【优选】 [中学联盟]广东省揭阳市第三中学人教A版高二数学选修2-1第三章第一节3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示（同步教案课件）

揭阳第三中学教案表 课题 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 课型 新授课 教学 目标 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．[来源:学科网] 重点 难点 教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算 教学难点：理解空间向量基本定理 教具 准备 多媒体，三角板 课时 安排 1 教学过程与教学内容 教学方法、教学手段与学法、学情 教学过程： 一、新课引入 1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算， 2. 复习：平面向量基本定理. 二、讲授新课 1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存在一对实数x、y，使得，即得到平面向量的坐标表示. 推广到空间向量，结论会如何呢？ (1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解. (2)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把叫做空间的一个基底（base），都叫做基向量. 2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示． 单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直． 选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz， 3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组， 使a＝i＋j＋k． 空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？ 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A，B，则＝－＝－＝． 4. 向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则 ⑴a＋b＝；　　⑵a－b＝； ⑶λa＝； 　　⑷a·b＝ 证明方法：与平面向量一样，将a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可． 5. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝，b＝，则 ⑴a//ba＝λb，；⑵a⊥ba·b=0． 6. 练习：已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b． 解：略． [来源:学#科#网] 7. 出示例：课本P94 例4 . （解略） 三、巩固练习 作业：课本P94练习2、3题 . 启发式教学法 2 $$ 3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示 高中人教A版选修《数学2-1》 共线向量定理: 复习： 共面向量定理: 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 问题： 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ x y z O Q P 由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 我们称 为向量 在 上的分向量。 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 空间向量基本定理： 探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？ 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 都叫做基向量 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确： （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 （2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。 一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三