3.1空间向量及其运算 综合复习讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选修2-1

空间向量及其运算

一、教学目标 

1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

二、教学重点 空间向量的线性运算及其坐标表示

三、教学难点 空间向量的线性运算及其坐标表示

四、教学过程

1、复习预习  （1）预习空间直角坐标系（2）预习空间向量（3）预习空间向量的线性运算及其坐标表示

 

2、知识讲解

知识点1：空间向量的有关概念

知识点2：共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

推论　如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta ①

其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.

(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底.

知识点3：空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

知识点4：空间向量的坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量).

(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，

cos〈a，b〉＝＝ .设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，

则dAB＝||＝.

3、例题讲解

考点一：用已知向量表示所求向量（利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量）

例题：

（1）以下命题中，正确的命题个数为                        (　　)

①若a，b共线，则a与b所在直线平行；

②若{a，b，c}为空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；

③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

④对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面.

A.1  B.2  C.3  D.4

（2）三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.

 

 

 

（3）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.

(1)化简－－＝________；