为等腰直角三角形的斜边时，如图，此时点与重合， ； 当为正方形的边时，， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 易得直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点的坐标为或． 2．已知抛物线的图象经过点，．其对称轴为直线，与轴的另一交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在线段上，过点作轴于点，以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将点代入解析式得到，再将点代入解析式，结合对称轴公式可得到，，即可得到答案； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，设，则点，得到，连接，设与交于点，根据正方形的性质推出，从而得到，代入抛物线解析式即可到答案． 【详解】（1）解：抛物线的图象经过点 对称轴为直线，且经过点 解得： 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， ， 解得： 直线的解析式为 设， 轴于点 点坐标为 连接，设与交于点，如图 四边形是正方形 ，， 轴， ， 点的横坐标为 点在抛物线上 解得： （舍去）， 当时， 点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，解二元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)见解析； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数图象交点问题，待定系数法求解解析式，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法求解解析式即可； （）由解析式求出点的坐标分别为、，然后利用两点距离公式求出，，，最后通过勾股定理逆定理即可求解； （）分或或为对角线时即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：存在，理由： ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴设点，点的横坐标为， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或，则或， ∴点或， 综上，或或． 4．如图，已知抛物线经过两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线表达式； (2)点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由； (3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标． 【答案】(1) (2)存在点，使的面积最大，最大面积是16 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，，利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）分为以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边或对角线两种情况，画出示意图讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 将代入，则， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将、代入， ，解得：， 直线的解析式为． 设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示． ， ． ， 当时，的面积最大，最大面积是16． ， 存在点，使的面积最大，最大面积是16． （3）解：如图， 当为平行四边形的边时，由点可知点的纵坐标的绝对值为4， ∴或， 解得：， 当时，则有， ∴， ∴， 同理可得当，， 得，， 当为对角线时，则有， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，二次函数与特殊四边形的综合，解题的关键是用分类讨论的思想解决问题即可． 5．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点Р是直线下方的抛物线上一动点． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求的最大值以及此时P点的坐标． (3)将抛物线沿方向平移个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时P点的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）中，分别令，，解方程求得点A、B、C的坐标； （2）先求得直线的解析式为，设点P的横坐标为p，则，，进而表示出与p的关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移的性质得出新抛物线顶点，对称轴为直线，设，，进而分3种情况讨论，①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的性质，中点坐标公式列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得，， 点A在点B的左侧， ，． 当时，， ； （2）解：设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设点P的横坐标为p，则，， ，， ， ， 当时，取最大值，最大值为， ， 此时P点的坐标为． （3）解：， 把抛物线沿方向平移个单位，相当于把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 新抛物线解析式为， 新抛物线顶点，对称轴为直线， 设，，又， 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或（H与Q重合，舍去） ； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得或， 或； 若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 解得， ； 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，求抛物线与坐标轴交点问题，二次函数的性质，二次函数的平移，菱形的性质，熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 7．如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 8．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值； （3）分、为边；、为边；、为边讨论，通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D， 设，则， ，其中， 如图，延长交于点G，则， 由题意可得是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即原函数向右平移2个单位，向上平移2个单位， ∴平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得， ∴ ∴两条抛物线交点M的坐标为， 设，，连接， ，，， ①如图，以为边，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴ 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； ②以为边，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴ 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； ③如图，以为对角线，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴或， 当N的坐标为时， 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 当N的坐标为时， 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴专练 类型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差相等）简化关系，注意动点范围。 3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及图形合理性。 例1．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为． (1)求、两点的坐标及直线的函数表达式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 类型二、二次函数中的矩形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。 2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理性。 例2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、二次函数中的菱形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。 3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结合图形验合理性。 例3．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点 ，点是直线上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿轴翻折，得到四边形，若四边形 为菱形，请求出此时点的坐标； (3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积. 【变式】如图，抛物线与x轴交于点和点．与y轴交于点C，连接，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于D． ①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线交于点N．当时，请直接写出的长． 类型四、二次函数中的正方形存在性问题 1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。 2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，结合图形限动点范围。 3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理性。 例4．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，D为抛物线的顶点． (1)求a，b的值． (2)如图2，连接，在线段上有一动点P（不与点O，B重合），过点P作轴，交直线于点E， ①当直线经过点D时，求的长； ②以为边在的左侧作正方形，当点F在抛物线上时，求点P的坐标． 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点． (1)求该抛物线的解析式： (2)若，请求出点的坐标； (3)连接，直线上有一动点，点为坐标平面上一个动点，若以、、、四点为顶点的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 2．已知抛物线的图象经过点，．其对称轴为直线，与轴的另一交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在线段上，过点作轴于点，以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标． 3．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线经过两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线表达式； (2)点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由； (3)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标． 5．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点Р是直线下方的抛物线上一动点． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交于点E，过点E作y轴的垂线，交y轴于点F，求的最大值以及此时P点的坐标． (3)将抛物线沿方向平移个单位，点H是新拋物线的顶点，点Q是新抛物线对称轴上的一个动点，点M是平面内一点，若以A，Q、H、M为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的M点坐标． 7．如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 8．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$