精品解析：河南省新乡市牧野区2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考试题

2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，计30分） 1. 已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　　） A. -2 B. 2 C. ±2 D. 0 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A. B. C. 且 D. 且 5. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知二次函数（为常数，且）图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 2 3 3 … 那么，它的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的与的部分对应值如表： 下列结论：抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是；⑤若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个解，则方程的另一个解是______，k的值是______ 12. 白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场． 13. 已知是方程的一个根，试求的值______． 14. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____． 三、解答题：（本大题共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 18. 利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽． 19. 阅读题例，解答下题： 例：解方程 解： 当，即时 解得：（不合题设，舍去）， （2）当，即时 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 20. 如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且，． （1）求抛物线解析式； （2）点P为抛物线的顶点，求的面积． 21. 已知二次函数． （1）将二次函数的表达式化为的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中，用描点法画出这个二次函数的图象； （3）根据图象直接写出0<x<3时，y的取值范围． x … … y … … 22. 盐城著名旅游“网红打卡地”大洋湾景区在2021年五一小长假期间，共接待游客达5万人次，在2023年五一小长假期间接待游客达7.2万人次． （1）求大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格每降低1元，则平均每天可多销售30杯，2023年五一小长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 23. 综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示：_______，_______； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，计30分） 1. 已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　　） A. -2 B. 2 C. ±2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据形如y=a+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案． 【详解】解：∵y=（m+2）+2是y关于x的二次函数， ∴|m|=2且m+2≠0， 解得m=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为．已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为. 故选：B． 3. 抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度， 所得新抛物线的函数解析式为， 故选：B． 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式结合二次项系数非0，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围． 【详解】方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故选． 【点睛】本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 5. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 6. 已知二次函数（为常数，且）图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 2 3 3 … 那么，它的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】观察表中数据可知当和的函数值相等，根据二次函数图象的对称性即可求得对称轴 【详解】时，，时， 则的对称轴为 故选C 【点睛】本题考查了的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 7. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的3倍列出方程即可． 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸， 由题意得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键． 8. 函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答． 【详解】根据可得：函数的对称轴为：， 当时， 二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴右侧， 一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限； 当时， 二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴左侧， 一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限； 根据上述结果：可知A、B、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等． 9. 已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 由于，的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点到直线的距离的大小来判断的大小． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， 注意到，两点的纵坐标都是， ∴二次函数的图象是开口向下，且对称轴为直线，即的抛物线， 点，，均在二次函数的图象上， ， ， 故选：D． 10. 已知二次函数的与的部分对应值如表： 下列结论：抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是；⑤若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)可对③④进行判断；根据二次函数的性质求出x的值，即可对⑤进行判断． 【详解】设抛物线解析式为y=ax(x﹣4)， 把(﹣1，5)代入得5=a×(﹣1)×(﹣1﹣4)，解得：a=1， ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线x==2，所以②正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)，开口向上， ∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误； 抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确； 若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，由x2﹣4x=2，解得：x1=，由x2﹣4x=3，解得：x2=，若取x1=，x2=，则⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个解，则方程的另一个解是______，k的值是______ 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是利用一元二次方程的根与系数的关系求解．由一元二次方程根与系数的关系可得，然后将代入即可求出的值及另外一个解． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ， 故答案为：，1． 12. 白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场． 【答案】5 【解析】 【分析】设共有x个飞机场，每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：，把相关数值代入求正数解即可． 【详解】设共有x个飞机场． ， 解得 ， （不合题意，舍去）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 13. 已知是方程的一个根，试求的值______． 【答案】2009 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由是方程的一个根，将其代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， 则 故答案为：2009． 14. 当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴该函数开口向上，对称轴为x＝2， ∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m， ∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答． 【详解】解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2， 则抛物线的顶点坐标为（1，2）， ∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴对角线BD的最小值为2， 故答案为2． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 三、解答题：（本大题共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法. （1）把方程化为，再进一步求解即可. （2）先求解，再进一步解答即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，. 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴原方程无解. 17. 关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2） 假设存在，设方程的两根分别为、，则，． ， ． 且， 不符合题意，舍去． 假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【解析】 【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0． 【小问1详解】 关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于的方程． 18. 利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽． 【答案】当矩形长为25米时，宽为8米，当矩形长为50米时，宽为4米． 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（58﹣2x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解． 【详解】解：设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（58﹣2x）米 由题意得得：x（58－2x）＝200 解之得：x1＝25，x2＝4， ∴另一边为8米或50米． 答：当矩形长为25米时，宽为8米，当矩形长为50米时，宽为4米． 19. 阅读题例，解答下题： 例：解方程 解： 当，即时 解得：（不合题设，舍去）， （2）当，即时 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义解方程和因式分解的方法解一元二次方程，解决此题的关键是要注意舍去不合题意的解；先模仿题中的例子，讨论绝对值里面的式子是正还是负，分情况讨论得到答案即可； 【详解】解：当，即时， ， ， ， 解得，； 当，即时， ， ， 解得不合题设，舍去，不合题设，舍去． 综上所述，原方程的解是或 20. 如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且，． （1）求抛物线解析式； （2）点P为抛物线的顶点，求的面积． 【答案】（1） （2）的面积为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点P坐标，过点P作轴交直线于点Q，求得点Q坐标，利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 将A、C坐标代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点P坐标为． 过点P作轴交直线于点Q， 令，则， 解得，， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴点Q坐标为， ∴， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，利用待定系数法求得函数的解析式是解本题的关键． 21. 已知二次函数． （1）将二次函数的表达式化为的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中，用描点法画出这个二次函数的图象； （3）根据图象直接写出0<x<3时，y的取值范围． x … … y … … 【答案】（1）； （2）列表 x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 用上述五点描点连线得到函数图象如下： （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象求解． 【详解】（1）y＝ (x-2)2－1 （2）略 （3）观察函数图象知,当0＜x＜3时，＜3． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 22. 盐城著名旅游“网红打卡地”大洋湾景区在2021年五一小长假期间，共接待游客达5万人次，在2023年五一小长假期间接待游客达7.2万人次． （1）求大洋湾景区2021至2023年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格每降低1元，则平均每天可多销售30杯，2023年五一小长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1）年平均增长率为 （2）当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设年平均增长率为，根据“网红打卡地”大洋湾景区在2021年五一小长假期间，共接待游客达5万人次，在2023年五一小长假期间接待游客达7.2万人次，列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 年平均增长率为. 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客获得最大优惠， ， 当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 23. 综合与探究 如图，抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，负半轴相交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含m的式子表示：_______，_______； 直接用①的结论求解②③； ②若，请直接写出点P的坐标； ③若，求点P的坐标； 【答案】（1） （2）①，；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线解析式可求出点B的坐标，则可求得直线的解析式为；设点，则点，从而得的解析式； ②由①可得；由，得关于m的方程，即可求得点P的坐标； ③由建立方程，可求点P的坐标． 【小问1详解】 解：由于抛物线过点与点， 把这两点代入抛物线解析式中，得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：①令，解得：， ∴； 设直线的表达式为， 把点、的坐标代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则，； 故答案为：，； ②由①知，； 若，则， 解得：（舍去）或， 即点； ③若，则， 解得：（舍去）或， 即点； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $