[中学联盟]广东省揭阳市第三中学高中数学选修2-1课件：3.2.3 立体几何中的向量方法二 （共20张PPT）

ZPZ 空间“角度”问题 一、复习引入 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 向量的有关知识： 两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉 直线的方向向量：与直线平行的非零向量 平面的法向量：与平面垂直的向量 两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 = (课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. B A C D 二面角的平面角 ①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为 其中AB D C L B A 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是，得 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 A B C D 图3 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知， 其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ 分析： ∴ 可算出 AB 的长。 A B C D 图3 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各